二次根式的乘除运算-知识讲解(提高)

榻老师联系电话（微信）无榻老师联系电话（微信）无二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算..能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：心.标=m（a三0，b三0），即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：⑴在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数）.⑵该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：区市如••桓二也一%•%一%（的三°，劭三0,…..玛三°）.⑶若二次根式相乘的结果能写成厘口的形式，则应化简，如Ji?=4.要点二、二次根式的除法1.除法法则：当=\:a（或\；a+而=O^bb）（a三0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：⑴在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a三0,b>0，因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化..有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用G、a=a来确定，如：、Ja与、；a，aa+b与y'a+b，aa-b与寸a-b等分别互为有理化因式.②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如a+bb与a-%，、/+m与.而-bb，a^x+b.Jy与a%；'x-b^：y分别互为有理化因式.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.

【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算^^i.⑴3J3!义（-;ji:）+;j5；⑵（—工a3）.（—.、：a）4+（—32aa）2228\72b2【答案与解析】（1）原式二317义(1'3・（1）原式二317义(1'3・1X(—)—287233X(—1)X22X11X128\'2711__3——4（2）原式二—aaa•a2—2a2=——aaa2【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】2：a2—b266X【变式】2：a2—b266X2-—13a+3b5\'b5'a2—b2x2a—b【答案】原式二2x1x_「・―4v6x23a+3bb5'(a—b)(a+b)5'(a—b)(a+b)x2二2\・・=—3(a+b)a—b2IA不b52.（2014秋•闵行区校级期中）计算:x(-2.7)-1/7【思路点拨】本题中a作为被开方数，说明aN0,下面直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可.【答案与解析】【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：X-，且x为偶数【变式】已知9-x求（1+x）X举一反三：X-，且x为偶数【变式】已知9-x求（1+x）X—5汇+4附任——q的值.31【答案】由题意得9-X>0工―…,即A<9类型二、分母有理化.把下列各式分母有理化:.把下列各式分母有理化:Of【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）22•«2t：5（1）22•«2t：5<5v5•V55（2）(a2-b2)•a--b(a2-b2)•a--bf=(a+b)v'a—b（3）(（3）(a一b)•(%:a-bb)a++b:b(Ya+bb)•(或:a-b;b)【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，工±bb与va^bb,a±bb与a|ibb,二±b与、二四b都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题.定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化.如：将—2—分母有理化.遍一病

解：原式二25尼解：原式二25尼+41)CVs_Vs)(Vs+Vs)（1）将T历分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“>”、V6-VsVnH―Vn112-Vs1【答案】解：（1）故答案为：<,<;（3）原式VnVn-1(3)化简：1VnH―Vn112-Vs1【答案】解：（1）故答案为：<,<;（3）原式VnVn-11+V2V2+V3丁3十”4V2013+V2014V3+23眄)(2-V3)V3+23眄)(2-V3)CV2014W2013)(V2014-V2013)二巧-1+巧-巧+2-.子…+.元商--五七:.2GN-1「，2—32+v3x+y4.已知x-—,y==，求下列各式的值：(1)；(2)x2—3xy+y2.2+<32—v；3x—y【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!感谢您选择明昊教育，明昊内部教学资料助力您成绩突飞猛进!榻老师联系电话(微信)无榻老师联系电话(微信)