方程组的应用【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升

专题26方程组的应用一、和差倍分问题【典例】疫情期间为保护学生和教师的健康，某学校储备“抗疫物资”用29000元购进甲、乙两种医用口罩共计900盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照市教育局要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，该校师生共计900人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足市教育局的要求？【解答】解：（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，依题意得：x+y=900解得：x=500答：甲种口罩购进了500盒，乙种口罩购进了400盒．（2）20×500+25×400＝10000+10000＝20000（个），2×900×10＝18000（个）．∵20000＞18000，∴购买的口罩数量能满足市教育局的要求．【巩固】某中学拟组织七年级师生去参观苏州博物馆．下面是张老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：张老师：“客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵150元．”小芳：“八年级师生昨天在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车到苏州博物馆，一天的租金共计6750元．”小明：“如果我们七年级租用45座的客车a辆，那么还有15人没有座位；如果租用60座的客车则可少租1辆，且有一辆车上的人不足一半．”根据以上对话，解答下列问题：（1）客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）求出满足条件的a的值．（3）若同时租用两种或一种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，问有哪几种租车方案？二、增长率问题【学霸笔记】1. 增长量=原有量×增长率；2. 原有量=现有量-增长量；3. 现有量=原有量×（1+增长率）.【典例】为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调查了10000人，并进行统计分析，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%，在不吸烟者中患肺癌的比例是0.5%，吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x，不吸烟者患肺癌的人数为y，根据题意，下面列出的方程组正确的是（）A．x-B．x-C．x+y=10000D．x+y=【解答】解：根据题意可得在调查的10000人中，吸烟者的人数为x2.5所以x2根据吸烟者患癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，得x﹣y＝22，联立可得方程组x-故选：B．【巩固】越来越多的人在用微信付款、转账．把微信账户里的钱转到银行卡叫做提现，自2016年3月1日起，每个微信账户终身享有1000元的免费提现额度，当累计提现金额超过1000元时，超出的部分需支付0.1%的手续费，以后每次提现支付的手续费均为提现金额的0.1%，（1）小明用自己的微信账户第一次提现金额为1500元，需支付手续费0.5元．（2）小丽使用微信至今，用自己的微信账户共提现三次，提现金额和手续费如下：第一次第二次第三次提现金额ab2a+3b手续费/元00.23.1求小丽前两次提现的金额分别为多少元．三、配套问题【学霸笔记】1. 解决配套问题的关键是利用配套本身存在的等量关系，如：“二合一”配套问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品的a倍，即；“三合一”配套问题：如果a件甲产品，b件乙产品，c件丙产品配成一套，那么它们之间应满足的关系式为.【典例】某机械厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓50个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配成一套？【解答】解：设每天安排x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母．由题意x+y=解得x=答：每天安排20名工人生产螺栓，100名工人生产螺母，恰好能使每天生产出来的产品配成一套．【巩固】某生产教具的厂家准备生产正方体教具，教具由塑料棒与金属球组成（一条棱用一根塑料棒，一个顶点由一个金属球镶嵌），并且根据材质优劣分为高档、中档和低档三种档次进行包装．（1）该厂家的一个车间负责生产正方体教具，该车间共有33名工人，每个工人每天可生产塑料棒100根或者金属球80个，如果你是车间主任，你会如何分配工人成套生产正方体教具？（2）现某中学购买两种档次的正方体教具共100套（价格如表所示），若恰好用了1800元，请问该学校应该如何购买该教具？品种高档中档低档价格（元/套）302010四、工程问题【典例】综合与探究．列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，现有一段长为180米的河坝加固任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天加固河道12米，B工程队每天加固河道8米，共用时20天．求A、B两工程队分别加固河道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：（1）如果甲同学采用直接设法：可设x表示，y表示．那么依题意可列方程组，解得．如果乙同学采用间接设法：可设a表示，b表示．那么依题意可列方程组，解得．（2）请你直接写出A、B两工程队分别加固河道多少米？【解答】解：（1）甲同学：设x表示A工程队加固河道的长度，y表示B工程队加固河道的长度，依题意得：x+y=180解得：x=60乙同学：设a表示A工程队工作时间，b表示B工程队工作时间，依题意得：a+b=20解得：a=5故答案为：A工程队加固河道的长度；B工程队加固河道的长度；x+y=180x12+y8=20；x=60（2）A工程队加固河道60米，B工程队加固河道120米．【巩固】某项工程，如果由甲、乙两队承包，225天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，334天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，267五、行程问题【典例】小明和哥哥在环形跑道上练习长跑．他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25s钟相遇一次．现在，他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？【解答】解：设哥哥的速度是V1米/秒，小明的速度是V2米/秒．环形跑道的周长为s米．（1）由题意，有25(整理得，4v2＝2v1，所以，V1＝2V2．答：哥哥速度是小明速度的2倍．（2）设小明跑了x圈，那么哥哥跑了2x圈．根据题意，得2x﹣x＝20，解得，x＝20．故经过了25分钟小明跑了20圈．【巩固】甲、乙两班同时从学校A出发去距离学校75km的军营B军训，甲班学生步行速度为4km/h，乙班学生步行速度为5km/h，学校有一辆汽车，该车空车速度为40km/h，载人时的速度为20km/h，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生，现在要求两个班的学生同时到达军营，问他们至少需要多少时间才能到达？巩固练习1．母亲节到了，小红，小莉，小莹到花店买花送给自己的母亲．小红买了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉买了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小莹买上面三种花各2枝，则她应付元．2．某商场地下停车场有5个出口，5个入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个入口和2个出口，8小时车库恰好停满；如果开放4个入口和2个出口，1.6小时车库恰好停满．2021年五一节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放3个入口和2个出口，则从早晨7点开始经过小时车库恰好停满．3．甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，动车与快车平均每小时各行驶多少千米？4．在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪筒身40个或剪筒底120个．（1）求这个班男生、女生各有多少人？（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？5．开学前夕，小明去文具店购买学习用品，已知购买3本笔记本和5支签字笔需花费25元，购买4本笔记本和7支签字笔需花费34元．（1）求笔记本和签字笔的单价分别为多少元？（2）恰逢甲、乙两文具店“开学季”促销活动，甲文具店所有商品均打九折；乙文具店购买超过30元的部分打8折．小明计划购买笔记本和签字笔共15个（笔记本和签字笔都购买），则他在哪家店购买更划算？6．杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，乐清某超市购进A、B型两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：类型进价（元/袋）售价（元/袋）A型大米2030B型大米3045（1）该超市在6月份购进A、B型两种大米共90袋，进货款恰好为2200元，①求这两种大米各购进多少袋？②据6月份的销售统计，两种大米的销售总额为1200元，求该超市6月份已售出大米的进货款为多少元？（2）为刺激销量，超市决定在进货款仍为2200元的情况下，7月份增加购进C型大米作为赠品，进价为每袋10元，并出台了“买3袋A型大米送1袋C型大米，买3袋B型大米送2袋C型大米”的促销方案，若7月份超市的购进数量恰好满足上述促销搭配方案，此时购进3种大米各多少袋？7．学校提倡练字，小冬和小红一起去文具店买钢笔和字帖，小冬在文具店买1支钢笔和3本字帖共花了38元，小红买了2支钢笔和4本字帖共花了64元．（1）每支钢笔与每本字帖分别多少元？（2）帅帅在六一节当天去买，正巧碰到文具店搞促销，促销方案有两种形式：①所购商品均打九折②买一支钢笔赠送一本字帖帅帅要买5支钢笔和15本字帖，他有三种选择方案：（Ⅰ）一次买5支钢笔和15本字帖，然后按九折付费；（Ⅱ）一次买5支钢笔和10本字帖，文具店再赠送5本字帖；（Ⅲ）分两次购买，第一次买5支钢笔，文具店会赠送5本字帖，第二次再去买10本字帖，可以按九折付费；问帅帅最少要付多少钱？8．男女运动员各一名，在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，如果他们从同一起跑点沿相反方向同时出发，那么每隔25秒相遇一次，现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，男运动员经过15分钟时追上女运动员，并且比女运动员多跑了4圈．求：（1）男运动员的速度是女运动员速度的多少倍？（2）男运动员经过15分钟追上女运动员时，女运动员跑了多少圈？9．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上