用一元一次方程解决实际问题【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题10用一元一次方程解决实际问题一、销售问题【学霸笔记】 销售问题中常见的等量关系：①利润=售价-进价；②；③售价=进价×（1+利润率）.【典例】某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为多少元？【解答】解：设标价为x元，则进价为（0.8x﹣500）元，根据题意得：20%（0.8x﹣500）＝500，解得x＝3750，∴进价为0.8x﹣500＝0.8×3750﹣500＝2500（元），∴按同一标价打九折销售获得的纯利润为3750×0.9﹣2500＝875（元），答：按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为875元．【巩固】某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球共120个，已知购买B品牌篮球的总价比购买A品牌篮球总价的3倍还多800元，A品牌篮球每个进价60元，B品牌篮球每个进价100元．（1）求购进A、B两种品牌篮球各多少个？（2）在销售过程中，A品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出；B品牌篮球每个售价140元，售出50个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的B品牌篮球，两种品牌篮球全部售出后共获利3080元，求B品牌篮球打几折出售？【解答】解：（1）设购进A品牌篮球x个，则购进B品牌篮球（120﹣x）个，依题意有：3×60x+800＝100（120﹣x），解得x＝40，120﹣40＝80（个）．故购进A品牌篮球40个，购进B品牌篮球80个；（2）设B品牌篮球打y折出售，依题意有：30%×60×40+（140﹣100）×50+（80﹣50）（140×y10-100解得y＝8．故B品牌篮球打8折出售．二、工程问题【学霸笔记】 工程问题中的等量关系：①工作总量=工作时间×工作效率；②工作总量往往表示为“1”；③工作总量=各个部分的工作量之和.【典例】新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某口罩生产厂家接到一批口罩定制任务，要求10天完成．如果安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；如果安排第二车间单独加工，则会延期5天完成．（1）为了尽快完成任务，厂长安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，那么该厂家可以提前几天完成任务？（2）已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：方案一：第一车间单独加工；方案二：第二车间单独加工；方案三：两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又在规定时间内完成这批口罩加工任务？请通过计算说明理由．【解答】解：（1）设提前x天完成，那么第一车间的工作时间是（10﹣x）天，第二车间的工作时间是（10﹣5﹣x）天，由题意得：10-x10解得x＝2．答：该厂家可以提前2天完成任务．（2）方案一：1.2×10＝12（万）；方案二：0.7×15＝10.5（万），但不能在规定时间内完成；方案三：1÷（110+115）＝6（天），6×（1.2+0.7）＝12＞11.4，所以选择方案三．【巩固】一空水池有甲、乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5min注满水池，单开乙管需10min注满水池，满池水如单开排水管需6min流尽，某次池中没有水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管，又过了同样长的时间，水池的14【解答】解：设甲开了xmin后关上排水管，依题意得：15×2x+110x解得：x=3则前后一共所花的时间为：34×2+（1-14）÷（15+110）＝三、行程问题【典例】【阅读理解】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4小时相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了14.4千米，相遇后经0.1小时乙到达A地．问甲、乙两人的速度分别是多少？分析可以用示意图来分析本题中的数量关系．从图中可得如下的相等关系，甲行驶0.4小时的路程＝乙行驶0.1小时路程，甲行驶0.4小时的路程+14.4＝乙行驶0.4小时的路程．根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程．【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题．【能力提升】对于上题，若乙出发0.2小时后行驶速度减少10千米/小时，问甲出发后经多少小时两人相距2千米？【解答】解：【问题解决】设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时，依题意有0.4x+14.4＝0.4×4x，解得x＝12，则4x＝4×12＝48．故甲的速度是12千米/小时，乙的速度是48千米/小时；【能力提升】设甲出发后经t小时相距2千米，（1）甲、乙两人相遇前两人相距2千米，依题意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）+2＝24，解得t＝0.4；（2）甲、乙两人相遇后相距2千米，依题意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）﹣2＝24，解得t＝0.48．故甲出发后经0.4或0.48小时两人相距2千米．【巩固】铁路旁的一条小路上，甲乙两人同时向东而行．甲步行，速度是1m/s；乙骑自行车，速度是3m/s．如果有一列匀速行驶的火车从他们的身后开过来，火车完全通过甲用了22s，完全通过乙用了26s，那么这列火车的车身有多长？【解答】解：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x﹣1）×22＝（x﹣3）×26，22x﹣22＝26x﹣78，26x﹣22x＝78﹣22，4x＝56，x＝56÷4，x＝14．火车的车身长为：（14﹣1）×22＝286（米）．答：这列火车的车身有286米．巩固练习1．相传有个人不讲究说话艺术常引起误会，一天他设宴请客，他看到几个人没来，就自言自语：“怎么该来的还不来呢？”客人听了，心想难道我们是不该来的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分着急，又说：“嗨，不该走的倒走了！”剩下的人一听，是我们该走啊！又有剩余客人的三分之一离开了，他着急地一拍大腿：“我说的不是他们．”于是剩下的6个人也走了，聪明的你知道最开始来了多少客人吗？（）A．16 B．18 C．20 D．22【解答】解：设开始来了x位客人，根据题意得x-12x-1解得：x＝18答：开始来的客人一共是18位．故选：B．2．我国古代数学著作中有这样一道题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．意思是：远远望见一座7层高的雄伟壮丽的佛塔，每层塔点着的红灯数，下层比上层成倍增加，共381盏．则塔尖有盏灯．【解答】解：设塔的顶层装x盏灯，则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是2x、4x、8x、16x、32x、64x，所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381127x＝381x＝381÷127x＝3答：塔的顶层装3盏灯．故答案为：3．3．某超市推出如下优惠方案：（1）购物款不超过200元不享受优惠；（2）购物款超过200元但不超过600元一律享受九折优惠；（3）购物款超过600元一律享受八折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款168元、423元．如果小明的妈妈在超市﹣次性购买与上两次价值相同的商品，则小明的妈妈应付款元．【解答】解：（1）第一次购物显然没有超过200元，即在消费168元的情况下，商品的实质购物价值只能是168元．（2）第二次购物消费423元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）：第一种情况：她消费超过200元但不足600元，这时候是按照9折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.9＝423，解得：x＝470．第二种情况：她消费超过600元，这时候是按照8折付款的．设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去），即在第二次消费423元的情况下，商品的实际购物价值可能是470元．综上所述，小明的妈妈两次购物的实质价值为168+470＝638（元），超过了600元．因此均可以按照8折付款：638×0.8＝510.4（元）．综上所述，她应付款510.4元．故答案为：510.4．4．在环行自行车赛场内，甲、乙、丙三人骑自行车进行训练，他们的速度是：甲每分钟23圈，乙每分钟34圈，丙每分钟12圈，他们同时出发，起点如图所示（甲从A点出发，沿圆周逆时针运动；乙从B点出发，沿圆周逆时针运动；丙从C点出发，沿圆周顺时针运动），则出发【解答】解：设出发后x分钟后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x+14+16此时，甲逆时针行驶了23当出发5分钟后，丙顺时针行驶了12×5此时，甲乙丙第一次相遇．故答案为：5．5．某生产车间专门加工生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺母24个或螺栓15个，一个螺栓配两个螺母配成如图的一套．（1）若安排20人生产螺栓，那么应安排多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？（2）若车间里有90名工人，那么应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套？【解答】解：（1）设安排x人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套，24x＝15×20×2解得，x＝25即安排25人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套；（2）设生产螺栓的有x人，15x×2＝24（90﹣x），解得，x＝40，则90﹣x＝50，即若车间里有90名工人，那么应分配40人生产螺栓，50人生产螺母才能使螺栓和螺母正好配套．6．某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：用水量/月单价（元/m3）不超过20m32.05超过20m3的部分3.05另：每立方米用水加收0.8元的城市污水处理费和0.15元的城市附加费（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费元；如果10月份某用户用水量为15m3，那么该用户10月份应该缴纳水费元；（2）某用户11月份共缴纳水费72元，那么该用户11月份用水多少m3？（3）若该用户水表12月份出了故障，有25%的水量没有计入水表中，这样该用户在12月份只缴纳了54元水费，问该用户12月份实际应该缴纳水费多少元？【解答】解：（1）根据表中数据可知，每月不超过20m3，实际每立方米收水费2.05+0.8+0.15＝3（元），10月份某用户用水量为15m3，不超过20m3，∴该用户10月份应该缴纳水费15×3＝45（元），故答案为3，45；（2）由（1）知实际每立方米收水费3元，20×3＝60＜72，∴11月份用水量超过了20m3，设11月份用水量为xm3，根据题意列方程得，20×3+（x﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝72，解得x＝23，答：该用户11月份用水23m3；（3）由（1）知实际每立方米收水费3元，20×3＝60＞54，∴水表12月份出故障时收费按没有超过20m3计算，设12月份实际用水量为xm3，根据题意列方程得，x（1﹣25%）×3＝54，解得x＝24，20×3+（24﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝76（元），答：该用户12月份实际应该缴纳水费76元．7．壮壮、菲菲、路路出生时，他们的妈妈都是27岁，某天三位妈妈王雪、刘芳和李薇闲谈时，王雪说：“菲菲比刘芳小29岁”；李薇说：“路路和刘芳的年龄的和是36岁”，刘芳说：“路路和王雪的年龄的和是35岁”．已知壮壮、菲菲、路路和他们的妈妈6个人年龄的总和是105岁．请回答：是路路的妈妈？壮壮、菲菲和路路的年龄各是岁，岁，岁？【解答】解：设刘芳的年龄为x岁．①刘芳和路路的年龄和是36岁，是个偶数，他们的年龄差也是一个偶数，而路路和妈妈的年龄的差是奇数，因此路路的妈妈不是刘芳．注意到菲菲比刘芳小29岁，菲菲的妈妈不是刘芳，所以，壮壮的妈妈是刘芳．②壮壮和妈妈刘芳的年龄的和为（2x﹣27）路路（36﹣x）岁，他的妈妈应当是（36﹣x+27）岁，和为（99﹣2x）菲菲（x﹣29）岁，她的妈妈应当是（x﹣29+27）岁，和为（2x﹣31）由于6个人共105岁，所以，（2x﹣27）+（99﹣2x）+（2x﹣31）＝105．③解出x＝32，菲菲比刘芳小29岁，所以菲菲3岁；路路和刘芳的年龄的和是36，路路4岁；路路和王雪的年龄的和是35岁，所以王雪31岁．答：王雪是路路的妈妈；壮壮5岁、菲菲3岁和路路4岁．故填：王雪，5，3，4．8．老师带着两个学生到离学校33千米的博物馆参观．老师开一辆摩托车，速度为25千米/小时．这辆摩托车后坐可带乘一名学生，带人后速度为20千米/小时．学生如果步行，速度为5千米/小时．请你设计一种方案，使得师生3人同时出发后用3个小时同时到达博物馆．【解答】解：设计方案：学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走出一定路程，让学生甲步行，老师返回接学生乙，然后老师带乘学生乙，与学生甲步行同时到达博物馆即可要确定摩托车中途接乙的返回点．（4分）设两个学生为甲、乙二人．学生乙先步行，老师带学生甲乘摩托车走了x千米，共用了x20小时．他们比乙多行了x20(乙遇到老师时，已经步行了(x20+如果甲、乙二人搭乘摩托车的路程相同，那么x=33-38x，解得x这样，在路上学生甲共计用的时间为x20学生乙共计用的时间为x20+x因此，上述方案可使师生3人同时出发后只用3小时就可同时到达博物馆．9．某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的12倍多15甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍；甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？【解答】解：（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品（12x+15根据题意得：22x+30（12x+15）＝6000解得：x＝150，∴12x+15＝90答：该超市第一次购进甲种商品150件、乙种商品90件．（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1950元．（3）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据题意得：（29﹣22）×150+（40×y10-30）×90×3＝1950解得：y＝8.5．答：第二次乙商品是按原价打8.5折销售．10．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．【解答】解：（1）1560∵45＞42，∴不能在限定时间内到达考场．（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．先将4人用车送到考场所需时间为15600.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t＝13.75，解得t=2.7513所以用这一方案送这8人到考场共需15+所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，由A处步行前考场需15-x汽车从出发点到A处需x60(h)先步行的4人走了设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有60t+解得t=11所以相遇点与考场的距离为：15-由相遇点坐车到考场需：(1