绝对值 【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升 （ 含答案解析 ）

专题2绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如：表示数a到原点的距离，表示数a与数b间的距离；3. 绝对值的性质①；②；③；④；⑤【典例】若a+b+c＝0，则|a|aA．﹣7 B．﹣1 C．1 D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a=，当b＝﹣2时，求|b|b=（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．【解答】解：（1）当a＝1时，|a|a=|1|1=1，当b＝﹣故答案为1，﹣1；（2）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，∴|a|a（3）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，∴|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a+c+（﹣c）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）＝a+c﹣c﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c．二、绝对值的非负性【学霸笔记】 不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab+1(a+1)(b+1)+1【解答】解：∵|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得b＝1，a＝2，∴原式=＝1-＝1-=202故答案为：20232024三、绝对值的最值【学霸笔记】1. 的几何意义就是数轴上数a与数b两点间的距离；2. 一般地，设分别是数轴上依次排列的表示有理数的点，若n为奇数，当时，的值最小；若n为偶数，当时，的值最小.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．【解答】解：（1）∵|x﹣3|≥0，∴当x＝3时，|x﹣3|＝0为最小值，故答案为：3，0；（2）∵|x﹣2|≥0，∴当x＝2时，|x﹣2|有最小值，故5﹣|x﹣2|有最大值为5，故答案为2，5；（3）∵|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的数到3和6的距离和，∴当整数x＝3或4或5或6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3，故答案为：3或4或5或6，3；（4）∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|表示数轴上表示x的数到1和2以及5的距离和，∴当整数x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值为4，故答案为：2，4；（5）当x＞5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（x﹣5）＝4，当1≤x≤5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（5﹣x）＝2x﹣6，∴﹣4≤2x﹣6≤4，当x＜1时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝1﹣x﹣（5﹣x）＝﹣4，∴|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值为4，最小值为﹣4，故答案为：4，﹣4；（6）∵|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，∴2≤x≤4，y≤1，∴x+y≤5，∴x+y有最大值为5，故答案为：大，5．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值 B．只有一个x的值使y取最小值 C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值 D．有无数多个x的值使y取最小值【解答】解：由题意得：当x＜﹣1时，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y＝﹣x+1+1+x＝2；当x＞1时，y＝x﹣1+1+x＝2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选：D．2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021 B．﹣1010 C．﹣1011 D．﹣1009【解答】解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，…∴当n为偶数时，an=-n2，当n为奇数时，a∴a2022=-2022故选：C．3．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x＞0且1﹣8x＜0，即18＜x所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故选：B．4．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x-a+b2|+|x-b+c2A．a-c2 B．a+b+2c2 C．2a+b+c2 【解答】解：∵ac＜0，∴a，c异号，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，又∵|c|＜|b|＜|a|，∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，又∵|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|表示到当x在b+c2即|x-a+b2|+|x-b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是故选：C．5．若有理数m，n，p满足|m|m+|n|n+|p|【解答】解：有理数m，n，p满足|m|m+|n|n+|p|p=1，所以根据绝对值的性质：①当m＞0，n＞0，p＜0时，原式＝1+1﹣1＝1，则2mnp|3mnp|②当m＞0，n＜0，p＞0时，原式＝1﹣1+1＝1，则2mnp|3mnp|③当m＜0，n＞0，p＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1，则2mnp|3mnp|故答案为-6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．【解答】解：|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，∴|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，当x≥1，y≥5时，x+2+x﹣1+y﹣5+y+1＝9，2x+2y＝12，x+y＝6，当﹣2≤x＜1，﹣1≤y＜5时，x+2+1﹣x+5﹣y+y+1＝9，但﹣3≤x+y＜6，当x＜﹣2，y＜﹣1时，﹣x﹣2+1﹣x+5﹣y﹣1﹣y＝9，﹣2x﹣2y＝6，x+y＝﹣3，故x+y最小值为﹣3，最大值为6．故答案为：﹣3，6．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c+|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x【解答】解：∵有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，∴a，b，c中不能同为正数或同为负数，①三个数中两个正数一个负数，设a＞0，b＞0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|-a+|b|-b+|c|-c②三个数中两个负数一个正数，设a＞0，b＜0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|-a+|b|-b+|c|-c当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2021+2021×（﹣1）﹣2021＝﹣1﹣2021﹣2021＝﹣4043；当x＝1时，原式＝12021+2021×1﹣2021＝1+2021﹣2021＝1．综上，代数式x2021+2021x﹣2021的值为1或﹣4043．故答案为：1或﹣4043．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d＝9，最高位数字最小a＝1即可，同时为使式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c＝1，此时b只能为1，所以此数为1119，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值＝0+0+8+8＝16．故答案为：16．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|【解答】解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：①当a，b，c都是正数时，a|a|+②当a，b，c都是负数时，a|a|=b|b|=c|c|=-1，所以和为﹣3；③当a，b，c中有两个正数，一个负数时，a|a|、b④当a，b，c中有一个正数、两个负数时，a|a|、b|b|、c|c|中有两个﹣1，一个+1总之，a|a|+b|b|+10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．【解答】解：S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，S最小值＝1+1+1+1+1+5＝10，则S的最小值是10．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|因为|a|＞|b|，a＜0，b＞0所以﹣a＞b，即﹣a﹣b＞0所以a+b＜0因为a＜0＜b＜c所以a﹣c＜0，c﹣b＞0．所以2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|＝2×（﹣a﹣b）﹣3（c﹣a）+2（c﹣b）＝﹣2a﹣2b﹣3c+3a+2c﹣2b＝a﹣4b﹣c12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，an，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，bn．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|an﹣bn|之所有可能的值．【解答】解：令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．设ai中必也有n﹣