三角形中的边和角【 学霸笔记+典例精析+竞赛试题 】 初中数学 学科素养能力提升

专题30三角形中的边和角一、三角形三边的不等关系【典例】周长为P的三角形中，最长边m的取值范围是（）A．p3≤m＜p2 B．p3＜m＜p2 C．p【解答】解：三边相等时，m=p三边不相等时，最长边m＜p所以，p3≤m故选：A．【巩固】已知等腰三角形ABC．（1）若其两边长分别为2和3，求△ABC的周长；（2）若一腰上的中线将此三角形的周长分为9和18，求△ABC的腰长．二、三角形的三线【学霸笔记】1. 三角形的高：从顶点向它所对的边画垂线段，则顶点到垂足间的线段叫作这条边上的高，且三条高或其延长线相交于同一点，这个点叫作垂心；2. 三角形的中线：顶点与对边中点间的线段，且三角形三条中线相交于同一点，这个点叫作重心；3. 三角形的角平分线：顶点与角平分线和对边交点间的线段，三角形的三条角平分线相交于同一点，这个点叫作内心.【典例】如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为60，BD＝5，则△BDE的BD边上的高是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝60，∴S△ABD=12S△ABC=12∵BE是△ABD的中线，∴S△BDE=12S△ABD=12设BD边上的高为h，BD＝5，∴12⋅BD⋅h=12×5∴h＝6．故选：D．【巩固】如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是．三、三角形的角平分线【典例】如图，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线且∠DBC＝∠ECB＝31°．求∠ABC和∠ACB的度数，它们相等吗？（写出简单过程）【解答】解：相等，由BD与CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACE＝∠ECB=1由∠DBC＝∠ECB＝31°，可得∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠ABC＝∠ACB．【巩固】如图，点D是∠ABC的角平分线上的一点，过点D作EF∥BC，DG∥AB．（1）若AD⊥BD，∠BED＝130°，求∠BAD的度数．（2）DO是△DEG的角平分线吗？请说明理由．巩固练习1．已知三角形三边长a，b，c都是整数，并且a≤b＜c，若b＝7，那么这样的三角形共有（）个．A．21 B．28 C．49 D．142．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE＝160°，则∠B的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°3．如图，点D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，直线BD与CE交于点F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD的面积是．4．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分别是△ABC的高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于点G，交BC于点H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是5．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的12时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一个“友好三角形”中有一个内角为54°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为6．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点D是AB的中点，点P从A点出发，沿线段AD以每秒2cm的速度运动到B．当点P的运动时间t＝秒时，△PCD的面积为6cm2．7．如图1，AD是△ABC的角平分线，E是AD延长线上一点，∠EBC＝90°-12∠ABC，∠ECB＝90°-1（1）若∠BAC＝78°，求∠BEC的度数；（2）若∠ABC＝42°，则∠AEC＝度，若∠ACB＝64°，则∠AEB＝度；（3）如图2．若CF平分∠ACB交AD于点F，求证：CF⊥CE．8．如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，E是AC延长线上的一点，连接DE交BC于点M，∠ADE的平分线与∠ABC的平分线交于点P，∠ACB的平分线与∠DEC的平分线交于点Q，求证：∠P＝∠Q．9．（1）如图1，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝60°，∠ADC＝140°，则∠AEC的大小是；（2）如图2，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ABC＝α，∠ADC＝β（α＞β），求∠AEC的大小；（用含α，β的代数式表示）（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝α，∠ABC＝β（α＞β），AD是△ABC的角平分线，点E是AD延长线上一点，作EF⊥BC与点F，请问∠AEFα-β10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠a．（1）若点P在线段AB上，如图1，且∠a＝40°，则∠1+∠2＝；（2）若点P在边AB上运动，如图2，则∠a，∠1，∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠a，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由；（4）若点P运动到△ABC外部，如图4，则∠a，∠1，∠2之间的关系为．11．如图①，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），OC＝4OB．（1）若△ABC的面积为20，分别求点B、C的坐标；（2）如图②，向x轴正方向移动点B，使∠ABC﹣∠ACB