数学思想方法概述

数学思想方法概述第1页，课件共10页，创作于2023年2月美籍匈牙利数学家波利亚（GeorgePolya,1887-1985）先后出版了《怎样解题》、《数学的发现》和《数学与猜想》，这些书被译成多国文字，成了世界范围内的数学教育名著，开起数学思想方法研究的先河。

1972年，美国著名数学家、数学史家克莱因(MorrisKline,1908-1992)出版了一部长达1200页的巨著---《古今数学思想》，系统地叙述和总结了古今数学思想发展史，至今仍是世界经典的数学思想方法教科书。在我国，徐利治院士倡导“数学方法论”研究，出版了《数学方法论选讲》(1983年)专著，居功厥伟。同时，姜伯驹院士、李大潜院士、张景中院士、刘应明院士等的大力倡导，加之“中学数学解题”的社会需求，数学思想方法的研究在数学教育界得到迅速普及，著作和论文迭出。第2页，课件共10页，创作于2023年2月自1993年《中学数学教学大纲》明确提出数学思想方法是数学基础知识的重要组成部分以来，数学教学中如何挖掘课本中所蕴含的数学思想方法，如何有效地进行数学思想方法教学，如何培养和发展学生的数学思想，已成为数学教育工作者普遍关注和潜心探索的一个重要课题。

20世纪90年代，北京大学、南京大学等一大批高等院校数学系，相继开设《数学方法论》选修课，徐利治《数学方法论选讲》作主要教学参考书。进入21世纪，我国高等院校特别是师范院校几乎都开设了《数学思想方法》必修课或选修课，包括中央电视大学数学专业“专升本”，都把《数学思想方法》作必修课(54学时)。我校是开设该门课程较早的院校，从1996年起开设《数学思想方法》选修课，2000年起改为必修课，至今已有9届学生学习该门课程，学生普遍对该门课程持肯定和欢迎态度。第3页，课件共10页，创作于2023年2月一、方法

“方法”是一种元概念，没法精确定义，《辞海》中也未收录“方法”辞条，它和“物质”、“集合”笺等概念一样，不能逻的定义，只能概略地描述．例如，把“方法”解释为人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称．这里的“方式”、“手段”、“途径”等等，都和“方法”大体上是“同义词”，并非“属”和“种差”式的严格定义．但是，人们却熟知“方法”的含义，也从未有什么大的争论．一个通俗的比喻是：要过河，必须采用造桥和驾船等方法，“不解决桥和船的问题，过河就是一句空话”．第二节方法·数学方法·数学思想第4页，课件共10页，创作于2023年2月因此，方法是相对于某一目的而言．其次，方法是人的一种活动，人在活动中，为达到某一目的，可以主观能动地选择、组合和创造各种手段、方式加以实行．这便是方法的真实含义人们对方法进行研究，这便产生了“方法论”，或称“方法学”。如果放在哲学层面来分析，方法论和世界观是统一的．马克思主义哲学认为用世界观去指导认识世界和改造世界，就是方法论．二、数学方法

顾名思义，数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法．数学方法论则是对古往今来的数学方法进行概括、分类、评价以及如何运用的论述．第5页，课件共10页，创作于2023年2月徐利治院士认为：“数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律、数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。”

数学方法论从内容上可分为宏观与微观两大类：宏观数学方法论是研究“数学发展规律”，如数学发展史，数学中的辩证法、数学中的美学方法、数学中的思维方法等，因此可以看作哲学的一个分支;微观数学方法论研究数学中的思想、方法以及法则，属于学科方法论范畴。第6页，课件共10页，创作于2023年2月微观的数学方法有以下四个层次：第一，基本的和重大的数学思想方法。如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等等，它们决定一个大的数学学科方向，构成数学的重要基础。第二，与一般科学方法相应的数学方法。如类比联想、分析综合、归纳演绎等等。一般科学方法，在用于数学时应该有它自己的特点。第三，数学中的特有的方法。如数学等价、数学表示、公理化、关系映射反演、数形转换等等方法。其中“关系、映射、反演”方法是徐利治先生的一项创造性的概括．这些方法主要在数学中产生和适用，当然也可部分地迁移到其他科学。第7页，课件共10页，创作于2023年2月第四，中学数学中的解题技巧。由于它的内容是初等数学，规律较为明确，又易于深入解剖，较为中学数学教师所关注。例如因式分解中的十字相乘法，解二次方程中的配方法，几何中的尺规作图法，解析几何中确定直线的点斜式、两点式等等。

三、数学思想数学思想，人们常用它来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果．比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等等．第8页，课件共10页，创作于2023年2月另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思路想等等．但从这些例子来说，“思想”都可换成“方法”而一样适用．同一个数学成就，当用它去解决别的问题时，就称之为方法。当评价它在数学体系中的自身价值和意义时，称之为思想。将这两重意义合在一起，就称为“数学思想方法”。比如，“极限”，用它去求导数、求积分、解方程时，人们就说极限方法。当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示，使无限向有限转化时，人们就讲“极限思想”了。为了将这两重意思合在一起说，于是也称“极限思想方法”。第9页，课件共10页，创作于2023年2月其实，数学思想和数学方法往往不加区别。克莱因的巨著《古今数学思想》，其实说的都是“古今数学方法