太原理工微积分与数学模型10年修改版第三章理工大高数

~函数四则运算的求导法则二反函数的求导法则

三复合函数的求导法则第三、四节函数的求导法则一、函数四则运算的求导法则定理1

如果函数u(x),v(x)在点x处可导,则它们的和、差、积、商(分母不为零)在点x处也可导,并且[u(

x)

–

v(

x)]

=

u

(

x)

–

v

(

x)[u(

x)

v(x)]

=

u

(x)v(x)

+u(x)v

(x)(v(

x)

„

0)(3)

[u(

x)]¢=

u

(

x)v(

x)

-

u(

x)v

(

x)v(

x)

v(

x)2[u(

x)]¢„

u¢(

x)v(

x)

v¢(

x)[u(

x)v(

x)]

„

u

(

x)

v

(

x)注意推论n

ni

=1

i

=1(1) [

fi

(

x)]¢=

fi¢(

x)(2) [Cf

(

x)]

=

Cf

(

x)ni

=1

k

=1k

„in

n=

fi¢(

x)

fk

(

x)i

=1(3)

[fi

(

x)]¢=

f1¢(

x)

f2

(

x)

fn

(

x)+

+

f1

(

x)

f2

(

x)

fn¢(

x)例1求f

(x)=x

+2xx

-2

的导数解：x

)¢-

(

2

)¢=

x¢+

(2f

¢(

x)

=

(

x

+

2xx

-

2

)¢x1

1x

31x

3-

2-

22

x1=

1

+

2x=

1

+

1

+设f

(x)=xe

x

ln

x例2求

f

(

x)解：f

(

x)

=

(

xe

x

ln

x)=

x¢e

x

ln

x

+

x(e

x

)¢ln

x

+

xe

x

(ln

x)¢=

e

x

(1

+

ln

x

+

x

ln

x)x=

e

x

ln

x

+

xe

x

ln

x

+

xe

x

1例3求y

=tan

x

的导数解：cos

xy¢=

(tan

x)¢=

(

sin

x

)¢=

(sin

x)

cos

x

-

sin

x(cos

x)cos2

x=cos2

x

cos2

xcos2

x

+

sin2

x

1=

sec2

x=y

=

(tan

x)

=

sec2

x同理可得y

=

(cot

x)

=

-csc2

x例4求y

=sec

x

的导数解：)¢cos

x1y¢=

(sec

x)¢=

(cos2

x=

sec

x

tan

x=

-

(cos

x)

=

sin

xcos2

x同理可得y

=

(csc

x

)

=

-

csc

x

cot

x定理2

如果函数

x

=

j

(

y)在某区间I

y内单调、可导,

且j

¢(

y)

„

0

,

那末它的反函数y

=

f

(

x

)在对应dy即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。dx1

dy

1即

=j

¢(

y)

dxx区间I

内也可导,

且有f

¢(

x)

=注意

f

(

x),j

(

y)中的“”均为求导,但意义不同。二、反函数的求导法则证：任取x

˛

Ix

,给x以增量Dx

(Dx

„0,x

+Dx

˛

I

x

)由y

=f

(x)的单调性可知Dy

„0,DxDx于是有

Dy

=

1

,Dy0时,必有Dy

fi

0因为f

(x)连续,所以当Dx

fi(

j

(

y)

„

0)Dx

fi

0

DxDyDyfi

0

Dx故f

¢(

x

)

=

lim

Dy

=

lim1

=

1j

¢(

y)j

¢(

y)1即f

¢(x)=例5求y

=arcsin

x

的导数解：1(arcsin

x)¢=(sin

y)¢

cos

y1=11

-

sin2

y1=1

-

x

21=同理可得(arccos

x)¢=-1

-

x

2111

+

x

21

+

x

2(arctan

x)¢=

; (arc

cot

x)¢=

-2

2˛

(-

pp, )内单调,可导yx

=sin

y

在I(siny)

=cos

y

>0

所以,在I

x

˛

(-1,1)内有定理3或dx

du

dxdy

=

dy

du三、复合函数的求导法则00Dufi

0

Du证明：由y

=

f

(u)在点u

可导,所以

lim

Dy

=

f

¢(u

)如果函数u

=g(x)在点x0

可导，而函数

y

=

f

(u)

在点u0

=

g(

x0

)

可导，则复合函数

y

=

f

g(

x)]在点

x0

可导，且其导数为0

0dxdy¢

¢=

f

(u

)

g

(

x

)Dxfi

0

Dx0Dx

DxDxfi

0故lim

Dy

=

lim[

f

¢(u

)

Du

+a

Du]Dxfi

0Dxfi

0

Dx

Dxfi

0

Dx0=

f

¢(u

)

lim

Du

+

lima

lim

Du=

f

(u0

)j

(

x0)即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变

量求导,乘以中间变量对自变量求导(链式法则)。则

Dy

=

f

(u0

)Du

+

aDu(

lim

a

=

0)Dufi

00=

f

¢(u

)

+aDuDy故推广设y

=f

(u),则复合函数y

=f

{j[y

(x)]}的导数为

dy

=

dy

du

dvdx

du

dv dx{

f

[j

(

x

)]}

与f

[j

(

x

)]不同，前者u

=

j

(v)

,

v

=y

(

x)

,注意是对x求导,后者对u

=j

(x

)求导。例6

求函数y

=arctan的导数x1复合而成，与u

=1x解：y

=arctan

1

看成y

=arctan

ux1=

-1

+

x

2x

2x

21

+

u2

, (

x

)1

-

111

+x

21

1

¢=

-

1(arctan

u)¢=dy=dx例7求函数y

=x

m

(m为常数)的导数解：y

=e

t

与t

=m

ln

x复合而成，=em

ln

x

看成y

=

xm=

xm

m

=

mxm

-1x验证了第一节的例2m

m

ln

x

m=

ex

xdxdy

t\ =

e基本初等函数的导数公式；复合函数的分解；复合函数的求导法则。复合函数的分解过程熟悉后，可以不写中间变量，而直接写出结果。由上例可见，初等函数的求导必须熟悉例8

设

y

=

1

-

x

2

求

y解：

y¢=

( 1

-

x

2

)¢=(1

-

x

2

)¢2 1

-

x

211

-

x

22 1

-

x

2(-2x)

=

-x或y¢=1

-

x

212 1

-

x

2(-2x)1x=

-=(x

>2)的导数求函数y

=lnx

2

+

13x

-

2练习sin

1x

的导数例9

求函数y

=e解：1y¢=

esin

1x(sinx)¢(1

1sin

1)¢=

e

cosx

xxxxe

cos11x

2sin

1=

-例10

设

y

=

f

(arcsin

x),

而f

(u)可导，dxdy求f

¢(arcsin

x)1

-

x211

-

x21dxdy

=

f

¢(arcsin

x)=解：)1

+

x2(1

+x=1x

+

1

+

x211

+

x2=例111

+x

2

)

求y设y

=ln(

x

+解：

y

=

[ln(

x

+

1

+

x2