1.1变化率与导数

1.1.1变化率问题问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V与半径r之间的函数关系是将半径r表示为体积V的函数当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为显然0.62>0.16

随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小。思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系

h(t)=-4.9t2+6.5t+10.

hto请计算htoh(t)=-4.9t2+6.5t+10

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:探究:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态.平均变化率定义:设Δx=x2-x1,Δf=f(x2)-f(x1)上述问题中的变化率可用式子表示称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率思考?观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y直线AB的斜率1、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=()A、3B、3Δx-(Δx)2C、3-(Δx)2D、3-ΔxD2、求y=x2在x=x0附近的平均速度.

2x0+Δx练习4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.A1.1.2导数瞬时速度高台跳水高台跳水ΔtΔt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是我们你它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作或

导数的概念由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:例1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值:练习2:设函数f(x)在点x=a处可导,试用a、f(a)和例2:高台跳水运动中，秒时运动员相对于水面的高度是（单位：），求运动员在时的瞬时速度，并解释此时的运动状态;在呢?

同理，

运动员在时的瞬时速度为，上升下落这说明运动员在附近，正以大约的速率。例3、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第时，原油的温度（单位：℃）为计算第2h和第6h，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.例3.在自行车比赛中，运动员的位移s与比赛时间t存在的函数关系

s=10t+5t2，求（1）t=20，

t=0.1时的

s与

s/

t；（2）求t=20的速度.

作直线运动的物体，位移s与时间t的函数关系

s=3t-t2，

(1).求物体的初速度；

(2).求物体在t=2时的瞬时速度；

(3).求t=0到t=2时的平均速度.练习3.若f,

(x

0)=-2，则

=

.14.若f,

(x

0)=，则=

.-f,

(a)2.设函数f(x)在x=x0可导，则等于

.A练习导数的几何意义一般地，已知函数y=f(x)的图象是如图所示的曲线C，P(xo,yo），Q(xo＋Δx,yo＋Δx)是曲线上的两点,当点Q沿着曲线无限接近于点P，即Δx0时，如果割线PQ无限趋近于一个极限位置PT，那么直线PT叫做曲线在点P处的切线.此时，割线PQ的斜率无限趋近于切线PT的斜率k，也就是说，当Δx0时，割线PQ的斜率的极限为k.切线导数的几何意义:函数在x0处的导数f1(x)的几何意义,是曲线y=f(x)在(x0,f(x0)))点处的斜率,即:例题3、判断曲线y=2x2在点P(1,2)处是否有切线，如果有，求出切线的方程.1、设函数y=f(x),当自变量由xo改变到xo+Δx时，函数的改变量Δy=()

A、f(xo+Δx)B、f(xo)-f(Δx)C、f(x