北航空气动力学课件第二章

空气动力学第二章流体运动学和动力学基础（12学时）*本章讲授内容比教材第二章多第2章流体运动学和动力学基础

2.1描述流体运动的方法2.1.1两种描述方法2.1.2欧拉法的加速度表达式2.1.3流线、流管、流面与流量2.2流体微团运动的分析2.3理想流体运动微分方程组2.3.1连续方程2.3.2Euler运动微分方程组2.3.3Bernoulli积分及其物理意义2.3.4Bernoulli方程的应用2.4流体运动的积分方程2.4.1Lagrange型积分方程2.4.2Reynolds输运方程2.4.3Euler型积分方程2.5环量与涡2.5.1环量与涡的概念2.5.2环量与涡量的关系2.5.3涡的诱导速度2.5.3理想流中的涡定理2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法2.1.1拉格朗日方法与欧拉方法连续介质假设：流体是由质点组成，无空隙地充满所占据的空间。对于无数多的流体质点，当其发生运动时，如何正确描述和区分各流体质点的运动行为，将是流体运动学必须回答的问题。描述流体运动的方法有两种。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法1、Lagrange方法（拉格朗日方法，质点法）

Lagrange(1736-1813)，法国数学家、物理学家，分析力学的创始人，曾被拿破仑称为“数学科学高耸的金字塔”。在该方法中，观察者着眼于个别流体质点的流动行为，通过跟踪每个质点的运动历程，从而获得整个流场的运动规律。（迹线的概念）描述刚体运动常用的方法漂流瓶2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)

其中，a,b,c为流体质点的标识符，用于区分和识别各质点，可理解为某个时刻质点存在的空间位置坐标。

t表示时间。a.b.c.t称为拉格朗日变数。

a.b.c给定，表示指定质点的轨迹。

t给定，表示在给定时刻不同质点的空间位置。

(警察抓小偷的方法)xyz·(a,b,c)2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课质点法—观察者着眼于个别流体质点，所获取的第一手资料是流体质点的轨迹2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于给定流体质点，速度表达式是流体质点的加速度为2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流体质点的其它物理量也都是a,b,c,t的函数。迹线方程为2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2、Euler方法（欧拉方法，空间点法，流场法）

Euler(1707-1783)，瑞士数学家、物理学家，提出变分原理，建立了理想流体运动方程。在该方法中，观察者相对于坐标系是固定不动的，着眼于不同流体质点通过空间固定点的流动行为，通过记录不同空间点流体质点经过的运动情况，从而获得整个流场的运动规律。（引出流线概念）2.1描述流体运动的方法漂流瓶->水位测量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法 欧拉LeonhardEuler（1707－1783年）瑞士数学家.欧拉是世界史上最伟大的数学家之一.他从19岁就开始著书，直到76岁高龄仍继续写作.几乎每个数学领域，都可以看到欧拉的名字.如初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、立体解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法、数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论中欧拉常数、变分学的欧拉方程、复变函数论欧拉公式等。

1755年欧拉建立了理想不可压流体运动的微分方程组（欧拉方程）。六年后，拉格朗日引入流函数的概念，建立了理想流体无旋运动所满足的动力学条件，提出求解这类运动的复位势法（第三章内容）。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课其中，x,y,z为空间点的坐标。

t表示时间。x.y.z.t称为欧拉变数。

x.y.z给定，t变化，表示不同时刻不同流体质点通过同一空间点的速度。

t给定，x.y.z变化，表示给定时刻，不同流体质点通过不同空间点的速度，给定速度场。

(守株待兔，看门房式的工作方法)2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课应指出，空间点速度本质上指的是t瞬时恰好占据该空间点的流体质点所具有的速度。一个布满了某种物理量的空间称为场。流体流动所占据的空间称为流场。如果物理量是速度，描述的是速度场。如果是压强，称为压强场。在高速流动时，气流的密度和温度也随流动有变化，那就还有一个密度场和温度场。这都包括在流场的概念之内。2.1描述流体运动的方法速度、压力、温度都不是物性参数，而是流动参数2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课如果场只是空间坐标的函数而与时间无关则称为定常场,否则为非定常场。对于定常速度场的表达为：一个速度场2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课用欧拉法来描述流场时，观察者直接测量到的是速度，那么在流体质点的运动过程中，质点的速度变化是如何引起的，怎样正确表示流体质点的加速度呢，以下面例子说明之。2.1描述流体运动的方法2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课参看下图，第1图表示流体质点从A流到B速度不变；第2图表示流体质点从A流到B点，因水位下降引起速度减小；第3图表示流体质点从A流到B点，因管道收缩引起速度增加；第4图表示流体质点从A流到B点，因水位下降和管道收缩引起速度的变化。水位下降表示流场的非定常性，管道收缩表示流场的不均匀性。由此可见，一般情况下引起流体质点速度的变化来自于两方面的贡献：其一是流场的不均匀性，其二是流场的非定常性。2.1描述流体运动的方法进入较冷的山洞的同时，有朋友用雪球砸到脖子2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课设速度函数具有一阶连续的偏导数，现在来求加速度。设某一流体质点在t时刻位于流场中M点，经过微分时段位于N点，根据加速度定义有2.1.2欧拉法的加速度表达式当地随时间的变化，非定常性当时随空间的变化，非均匀性2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课根据泰勒级数展开，流场非定常性引起的速度变化为2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流场不均匀性引起的速度变化为2.1.2欧拉法的加速度表达式M点为(x,y,z)，N点为(x+Δx,y+Δy,z+Δz)2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流场不均匀性引起的速度变化为2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课综合起来，得到流体质点的全加速度为2.1.2欧拉法的加速度表达式哈密顿算子：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课等式右边第1项表示速度对时间的偏导数，是由流场的非定常性引起的，称为局部加速度，或当地加速度；右边第2项表示因流体质点位置迁移引起的加速度，称为迁移加速度，位变加速度，或对流加速度。二者的合成称为全加速度，或随体加速度。写成分量形式为2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课算子表示随流体质点运动的导数，称随体导数。除速度外，对流场中其它变量也成立。如对于压强p，有2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课如果流动参数是一维空间流程坐标s和时间

t的函数，速度场为v（s,t）。则全加速度表示为：vs2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课根据上述分析，可得出以下各图中的加速度表达式。2.1.2欧拉法的加速度表达式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课在某一瞬时t，从流场中某点出发，顺着这一点的速度指向画一个微分段到达邻点，再按邻点在同一瞬时的速度指向再画一个微分段，一直画下去，当取微分段趋于零时，便得到一条光滑的曲线。在这条曲线上，任何一点的切线方向均与占据该点的流体质点速度方向指向一致，这样曲线称为流线。在任何瞬时，在流场中可绘制无数条这样的流线。流线的引入，对定性刻画流场具有重要意义。2.1.3流线、流管、流面与流量时间t固定2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于流线上各点的切线方向与该点的速度方向一致，则流线上的切线方向的三个余弦dx/ds，dy/ds，dz/ds必和流速分量与合速度组成的三个方向余弦相同。表示为微分的关系是称为流线微分方程2.1.3流线、流管、流面与流量在拉格朗日体系下的迹线方程：（欧拉体系下）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流线是反映流场瞬时流速方向的曲线。其是同一时刻，由不同流体质点组成的。与迹线相比，迹线是同一质点不同时刻的轨迹线。根据流线的定义，可知流线具有以下性质：（1）在定常流动中，流体质点的迹线与流线重合。

在非定常流动中，流线和迹线一般是不重合的。（2）在定常流动中，流线是流体不可跨越的曲线。

（虚拟边界）2.1.3流线、流管、流面与流量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（3）在常点处，流线不能相交、分叉、汇交、转折，

流线只能是一条光滑的曲线。也就是，在同一

时刻，一点处只能通过一条流线。（4）在奇点和零速度点例外。2.1.3流线、流管、流面与流量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课与流线密切相关的，是流管和流面两个概念。流管是由一系列相邻的流线围成。在三维流动里，经过一条有流量穿过的封闭曲线的所有流线围成封闭管状曲面称为流管。2.1.3流线、流管、流面与流量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由流线所围成的流管也正像一根具有实物管壁一样的一根管子，管内的流体不会越过流管流出来，管外的流体也不会越过管壁流进去。

流面是由许多相邻的流线连成的一个曲面，这个曲面不一定合拢成一根流管。当然流管的侧表面也是一个流面。不管合拢不合拢，流面也是流动不会穿越的一个面。2.1.3流线、流管、流面与流量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流量是单位时间内穿过指定截面的流体量（体积、质量或重量），例如穿过上述流管中任意截面A的体积流量、质量流量和重量流量可分别表为其中，是局部速度向量，是密度，

是微元面积的法线向量2.1.3流线、流管、流面与流量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2流体微团运动的分析2.2.1流体微团的基本运动形式在理论力学中，研究对象是质点和刚体（无变形体），它们的基本运动形式可表示为：（1）质点运动（无体积大小的空间点）只有平移运动（平动）；（2）刚体运动（刚体具有一定体积大小，但无变形）

除平移运动外，还有整体的旋转运动（转动）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

在流体力学中，研究对象是质点和不断变化形状与大小的变形体，就变形体而言，其运动形式除包括了刚体的运动形式外，还有变形运动。变形运动包括两种，其一是引起体积大小变化的边长伸缩线变形运动，其二是引起体积形状变化的角变形运动。由此可得变形体的基本运动形式包括：（1）平动（2）转动（3）线变形运动（4）角变形运动2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

平动转动（角平分线转动）线变形运动角变形运动（角平分线不动）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

为便于分析，在流场中任取一平面微团分析。根据泰勒级数展开，微分面四个顶点的速度可表示如下。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

（1）各顶点速度相同的部分，为微团的平动速度。

（u,v,w）（2）线变形速率线变形运动是指微元体各边

长发生伸缩的运动。线变形速率定义为单位

时间单位长度的线变形量。如对于AB边长，

在微分时段内边长的增加量为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

由此得到x方向的线变形速率(单位时间、单位长度)为同理，在y方向的线变形速率为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

平面微团的面积变化率为div

散度2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

（3）角变形速率与旋转角速度在微分时段内，AB与AC两正交边夹角的变化与微分平面的角变形和转动有关。在微分时段内，AB边的偏转角度为（逆时针为正）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

在微分时间内，AC边的偏转角度为（顺时针为负）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

平面微团夹角的总变化量可分解为像刚体一样角平分线的转动部分和角平分线不动两边相对偏转同样大小角度的纯角变形部分。如图所示。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

设在微分时段内，平面微团角平分线转动角度为α，边线的纯角变形量为β，则由几何关系可得解出可得2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

定义，平面微团的旋转角速度（单位时间的旋转角度）为平面微团的角变形速率（单位时间单边角变形量）为注意负号和1/22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

对于三维六面体微团而言，其运动形式同样可分为：平动、转动和变形运动，类似平面微团很容易导出相关公式。此处不再推导，以下直接给出。流体微团平动速度：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.1流体微团的基本运动形式

流体微团线变形速率：

流体微团角变形速率（剪切变形速率）：流体微团旋转角速度：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.2流体微团速度分解定理

德国物理学家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流场速度的分解定理，正确区分了流体微团的运动形式。设在流场中，相距微量的任意两点，按泰勒级数展开给出分解。在速度为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.2流体微团速度分解定理

在点处，速度为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.2流体微团速度分解定理

按泰勒级数展开有式中第一项和M0点的速度相同，是微团的整体移动速度。第二、三项是角速度；第四项是线变形率；第五、六项是角变形率。说明微团运动同时包含平动，转动和变形（线变形和角变形）。微团运动＝平动＋线变形（拉伸）＋角变形＋角速度（转动）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.2流体微团速度分解定理

2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课

2.2.2流体微团速度分解定理

应指出的是，实际流体微团的运动可以是一种或几种运动的组合。如，（1）对于均速直线运动，流体微团只有平动，

无转动和变形运动。（2）无旋流动，流体微团存在平动、变形运动，但无转动。

（3）旋转容器内的流体运动，流体微团存在平

动和转动，但无变形运动。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.2流体微团速度分解定理

应指出的是，刚体的速度分解定理和流体微团的速度分解定理除了变形运动外，还有一个重要的差别。刚体速度分解定理是对整个刚体都成立，因此它是整体性定理；而流体速度分解定理只是对流体微团成立，因它是局部性定理。譬如，刚体的角速度是刻画整个刚体转动的一整体特征量，在刚体上任意一点都是不变的，而流体的旋转角速度是刻画局部流体微团转动的一个局部性特征量，在不同点处微团的旋转角速度不同。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.3散度及其意义

回顾：二维情况下，平面微团的面积变化率三个相互垂直方向的线变形率之和在向量分析中称为速度V的散度，符号为divV，即散度在流体力学里表示流体微团的相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）。散度可以看成是哈密顿算子和速度的向量点乘2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.3散度及其意义

为说明此点可取一简单的矩形微元六面体来看，设六面体的三边原长分别是Δx,Δy,Δz，原来体积是（ΔxΔyΔz），经过Δt时间后三个边长分别变为：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.3散度及其意义

则相对体积膨胀率（单位时间单位体积的增长量）为：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.3散度及其意义

质量守恒：流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流动里，微团的体积不变，其速度的散度必为零。如果是密度有变化的流动，那么散度一般地不等于零。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

业已知道，流体微团绕自身轴的旋转角速度的三个分量为ωx，ωy，ωx，合角速度可用矢量表示为这个值在向量分析里记为（1/2）rotV，称为V的旋度。旋度可以看成是哈密顿算子和速度的向量叉乘的二分之一xyzωxωyωz2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

一个流场，如果各处的ω都等于零，这样的流场称为无旋流场，其流动称为无旋流。否则为有旋流场，其流动称有旋流。根据数学上Stokes定律如果是无旋流场，那么其旋度为零，由此得到说明此时速度场的曲线积分与路径无关，仅是坐标位置的函数。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课在数学分析里，上式是式成为全微分的必要和充分条件之所以提出无旋场的概念，是因为无旋场在作理论研究时有很大的意义。无旋流多了一个的限制条件。这个条件可以写为：2.2.4旋度和位函数

2.2.4旋度和位函数

上式中这个函数称为速度势函数或速度位，其存在的充分必要条件是无旋流动。在数学上表示下列微分代表某个函数的全微分，即2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

速度势函数仅是坐标位置和时间的函数。即速度势函数与速度分量的关系为说明速度势函数在某个方向的偏导数等于速度矢量在那个方向的分量。类比彻体力的势函数SxyzuVvwvs2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

一个无旋流场一旦知道了它的位函数的具体函数，按这个式子就可以算出流场上任何一点的流速来。对于无旋场而言，问题由求解具有三个分量的速度场，变为求解一个位函数

位函数的绝对值没有太大意义但其差值有意义。对于无旋流，沿一条连接A、B两点的曲线进行速度的线积分，结果只与二端点的Φ值之差有关而与积分路径无关。即：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

例2.1设有一个二维流场其速度分布的式子是

,问这个流动是有旋的还是无旋的？有没有速度位存在？流线方程是什么？变形率的是什么？解：流体微团绕z轴的旋转角速度为流动无旋，存在速度势函数。

流线方程为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

积分得常数C取一系列的值画得一系列的流线，见下图。流体微团线变形率：角变形率：2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.2.4旋度和位函数

考察矩形微团ABCD，在如图流场中将从左上方流向右下方，由于流动无旋微团不转动；由于相对体积膨胀率为零，x方向线段有缩短，y方向线段必有拉伸，流动过程中矩形微团面积保持不变；流体微团无角变形。A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy02010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3理想流体运动微分方程组

2.3.1连续方程

连续方程是质量守恒定律在流体力学中具体表达形式。以下针对一个微分六面体推导微分形式的连续方程。由于连续方程仅是运动的行为，与动力无关，因此适应于理想流体和粘性流体。现在流场中划定一个边长分别为dx，dy，dz的矩形六面体，这个体的空间位置相对于坐标系是固定的，不随时间变化，被流体所通过。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1

连续方程

1.选取一个形状为六面体的微元做为控制体2.假设六面体中心点坐标为（x，y，z）。在t时，过中心点流体微团的三个分速是u，v，w，密度是ρ。在t瞬时，过该点处通过垂直于x轴单位面积的流体流量为ρu（又称为密度流），如果把这个量看作为空间和时间的函数，则根据泰勒级数展开，在dt时段内，从ABCD面进入的流体质量为：xzyABCDA’B’C’D’质量流量的定义？2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

3.在dt时段内，从A’B’C’D’面流出的流体质量为4.在dt时段内，由x面储存在在微分六面体的流体质量为（净流入量）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

5.同理可得，在dt时段内，由y,z面储存在微分六面体的流体质量为

6.由此可得，在dt时段内由所有侧面流入到微分六面体的净流体总质量为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

7.由于ρ是空间位置和时间的函数，在dt时段内，由于密度变化引起微分六面体质量的增加量为8.根据质量守恒定律，在dt时段内从侧面净流入微分六面体的总质量应等于六面体内流体质量因密度随时间变化的引起增量。即2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

上式两边同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的连续方程。即:2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

连续方程的物理意义是：流体微元控制体密度的局部增长率与微元控制体单位体积流出的质量流量之和等于零。

等于微元控制体上单位体积流出的质量流量的原因在于，因为有高斯公式：（显然当密度不变时，可将散度看成单位体积流出的体积流量）

2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

对于不可压缩流体，连续方程变为不可压连续方程的物理意义是：不可压缩流动流体微元的相对体积膨胀率保持为零，或从微元控制体流出的单位体积流量为零。1.不可压指的是每个质点的密度在流动过程中保持不变，但是这个流体质点和那个流体质点的密度可以不同，即流体可以是非均值的，因此不可压缩流体的密度并不一定处处都是常数，例如变密度平行流动。不可压、均值与密度为常数的关系*2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.1连续方程

2.而均值流体的定义是▽ρ＝0，即密度在空间上处处均匀，但不能保证随时间不变化。3.只有既为不可压缩流体，同时又是均值时，流体的密度才处处都是同一个常数。由不可压条件得到，由均值流体条件得到

从而有。于是=C，即流体密度既不随时间变化，也不随位置发生迁移变化，在整个流场中是个常数。4.反过来，=C的流体必然满足不可压条件，是不可压流体。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课连续方程是流动首先应该满足的基本关系。例如，速度场：满足不可压连续方程，能够代表一个三维不可压缩流动。则不能够代表一个三维不可压缩流动。而速度场：此外，还可以根据某方向的速度分布和连续方程，确定出其他方向的速度分布。2.3.1连续方程

例：设不可压缩流体在xoy

平面内流动，速度沿x轴方向的分量u=Ax(A

为常数)，求速度在

y

轴方向的分量v。解：对于不可压缩流动，密度的随体导数由微分形式连续方程：2.3.1连续方程

如果流动非定常，上式中函数f(x)则应为f(x，t)。而函数f(.)

的形式可任取。因此v

有无穷多个解。如果设v在x

轴上的分布为0即f(x)

＝0

，则：2.3.2Euler运动微分方程组

欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。在流场中划出一块三边分别的为dx，dy，dz的微元矩形六面体的流体微团来看，不计粘性力，表面力没有切向力，仅有法向力（压力）一种。xyz·Pdxdydz2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课设六面体中心点坐标为(x,y,z)，相应该点处的流体要素为:1)压强p(x,y,z,t)2)单位彻体力fxfyfz

3)速度u,v,w

4)密度ρ。

*暂不考虑温度在微元体的左面，压力为在微元体的右面，压力为2.3.2Euler运动微分方程组

xyz·Pdxdydz微元六面体质量力在x方向的分力为根据牛顿定律：x

方向合外力等于质量乘以x方向加速度，得2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.2Euler运动微分方程组

两边同除以微元体积的质量dxdydz，取极限得到x方向的运动方程。为：请注意，这里写成全加速度形式，是因为在上述分析过程中，在微分时段内跟随流体微团建立的。或者可表示为：同理可得其它两个方向的运动方程。综合起来，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.2Euler运动微分方程组

上三式即为笛卡儿坐标系下理想流体运动的欧拉方程（1755年，欧拉）。表明了流体质点的加速度等于质量力减去压力梯度。写成另一种形式，为：矢量形式2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课欧拉方程规定了理想流的压强变化与速度变化和彻体力之间的关系。我们不妨把速度的变化和彻体力的存在看作是压强之所以有变化的原因，这两个使压强起变化的因素是彼此独立的，对于压强的作用是分开来计算的。

对于如图的一维理想流动，利用牛顿定律很容易证明欧拉方程为：sV2.3.2Euler运动微分方程组

2.3.2Euler运动微分方程组

如果把加速度项重新组合，把加速度的迁移部分改写，把角速度配成显式，这样的方程称为格罗米柯-兰姆型方程。如x方向的方程，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.2Euler运动微分方程组

由此可得“格罗米柯形式”为写成矢量形式为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课这个方程本质上仍是在理想流体运动方程。其好处是在方程中显示了旋转角速度项。便于分析无旋流动。

对于理想流体，可以无旋运动也可以有旋运动。只是对于理想流体，微团在运动过程中不会受到切向力的作用，因而流体微团在运动过程中不会改变它的旋度，如原来旋度为零的（即无旋流）在运动过程也保持无旋流；原来有旋的，继续保持为有旋流，且其旋度不变。2.3.2Euler运动微分方程组

2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于理想正压流体，在质量力有势条件下，假设为定常流动，有：这样格罗米柯方程变为：现在流场中，任取一条光滑曲线dS，并将上式投影到曲线上，有：

2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义这就是Bernoulli积分，或伯努利方程。上式表明，对于理想正压流体的定常流动，在质量力有势条件下，单位体积流体微团沿着这条特定曲线s的势能、压能和动能之和不变，即总机械能不变。（1738年,Bernoulli）2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义这样在曲线上，下式成立：如果上式右边项为零，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义Bernoulli积分成立的条件，是（1）沿着任意一条流线，Bernoulli积分成立。这是因为，在此情况下（2）沿着任意一条涡线，Bernoulli积分成立。这是因为，在此情况下2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（3）在以下条件下，Bernoulli积分与所取的曲线无关，在整个流场中积分常数不变，等于同一个常数。

(a)静止流场，

(b)无旋流场，有势流动,

(c)流线与涡线重合，即螺旋流动,2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义注意Bernouli方程的适用范围2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于不可压缩流体，在不计质量力情况下，Bernoulli积分

变为：如果质量力只有重力，Bernoulli积分变为2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义如果两边同除以g，最后得到的能量方程形式为上式表示不可压缩流体，在质量力为重力作用下的能量方程。表明：单位重量流体所具有的势能、压能和动能之和不变。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.3Bernoulli积分方程及其物理意义y-----表示单位重量流体相对于基准面高度，称为位置水头；p/γ

----表示单位重量流体在绝对真空管中上升的高度，称为压强水头；V2/2g---表示单位重量流体垂直上抛所能达到高度，称为速度水头；H---表示沿流线单位重量流体具有的总能量，称总水头。y1y2H1H2静力水头线总水头线12yx与静力学中的平衡液体基本方程进行对比2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用例.求如图光滑容器中小孔的出流速度v，假设小孔中心距自由面深为h解.由于是小孔出流，因此自由面的水位下降速度v0与小孔的出流速度相比可以忽略不计，流动可以假设是定常的。假设不计粘性损失。沿小孔中心点处一根流线列伯努利方程，由于是小孔，中心点处速度可以近似代表小孔速度vhpapa2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用此式也可是将流动看成是一维流动的结果，从而（由于实际上粘性不可忽略，实际速度将略低于上述理论值,有：，其中cv叫做速度系数，实验表明cv＝0.97）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课测量低速气流的速度时，用的风速管就是根据上述原理设计并由上式去计算风速的。风速管的构造很简单，见右下图。2.3.4Bernoulli方程应用2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用总压孔对准来流，来流撞在孔上速度降为零，相应的压强达到了总压p0

，而静压空处感受到的是静压。测量时不必分开量总压和静压，只要把二者接在一根U形测压计的两支上，看二者的差（p0-p）就行了。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用例.在海平面上，直匀流流过一个机翼，远前方直匀流的静压p=p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三点的速度分别是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空气在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假设流动无旋，求A、B、C三点的压强直匀流对机翼的绕流2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用解:流动是无旋的，伯努利常数全流场通用。根据远前方的条件得这就是通用于全流场的常数。于是2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用例有一种二维的绕其固定轴线的旋转流动，其υθ正比于半径r，即υθ=kr，如图。试证伯努利常数C是r的函数。证:先沿着流线写出伯努利方程 对半径取导数：一种旋转流动2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用法向压力差必须平衡微团的离心力，故有左侧的第二项是AD面和BC面上的压力在r向的投影。略去微量的高次项，得代入的式子，并将代入，得2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用如果速度场是试证明，能量方程的积分常数对整个流场是不变的。Bernouli方程的积分常数，在什么情况下在整个流场范围内不变？2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.3.4Bernoulli方程应用该流场实际上是一个无旋流场，能量方程积分常数不变。对于在流场中一个集中的旋涡，分涡核和涡核外的诱导流场。在涡核内流体质点像刚体一样绕涡轴旋转，其周向速度与r成正比，在涡核外的诱导流场是无旋运动，其周向速度与r成反比。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4流体运动的积分方程2.4.1基本概念流体动力学是研究产生流体运动的原因。为此，我们必须解决三个方面的问题：（1）流体的运动学问题；（2）作用于流体上各种力的特征；（3）控制流体运动的普遍规律（质量守恒、牛顿第二定律（动量守恒）、动量矩守恒、能量守恒等）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课流体动力学方程是将这些描述物质运动的普遍规律，应用于流体运动的物理现象中，从而得到联系流体运动各物理量之间的关系式，这些关系式就是流体动力学的基本方程，如果关系式是以积分形式给出，称为流体动力学积分方程，如果是以微分形式给出，称为微分方程。在流体动力学积分方程中，具体包括：

（1）连续方程；（2）动量方程；（3）动量矩方程；（4）能量方程2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课1、系统(System)定义：系统是指包含着确定不变物质的任何集合体，称为系统。在流体力学中，系统是指由任何确定流体质点组成的团体。系统的基本特点（1）系统边界随流体一起运动；（2）在系统的边界上没有质量的交换；（3）在系统的边界上受到外界的表面力；（4）在系统的边界上存在能量的交换。2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.1基本概念例如，F=ma，F指作用于系统上所有外力的合力。a指系统的平均加速度。系统对应于Lagrange观点，即以确定的流体质点系统作为研究对象，研究系统各物理量的关系。2、控制体（ControlVolume）定义：被流体所流过，相对于某个坐标系而言，固定不变的任何体积称为控制体。控制体的边界，称为控制面。控制体是不变的，但占据控制体的流体质点随时间是变化的。控制体的基本特点2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（1）控制体的边界相对于坐标系而言是固定的；（2）在控制面上可以发生质量交换，即流体可以流进、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制体内流体上的力；（4）在控制面上存在能量的交换。例如，F=ma，F指作用于控制体边界面上所有作用于流体上外力的合力。控制体对应Euler观点，即以通过确定的体积流体质点作为研究对象，研究控制体内流体各物理量的关系。2.4.1基本概念2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.1Lagrange型积分方程

现任取一体积，边界表面积为S0的确定系统作为考察对象。（1）连续方程（质量守恒）表示，在系统内不存在源和汇的情况下，系统的质量不随时间变化。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.1Lagrange型积分方程（2）动量方程表示：系统的动量对时间的变化率等于外界作用于系统上的所有外力的合力。（3）动量矩方程表示：系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用于系统上所有外力对同一点力矩之和。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（4）能量方程表示：单位时间内由外界传入系统的热量Q与外界对系统所做的功W之和等于该系统的总能量E对时间的变化率。传给系统的热量：热传导和热辐射。单位时间内，由系统表面传入的总热传导量为2.4.1Lagrange型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课单位时间内，系统所吸收的热辐射总量为单位时间内，由质量力和表面力所做的功为2.4.1Lagrange型积分方程最后的能量方程形式为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.2Reynolds输运方程如要将Lagrange型积分方程改造成为适合于控制体的形式，首先必须解决随体导数在控制体上的表示形式。设对于任意函数，在系统上的积分式为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课与前面各物理量对应起来，取不同的变量组合，I代表不同的物理量积分。即当=1时，N=M代表系统的质量；当时，N=K代表系统的动量；当时，N=Mr代表系统的动量矩；当时，N=E代表系统的能量。

(被积函数随时间的变化+系统体积随时间的变化)引起的2.4.2Reynolds输运方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课为了区分系统和控制体；对于体积和面积带下标为0的是针对系统的，无下标的是针对控制体的。设在t时刻某流体系统与控制体重合，在t+t时刻该系统的体积和位置均发生了变化。在t时刻，系统的体积为，在t+t时刻该系统的体积变为，如用表示两者的公共部分，则有2.4.2Reynolds输运方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课在t时段内，某函数的增量为（表示物理量的随体变化增量）2.4.2Reynolds输运方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课分解上式，有

2.4.2Reynolds输运方程（物理量的随体导数）（体积不变，物理量随时间变化引起的）（体积变化引起物理量的变化）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课由于2.4.2Reynolds输运方程对于时间变化项，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于第3项的体积变化量2.4.2Reynolds输运方程（流入控制体的物理量）对于第2项的体积变化量（流出控制体的物理量）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.2Reynolds输运方程最后合起来，得到Reynolds输运方程为通过控制面净流出量为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.2Reynolds输运方程这就是表示系统随体导数的Reynolds输运方程。各项物理意义为（1）--表示控制体内物理量随时间的变化率，表征了流场的非定常特性。（2）--表示单位时间内，通过控制面流出物理量的净增量，是由于流场的不均匀性引起的。综合起来，表示系统的随体导数等于单位时间内控制体内物理量随时间引起的增量与通过控制面流出物理量的净增量之和。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课Euler型积分方程是对控制体建立的积分方程。利用Reynolds输运方程，可很容易获得。（1）连续方程（质量守恒）如果取=1，得到连续方程在控制体内无源和汇的情况下，单位时间内从控制体流出的质量等于控制体内质量的减小量。2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（2）动量方程单位时间内，在控制体内动量的增量加上通过控制面流出的净动量等于外界作用于控制体上所有外力之和。2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（3）动量矩方程

单位时间内，控制体内动量矩的增量加上通过控制面流出的净动量矩等于外界作用于控制体上所有外力矩之和。2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课（4）能量方程单位时间内，控制体内总能量的增量加上通过控制面流出的净总能量等于传给控制体内流体的热量加上所有力对控制体内流体所做的功。2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于理想流体、质量力有势、绝热定常流动，可将能量方程进行简化。对于绝热流动在质量力有势的情况下2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于定常流动，由连续方程可得2.4.3Euler型积分方程对于理想流体，有对于定常流动，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课代入能量方程中，得到对于不可压流体的绝热定常流动，有2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课对于如图的第二类控制体（机翼被包含在控制体之内），我们将动量方程作些变换和说明，得到更常用的形式。设机翼受力在三个方向的分量为Fx、Fy和Fz。机翼对控制体流体的作用力的三个分量为－Fx、－Fy和－Fz。2.4.3Euler型积分方程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程我们将控制体外部取得离机翼足够远，这样即使翼面附近有粘性力，到了S面上也没有粘性力了只有压力的作用，从而x方向表面力为：控制体内的x方向质量力为：控制体内流体在x方向所受的合外力为：(n,x)np2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程控制体内x方向的动量随时间变化率及净流出控制面的动量流量为：注：上面的表达中，连接S和S1双层面上的面积分为0由动量积分方程，可得2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程积分形式动量方程的一个重要方面在于人们往往不需要知道控制体中的流动细节，只需要知道控制面边界处的流动属性来求作用力，这个作用力可以包含摩擦力的影响在内，例如用上述方程来求物体受到的阻力等。上述方程常常用于定常流动的气体中，用于定常流时上式中的当地变化率一项等于零，用于气体则质量力可以忽略。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程例．有一种尾迹详测法可以用来测量一个二维物体的型阻（型阻是由粘性直接间接造成的物体阻力）。我们来看一看要测哪些量，并怎样使用积分形式的动量方程。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程解：取控制面S，如图。在物体的前方相当远的地方气体流基本上还没有受到物体的影响还是直匀流。在物体后面一定距离的地方，那里的气流的静压已经和来流的静压没有什么区别了，但尾迹区速度分布仍然受到影响如图。动量法测型阻

p1、v1p2、v22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程上下两根连结流线取在远离物体的地方，在那里流速和静压都和原来的来流值一样。在这个S面上作用的静压既然都是同一个值，那末压力做面积分的结果必是零。

设流动定常，时间导数不存在。在气流中彻体力项也略去不计。根据动量方程，只需计算越过控制面的动量流量即可，设翼型受到的阻力为Fx。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程下面举一简单例子说明如何综合应用动量方程与动量矩方程例：求宽度为b的二维不可压定常射流对固定斜板（与水平成θ角）的（1）板对流体的作用力（2）射流宽度比b1/b2（3）力的作用点设不计重力和流动损失。θb,vb1,v1b2,v22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程解：由于是自由射流，射流开始处及1、2截面处压强均为大气压。分别沿上下两根流线列不计重力的伯努利方程可得：v1=v2=v（或认为流动均匀无旋，伯努利常数全场成立）由质量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2（1）求作用力如图建立坐标系，取控制体如图，假设控制体受力为R，由y向动量方程：（注意控制面上大气压无合力）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程可见θ＝900时受力最大斜板受力与此大小相等方向相反。（2）求射流宽度比b1/b2由x向动量方程：θb,vb1,v1b2,v22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程考虑到：v1=v2=v，有上式与b=b1+b2

联立得：故得射流宽度比：由于速度相等，这也是流量比Q1/Q22010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程（3）求力的作用点e

设力的作用点距y轴的距离为e，设顺时针方向为矩的正方向，由动量矩方程θb,vb1,v1b2,v2xyRe2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.4.3Euler型积分方程仅当θ＝900

时合力的作用点才通过射流中心2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5环量与涡

自然界和工程中的涡现象龙卷风2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象海洋表面的旋涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象云层中的旋涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象点燃火柴产生的涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象翼尖涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象三角翼的前缘涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自由涡自然界和工程中的涡现象2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象园盘绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象园柱绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象三元机翼绕流（集中自由涡））三元机翼（翼端绕流）2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象震荡翼型的脱落涡2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象三维鱼游尾流模拟（涡脱落）

2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象二维圆柱绕流的卡门涡街2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象三维圆柱绕流的卡门涡街2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课自然界和工程中的涡现象二维平板绕流的卡门涡街形成过程2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。环量的定义

在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。像力做功的计算方法一样，也形象地称速度环量为速度绕封闭曲线的速度功。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向的左侧。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念沿曲线AB作速度的线积分沿闭曲线速度的线积分

如果把一个速度向量分成三个坐标轴方向的三个分量u,v,w,把线段ds也分解成dx,dy,dz三个方向的三个线段，有2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念于是环量表达式为如果流动是无旋的，存在位函数Φ，那末上式中的ux,vy,wz都可以用Φ的偏导数表达。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念说明在无旋流动中，沿着任意一条封闭曲线的速度环量均等于零。但是对于有旋流动，上述结论并不成立。绕任意一条封闭曲线的速度环量一般等于零。

涡量概念是指流场中任何一点微团角速度之二倍，如平面问题中的2ωz

，称为涡量，涡量是个纯运动学的概念。在有旋流动中的速度环量是1869年Thomson首先引进的。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念在三维流里，流体微团可以有三个方向的角速度ωx,ωy,ωz,三者合为一个合角速度是2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量，它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω,ωz/ω。

像流线一样，在同一瞬时，如在流场中有一条曲线，该线上每一点的涡轴线都与曲线相切，这条曲线叫涡线。涡线的微分方程是（给定时刻，t为参量）。涡线2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线）的所有涡线构成的曲面称为涡面。由封闭的涡面组成的管状涡面称为涡管。涡面涡管涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.1环量与涡的概念涡量在一个截面上的面积分称为涡通量（涡强），在平面问题中，涡通量就是在三维空间问题中，涡通量就是式中的S

是任意形状空间曲面，dS的为曲面的微元面积。nγ空间问题的涡通量平面问题的涡通量2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系在有旋流动中，速度环量与涡量是否存在联系，如果存在关系如何。为回答这个问题，首先考察二维流场。在二维流场中，任取封闭曲线，然后把该封闭曲线所围成的面积用两组坐标的平行线分割成一系列微小面积，做每一块微小面积的速度环量并求和，得到总的速度环量。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系对于微元ABCD，速度环量为2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系绕整个封闭曲线的速度环量为上式为二维问题中的格林公式。沿平面上一封闭围线l做速度的线积分，所得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之和，即等于通过面积S的涡通量。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系如果围线内没有涡，那末沿围线的环量必是零。如果把围线放大一些，尽管面积放大了，但只要包进去的面积里没有涡，那么环量值并不会改变。但是速度环量等于零，不能说明围线内无涡。推广到三维空间中的封闭曲线L上，计算的速度环量仍等于二倍角速度乘围线所包的面积，但这面积应取其在与涡线相垂直的平面上的投影值。沿一块有限大的曲面S的围线L的环量仍等于S面上各点的二倍角速度与面积dS点积。即2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系其实这公式是斯托克斯公式，描述曲线积分与曲面积分之间的关系。2010年版本北京航空航天大学《空气动力学》国家精品课2.5.2环量与涡量的关系三维流中环量与涡的关系nγ即沿空间封闭曲线L的环量，等