5-3-2函数的极值与最大(小)值(课后双测试卷)2021-2022学年高二数学同步精讲+检测(解析版)

5.3.2函数的极值与最大(小)值(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若函数有极大值点和极小值点（），则其导函数的大致图象可能是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先确定所给函数的导函数为二次函数，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.【详解】为二次函数，其图象与轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有C选项符合题意.故选：C.2.已知在处取得极值，则的最小值是（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】，故，根据题意，即，经检验在处取得极值.，当且仅当，即时，等号成立.故选：.3.函数在上的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过分析其导函数的增减，利用零点存在性定理可得函数的单调性，通过比较函数在端点的函数值，确定最大值．【详解】且在上单调递增，又所以在有唯一零点．当单调递减；当单调递增．又，所以函数在上的最大值为．故选：D4.已知函数的极大值和极小值分别为，，则（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】，设函数的两个极值点为，则有，而，把代入化简可得结果【详解】解：，当时，该方程两个根为，或，，故在取到极大值、极小值，且，.故选：D.5.已知函数和的导函数､图象分别如图所示，则关于函数的判断正确的是（）A．有3个极大值点 B．有3个极小值点C．有1个极大值点和2个极小值点 D．有2个极大值点和1个极小值点【答案】D【分析】根据题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中；结合题中函数图像，判定函数的单调性，进而可得极值点.【详解】由题中图像可知，､的图像有三个不同交点，其交点横坐标按从小到大的顺序，依次记为､，，其中，由图像可得，当时，，即，则函数单调递增；当时，，即，则函数单调递减；当时，，即，则函数单调递增；当时，，即，则函数单调递减；所以有两个极大值点和；有一个极小值点.故选：D.6.已知函数的值域与函数的值域相同，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用导数法求得在上单调递增，在上单调递减，且的值域为，然后由的值域也为，则由求解.【详解】由题可知，函数的定义域为.∵，∴，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即的值域为.要使的值域也为，则只要，则，即，故选：D.7.已知命题不等式恒成立，命题在上存在最小值，且(其中的导数是，若或为假命题，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由复合命题为假得出命题都是真命题，然后由两个命题是真命题分别求参数的值或范围．不等式恒成立转化为函数的最大值，利用导数求得函数最大值后，还需要用导数最大值对应的函数的单调性与极值，得出参数值．函数在开区间在有最小值，则函数的极小值点必须在此区间内，由导数得出极小值点后可得参数范围．【详解】或为假命题，则和都是假命题，所以均为真命题．命题为真，不等式恒成立，设，，，时，在上恒成立，递增，时，，，，不可能恒成立，舍去，时，，时，，递增，时，，递减，所以，设，，当时，，时，，即在上递减，在上递增，所以，所以，恒成立，即恒成立，所以，．命题为真，在上存在最小值，，因为，所以的图象关于直线对称，所以，即，或2，或时，，时，，在和上是增函数，在上是减函数，的极小值是，极大值是，又，所以在上存在最小值，则，解得，综上，，，所以．故选：D．8.设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.【详解】令，只需要上恒成立，∵且，∴，即在上单调递增，∵，，∴，使，即，∴时，，单调递减；时，，单调递增；故只需，令，∴，故在上递减，而，∴时，恒成立，可知.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列说法正确的是（）A．在上单调递增B．在上单调递减C．若函数在处取得最小值，则D．，【答案】ACD【分析】AB选项利用二次求导的方法求得的单调性来判断，CD选项通过构造函数，结合二次求导的方法来进而判断.【详解】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增.A正确，B错误.令，则.令，则在上恒成立，则在上单调递增.又，所以，，则在上单调递减，在上单调递增，即.又，，所以.CD选项正确.故选：ACD10.已知为常数，函数有两个极值点，则（）A．的取值范围是 B．的取值范围是C． D．【答案】ACD【分析】求导后，可将问题转化为有两个不等实根，令，利用导数可求得单调性和极值，采用数形结合的方式可求得的范围，并得到，由此知AB正误；根据，结合可知C正确；利用单调性可得，结合的范围知D正确.【详解】由题意得：，有两个极值点，有两个变号零点，又，只需，即有两个不等实根，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，又当时，；时，，可得图象如下图所示，当，即时，有两个不等实根，且，即当时，有两个极值点，A正确，B错误；，，即，，，又，，，C正确；当，时，；当时，；在，上单调递减，在上单调递增，，，，，D正确.故选：ACD.11.己知函数，下列关于f(x)的说法中正确的是（）A．当且仅当a=0时，f(x)有唯一的零点B．f(x)最多有两个极值点C．若则f(x)仅有一个极值点D．若f(x)无极值点，则【答案】BC【分析】由可得或，利用导数由无解或解为可求得的范围，即可判断A；令可得，利用导数判断的解的情况即可判断BCD.【详解】因为，所以或，所以或，设，则，由可得，由可得，则在单调递增，在单调递减，，要使无解，则，即，又，此时，即若有唯一的零点，则或，故A错误；，易知，令可得（且），则，令可得，所以在递增，在递减，在递减，在，又，所以最多有2个解，即最多有两个极值点，故B正确；当时，只有一个解，即仅有一个极值点，故C正确；当时，有2个解，此时有2个极值点，故D错误.故选：BC.12.已知函数，，若对任意的，均存在，使得，则a的取值可能是（）A．0 B．2 C． D．1【答案】BD【分析】先判断出在单调递减，在单调递增；在单调递增，在单调递减.对a进行分类讨论，利用的值域是值域的子集求出a的范围，对于四个选项一一判断即可.【详解】依题意有，所以在单调递减，在单调递增，又，所以在单调递增，在单调递减，（i）若，即，有在单调递减，则，而，则在单调递增，则，易知有，，符合题意；（ii）若，即，有f(x)在单调递增，则，（1）若，则在单调递增，则，有，只需，得；（2）若，则在单调递减，则，有，不符合；（3）若，有，不符合；（iii）若，有，，而，则在单调递增，则，又有，，符合题意；综上可知.故选：BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：①在区间内单调递增；②在区间内单调递减；③在区间内单调递增；④是极小值点；⑤是极大值点.其中不正确的是（填序号）【答案】①②④【分析】根据导函数与单调性和极值点的关系，观察图像即可得出答案.【详解】由图可知，在区间内，有正有负，①错误；在区间内，，在区间内单调递增，②错误；在区间内，，在区间内单调递增，③正确；不存在，使当时，，当时，，④错误；存在，使当时，，当时，，如，⑤正确14.若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是【答案】【分析】计算，然后等价于在（0，+∞）由2个不同的实数根，然后计算即可.【详解】的定义域是（0，+∞），，若函数有两个不同的极值点，则在（0，+∞）由2个不同的实数根，故，解得：，15.已知函数在单调递增，则实数的取值范围_________.【答案】【分析】把函数在单调递增，即在恒成立，进入得到在恒成立，令，，结合换元法和导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，则，因为函数在单调递增，即在恒成立，即在恒成立，令，，令，则，可得，可得函数在上为单调递减函数，所以，所以，解得，即实数的取值范围.故答案为：.16.已知函数，若函数f(x)在处取得极大值，则实数a的取值范围是______.【答案】.【分析】求出函数的导数，讨论a的取值范围，得到函数的单调区间，结合函数的最大值，可得a的取值范围.【详解】解：由，可得，设，，当，，，函数单调递增，当，，，函数单调递增；，，函数单调递减；由f(x)在处取得极大值，可得，当时，单调递增，当，，单调递减；当，，单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，可得：在单调递增，所以当，，当，，即f(x)在单调递减，在单调递增，所以f(x)在处取得极小值，与题意不符；当时，即，在单调递增，在单调递减，所以当，，单调递减，与题意不符；当，即可，当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，所以f(x)在处取得极大值，符合题意，故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（10分）．已知函数在处有极值2．（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值．【答案】（1），；（2）最小值是-2，最大值是2．【分析】（1）由题意知，，求的导函数，代入计算可得的值，注意检验；（2）在上的单调区间，从而确定最小值，计算端点值比较可求出最大值.【详解】解：（1），∵函数在处取得极值2，∴，解得，，经验证在处取极值2，故，（2）由，令，解得令，解得或，因此，在递减，在递增，的最小值是而，故函数的最大值是2．18.（12分）设函数．（1）求在处的切线方程；（2）求在上的最大值与最小值．【答案】（1）（2），【分析】（1）对函数求导，然后求出，，运用点斜式即可求出切线方程；（2）利用导数研究出函数在区间的单调性，即可求出函数在区间上的最大值与最小值．（1），，，所以在点处的切线方程为，即.（2），因为，所以与同号，令则，由，得，此时为减函数，由，得，此时为增函数，则，故，在单调递增，所以，．19.（12分）已知函数.（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围；（2）记的两个极值点为，，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）对求导得，由题设将问题转化为()恒成立，即可求a的取值范围；（2）由（1）有，是的两个根，应用根与系数关系易得，，进而可得，即可证结论.（1）的定义域为，，又单调，∴对恒成立，即()恒成立，而，当且仅当时取等号，∴.（2）由（1）知：，是的两个根，则，，且，∴，故，，而，∴，得证.20.（12分）已知函数.（1）求曲线在处的切线方程；（2）判断函数的极值点和零点个数；（3）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）1,1;（3）.【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的单调区间判断增减性即可求出函数的极值，再结合增减性及特殊值可求函数零点；（3）原不等式转化为恒成立，利用导数求函数的最大值即可求解.（1）函数定义域为，因为，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）由（1）知，当时单调递增,当时单调递减，所以函数在时取得极大值，函数没有极小值，所以函数的极值点只有1个，因为,当时,当时，所以只有一个零点.（3）要使恒成立，即恒成立，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在时取得极大值也是最大值，，要使恒成立，则,即实数k的取值范围是.21.（12分）已知函数，.（1）当时，若在上的最大值为10，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得，利用导数分析函数单调性，求得函数最大值，即可结合已知条件求得；（2）分离参数，将问题转化为只需小于等于函数的最小值，再利用导数求的最小值即可.（1）当时，由，得，令，得或.当变化时，，在的变化情况如下表：1200↘极小值-2+b↗极大值↘所以在上的最大值为，得.（2）（2）由，得，因为，且等号不能同时取得，所以，即，所以恒成立，即.令，，则，当时