特殊平行四边形拔高题含答案

特殊平行四边形拔高题含答案

1.(1)正方形OABC的对角线的交点D的坐标为$(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$。直线y=bx+c的解析式为$y=bx+c$。(2)当$t=\frac{a}{2b}$时，直线EF平分正方形OABC的面积。因为此时直线EF与正方形的中心重合，且直线EF的斜率为$b$，等于正方形对角线的斜率，所以能平分正方形的面积。当$t\neq\frac{a}{2b}$时，直线EF不能平分正方形的面积。点P为正方形OABC的对角线AC上的动点，由题意可知，$\trianglePMA\sim\trianglePBC$，所以$\frac{PC}{BM}=\frac{PA}{AB}=\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。2.(1)设点P的坐标为$(x,y)$，则$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$，又由于$\triangleAPD$为等腰直角三角形，所以$AD=PD=\sqrt{10}$，又有$PD=PA-AD=\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{10}$，解得$x=\frac{3\sqrt{2}}{2},y=\frac{3\sqrt{2}}{4}$。(2)设直线PE的解析式为$y=kx$，则$\frac{y}{x}=\frac{3}{2}$，又因为以A，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，所以$\frac{EF}{AP}=\frac{PE}{PA}=\frac{3}{2}$，即$\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{3}{2}$，解得$k=\frac{3\sqrt{2}}{4}$，所以直线PE的解析式为$y=\frac{3\sqrt{2}}{4}x$。3.(1)当点E在正方形的边CB，点F在正方形的边AB上时，MA>MN。(2)当点E在正方形的边CB的延长线上，点F在正方形的边AB的延长线上时，MA=MN。4.(1)当点E在图1的位置时，OE>OF。因为$\triangleOEB\sim\triangleOFB$，所以$\frac{OE}{OF}=\frac{EB}{FB}>1$。(2)当点E在AC的延长线上时，OE=OF。因为$\triangleOEB\sim\triangleOFB$，所以$\frac{OE}{OF}=\frac{EB}{FB}=1$。5.当$\angleBOP=30^\circ$时，设点P的坐标为$(11-t,6-t\tan30^\circ)$，则有$\frac{6-t\tan30^\circ}{11-t}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$t=3\sqrt{3}-6$。（2）设点H的坐标为（a，0），求点G的坐标；（3）若点F在y轴上，求矩形OBCA的面积．2.经过点P折叠纸片，使点C落在直线PB'上，并得到点C'和折痕PQ。若AQ=m，求m的表达式；3.在条件2的情况下，当点C'恰好落在边OA上时，点P的坐标为（4，0）；6.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造□APBQ，求对角线PQ的最小值及此时AP/AC的值．小明利用平行线间距离的知识构造出了辅助线，并求得PQ的最小值为3。继续解决以下问题：（1）当PQ的长度最小时，AP/AC=3/4；（2）如图3，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于1的常数）。以PE，PB为边作□PBQE，那么对角线PQ的最小值为3√(n^2-1)，此时AP/AC=n/(n+1)；（3）如图4，如果P为AB边上的一动点，延长PA到点E，使AE=nPA（n为大于1的常数），以PE，PC为边作□PCQE，那么对角线PQ的最小值为3√(n^2-4n+5)，此时AP/AC=n/(n+2)；7.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上。根据图形特征，得到以下结论：（1）如图1，①△ABP≌△ACE；②∠ECM的度数为60°；（2）如图2，∠ECM的度数为45°；（3）如图3，∠ECM的度数为36°；（4）如图4，设正多边形的边数为n，则∠ECM的度数为(180-360/n)°；8.已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），点B是y轴正半轴上一动点，以OB，OA为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和边OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处。（1）四边形OECH是平行四边形；（2）点G的坐标为（5-a，0）；（3）若点F在y轴上，矩形OBCA的面积为15a。2.当点B运动到使得点F、G重合时，求点B的坐标，并判断四边形OECH是什么四边形？说明理由。3.当点B运动到使得点F、G将对角线OC三等分时，求点B的坐标。9.研究性学习方式的倡导，着重于教材和习题的研究，这是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径。下面是一个案例，同学们请认真阅读、研究，并完成“类比猜想”及后面的问题。习题解答：题目如图1所示，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF。解答：由于正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠ADC=∠B=90°，因此可以将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′，此时点F、D、E′在一条直线上。因此，∠E′AF=90°-45°=45°=∠EAF，又由于AE′=AE，AF=AF，因此△AE′F≌△AEF（SAS），所以EF=E′F=DE′+DF=BE+DF。习题研究：观察分析：观察图1，由解答可知，该题有用的条件是①ABCD是四边形，点E、F分别在边BC、CD上；②AB=AD；③∠B=∠D=90°；④∠EAF=∠BAD。类比猜想：（1）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B=∠D时，是否仍有EF=BE+DF？为了研究这个问题，我们可以从特例入手，如图2所示，在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当∠BAD=120°，∠EAF=60°时，是否仍有EF=BE+DF？（2）在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，是否仍有EF=BE+DF？归纳概括：通过反思前面的解答，我们可以得到一个结论：“在四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，当AB=AD，∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD时，则EF=BE+DF。”10.提出问题：如图1所示，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC于点E。求证PB=PE。分析问题：假设过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M、N，则可以通过证明两个全等的三角形，进而证明PB=PE。1.连接DP，如图2，很容易证明PD=PB。然后通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE。请选择上述一种方法给予证明。2.图3中，移动三角板使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E。问PB=PE是否成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由。3.在图1中，将一副直角三角板摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合。将图1中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图2。证明：△CDO是等腰三角形。若DF=8，求AD的长。4.平行四边形有很多性质。如果把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中还有更多的结论。在ABCD中，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D。证明结论1或结论2（只需证明一个结论）。在ABCD中，已知∠B=30°，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连结B′D。①若AB=3，且∠AB′D=75°，求∠ACB和BC；②AB=23，BC=1，AB′与边CD相交于点E，求△AEC的面积；③已知AB=23，当BC长为多少时，是△AB′D直角三角形？5.在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。证明：CE=CF。在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？根据（1）和（2），完成下列题目：①在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB的中点，且∠DCE=45°，求DE的长；②在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3，则△ABC的面积为_________（直接写出结果，不需要写出计算过程）。14.如图所示，两个边长均为2的正方形ABCD和CDEF，点B、C、F在同一直线上，直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N。（1）证明：△DBM≌△DFN；（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，探究下列问题：①线段BG与FH是否相等？说明理由；②当线段FN的长是方程x2+2x-3=0的一根时，求出NG/NH的值。15.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合。（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值。16.如图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于点M，点N为DE的中点。（1）若AB=4，求△DNF的周长及sin∠DAF的值；（2）证明：2AD·NF=DE·DM。17.在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE。（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）证明：EF+EG=2CE。18.（1）图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形。（2）若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积。（3）如图④，在宽为10m，长为40m的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m，求这块菜地的面积。19.如图所示，在线段AE的同侧作正方形ABCD和正方形BEFG（BE＜AB），连接EG并延长交DC于点M，作MN⊥AB，垂足为N，MN交BD于点P，设正方形ABCD的边长为1。（1）证明：四边形MPBG是平行四边形。20．在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm，AD是BC上的高，垂足为D，BE=1cm。点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH。点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动。设运动时间为t（s）。（1）求出当点G刚好落在线段AD上时，时间t的值。解：由于AD是BC的高，所以BD=DC=8cm。又因为∠B=60°，所以AB=8√3cm。所以AD=8cm，AG=4cm。因为M沿BC方向以1cm/s的速度运动，所以当t=4s时，M到达点D。此时，N还差4cm到达点C，所以此时点G刚好落在线段AD上，即t=4s。（2）求出当正方形MNGH与直角三角形ABC重叠部分为正方形时，重叠部分的面积S关于时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。解：当正方形MNGH与直角三角形ABC重叠部分为正方形时，MNGH的边长为4cm，重叠部分的面积为S=2t（cm²）。因为MN=NG=4cm，所以当N到达C点时，MN与BC平行，此时S=16cm²。所以S关于时间t的函数关系式为S=2t，自变量t的取值范围为0≤t≤8。（3）求出当△CPD为等腰三角形时，时间t的值。解：连接DP，交直线NG于点P。因为MN=NG=4cm，所以直线NG的解析式为y=4。直线AC的解析式为y=-2x+16。点P在直线NG和直线AC上，所以它的坐标为（2，6）。因为△CPD为等腰三角形，所以DP=PC。设DP=x，则PC=4-x。因为点P在直线AC上，所以x-2=-2（4-x），解得x=3。所以当t=3s时，△CPD为等腰三角形。14.证明详见解析。另外，由于篇幅有限，删除了第二个段落。15.证明详见解析。四边形AECF的面积不变，