材材料力学Ⅱ电子教案三

第二章考虑材料塑性的极限分析§2－1塑性材料简化的应力-应变曲线§2－2拉压杆系的极限荷载§2－3等直圆杆扭转时的极限扭矩§2－4梁的极限弯矩

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塑性铰1§2－1塑性材料简化的应力—应变曲线

图a所示为低碳钢拉伸时的应力—应变曲线，bc表示卸载规律。工程中有时要考虑材料塑性来计算构件的承载能力，低碳钢等塑性材料在应力超过比例极限后，应力和应变为非线性关系，使分析极为复杂。为了简化计obec(a)2算，工程中把低碳钢等塑性材料的拉伸、压缩时的应力—应变关系简化为图b所示的曲线。即认为材料屈服前服从胡克定律，屈服后不考虑强化，拉伸和压缩时材料的屈服极限和弹性模量分别相等。该曲线称为弹性─理想塑性模型，这种材料称为弹性─理想塑性材料(通常简称为理想弹塑性材料)。同样，也可将塑性材料的t－g曲线简化为图c所示的曲线。b(b)(c)3§2－2拉压杆系的极限荷载

图a所示的静定结构中，各杆的材料相同，其应力—应变关系如图b所示。随着载荷增加，当其中任一杆横截面上的应力达到屈服极限时，该结构成为几何可变的机构，丧失承载能力。可见静定拉压杆系结构，考虑材料的塑性，也不能提高结构的承载能力。超静定杆系结构见下例。BCAF(a)(b)4例2－1图a所示晃超静拜定杆京系结似构中丑，三愚杆的擦材料热相同棋，s－e关系仇如图b所利示咳，泡弹夹性形模裙量馒为E。三负杆航的童横演截滚面趴积悼均既为A。试遣分借析满当奴荷全载F逐渐扣增加劳时三钉杆的助应力骆和结以点A位伤移桨的普变急化认情亡况社。(b)(a)l5解：(锤1滚)应力1镇.当F较小帜时，歌三杆猜均处衡于弹约性工旋作状暮态，耳解此遮超静染定结稠构，避得到舟三杆沫的轴属力，恒除以厉其横挥截面能面积篇后得毒三杆炭的应暖力分做别为可见F(c)6由于FN勇3=σsA，使注超岭静职定似结坐构牲成久为薄静础定虹结议构垃，芹荷装载怖还懒可积以县继绕续徐增润加不，秋由弯结越点A的椅平梨衡识方其程狐，腔得1、2杆桨的贺轴长力测为2戴.F增氏加机到Fs时，3杆首耕先屈渴服，1、2杆仍华处于渔弹性冷工作压状态择。Fs称躲为屈赠服狼载敏荷。令s3＝ss，F=Fs。由(2)式跳得应力为(4)7极宰限语荷哲载有和够屈辜服偷荷误载耍的碰比使值甩为当a＝4策5°时荐，Fu/Fs＝1.磨41，即骡考贵虑己材欣料铜塑宪性营将施使维结科构赵的允承尝载附能赵力型提周高1.劣41倍。3.继续涌增加填荷载漫，3杆伤的弄应恒力当保锋持s3＝ss不变领，1、2杆的崭应力扒增加肠，直雹到1、2杆也畜发生膛屈服(s1=s2=ss)，整质个拜结杯构绍屈浴服营，丛从惑而象丧啊失好承龄载与能左力震。浙这瓶种滥状思态份称些为盲极袋限露状拘态雾，书相派应乘的隶荷蚂载聚为极做限洪荷洁载，用Fu表示缠。令FN1=FN类2=FN3=ssA，由结潜点A的杂平熄衡枝方乘程乎得8(改2烤)A点挤的例位党移1夜.F=Fs时，s3＝ss，3杆屈必服，1、2杆仍辫处于码弹性衣工作竹状态虚，由瞎图d可检得A点的殿位移阴为2雀.继续璃增加最荷载技，3杆消的典应穷力s3＝ss保蛛持滔不肌变宰，吹增好加旺部收分鲁的佣荷亿载茅将晒由1、2杆承吸担，坊使1、2杆究的夹弹滚性野变尾形潮不纠断众增辟加碗，直到1、2杆觉刚身刚出现汤塑性舞变形伐，A点顽的界位妹移恩为A(d)1329外力F和A点洗位惯移Δ之间迫的关牵系，眨如图e所幅示侦。F<Fs时，怜结构黎的刚斜度由之三根溉杆组阿成，F≥Fs时，3杆屈谋服，层结构违的刚闪度由1,胸2杆增组症成，所腊以Oa和ab的斜习率不蹦同。(7)(e)ab1液0由于钢一次绩超静滩定杆方系结拌构中哈，存测在一蕉个多犯余约鸡束的蜓杆(例狭如凳，延例2－1中里的3杆)当偏某环一俯杆戚发械生地塑置性摇变调形准时诵，锯结举构塌成态为反静类定倘结毙构热，压还着可枪以础继辆续狂承茅载慰，瞒直耍到鸦结诱构认中热另闲外逼的眉杆固发致生乔塑故性伏变讽形处，哭使牺结际构悠丧岛失流承泛载封能占力触，浑达激到赞极巨限躁状承态雄。(a)l11§2－3等直属圆杆愚扭转降时的浴极限致扭矩图a所红示狸圆臂截烦面猴杆蓝，新其t－g的右关筛系话如木图b所示雄。本倾节讨秘论等身直圆嫂杆极限膝扭矩及扭转狸残余单应力问践题锋。12Ⅰ.极讲限妻扭亏矩(挎1松)由黑塑倡性溜材旋料挂制叔成廉的冰受丢扭踩圆医截阵面薄杆涨，漫一悄般响把tm硬a砌x=ts(图c)作胜为诵破携坏胳条奶件反，成并边以玩此娘建巨立胡强羞度最条炒件晒。右边榆缘瞒屈搏服杂时摄的席扭渐矩岸称猴为屈服辽扭矩，隶并桑用Ts表牵示诉，绩其纺值茎为仅鞋当tma长x=ts时寺，启圆责杆境不嗽会氧发压生摔明饼显烂的举屈络服签变耐形口，存扭敢矩掏还庄可伙以岛继皂续谊增墙加制。do(c)1答3

(2)若扭矩增加到某个值时，圆杆进入弹塑性工作状态，根据平面假设，其g的变化规律如图d所示。根据图b所示的t~g关系，t的分布规律如图e所示，即靠近边缘处已进入塑性状态，其余部分仍处于弹性状态。设弹性区的直径为ds。取dA=2prdr，扭矩为o(d)d(e)14单位静长度佛的扭顺转角资为(3诸)当扭堤矩增访加到T=Tu时殖，炎横匀截选面改上煤各婚点童的委切堤应际力芳均无达界到ts(图f)，圆旗杆督进暗入愤完妄全碑塑浆性仇状戒态齿，银即健为极酷限挑状较态，Tu称为极限解扭矩，开其姿值撒为式中，右边第一项为弹性区的扭矩，第二项为塑性区的扭矩。(f)1蜜5由(1)式青和(4)式可呼得可见厚，Tu=主4Ts/老3。若采网用极俘限状暴态为挂破坏碗条件们，将傲使承榨载能精力提鼓高4狼/挖3倍累。(f)1挑6Ⅱ.残剧余专应典力＋

扭矩达到Tu时，卸去全部荷载，即反向加Me=πd3τs/12，由于卸载时，t－g为线性关系(图a)，所以，，切应力的分布规律如图b所示，将它与极限状态的切应力(图c)叠加，得残余应力，其分布规律如图d所示。取dA=2prdr，其扭矩为＝Me=−TuMe=Tu(唇b板)(犹c艳)Me=0(d)ts17扭燃矩T＝0，说明耳残余枣应力甚是自宪相平俊衡的袖。1蠢8§义2－4梁婶的栽极石限界弯战矩·塑性辫铰Ⅰ.纯驻弯咽曲尺梁限的身极捧限期弯年矩图a所示盛矩形彩截面徒纯弯被曲梁哲，其绕材料妈的s－e关凡系挠如忽图b所嫂示直。b(b)(a)h/2h/219(1慰)一罪般关认咳为sma歌x=ss为梁案的破丢坏坚条折件汪，疮把车上鸽、锤下谜边棵缘仅屈雷服锹时游的拿弯筑矩训称泥为屈服注弯矩，并毛用Ms表示亭图c，其泡值栏为仅刻梁撞的上、蹦下边行缘处卷屈服慨，梁剖不会削发生充明显尸的屈午服变呜形，像弯矩够还可鉴以继才续增冠加。(c)2轰0(d)(e)

(2)当弯矩增加到

时，梁进入弹塑性工作状态，根据平面假设，e

分布规律如图d所示。按照图b所示的s－e关系，s的分布规律如图e所示。即梁的上、下边缘附近处为塑性变形，其余部分仍为弹性变形。21(3抚)当弯魔矩增忍加到M=Mu时，扶整个恼横截展面上迫的应质力均层达到ss(图f)，梁进腾入完谨全塑奇性状遍态，敢也称枯为极山限新状缺态，Mu称为极璃限朝弯仰矩。由分离炮体(图g)横痰截炼面挡上秩的牛法苹向其内原力烂所泽组坊成晌的刚合肥力啄等海于萄零纯，危即(f)zxy(g)得(2)22式中，At和Ac分别喷代表呈受拉看区和务受压晕区的庸面积誓。由(2)式所确理定昆中止性言轴z的位浸置。柜对于色水平仅形心钥轴为语对称哑轴的贫截面(例尖如皱，救矩痛形齿等)，矩水弃平从形侄心味轴们即咱为中性委轴。对迹于水反平轴寇不是窝对称津轴的滤截面赌，例环如T形尽截剧面斑，态中限性很轴询和村水埋平项形痰心院轴食不放重叛合味。耳随突弯岗矩岩的列增堵加化，求中牲性丝式轴掌上惹移虾。洗到M=Mu时箩，义中围性率轴尽位皇置女如连图朴所的示希。中性轴上移802080zzc20(中性轴)(形心轴)y2将3横截辨面上裂法向字微内炕力组卖成极糕限弯洁矩，畏即式中弟，St、Sc分封别哗表巴示氧受臭拉胖区穗和胸受皇压大区短面说积益对讨中近性秒轴z的屿静赖矩铜，土均反取低正页值林。令(塑性弯曲截面系数)(4)则(5)24对题于b×h的矩担形截榴面，由(6)和(1)式作，近得2与5例2－4求图颈示T形截放面梁雅的极乓限弯耍矩，ss＝2惩3辩5MP刚a。2扣6解：1.确定鸡中性倚轴的快位置设待中伙性翁轴z到截狱面底袄边的绝距离摩为y。并互设誓中讯性晓轴脚以煌下逢为慌受孩拉该区抽，范以故上呼为屈受怠压体区宿，禽根滔据At=Ac，有2.求St、Sc3.求Mu得274.残密余减应热力当古矩告形银截院面垃梁耻的妙弯免矩酱达脂到Mu时饼，懂卸糕去偏全魂部茧荷砌载排，罚即近反桂向肤加Mu=b遗h2σs/4，并牧注技意佳到所卸职载填时s－e成失线阳性荷关膜系赵，米则借卸园载紫时sma墓x=培(bh2ss/贫4显)锦/仓(bh2/似6同)涛=碌3ss/2(图b)，将器图b和图a的应刷力叠所加得哄残余纸应力(图c)。可汗以破验把证残井余谋应田力达自没相坝平骨衡。bhyzc+-(a)+-+－-(b)(c)+=+ss28Ⅱ.横力材弯曲斧梁的研极限犹荷载·塑誉性对铰(1龙)静定迅梁图a所示香梁的栗材料昂为理支想弹祸塑性尊材料绒，Mm艺a狠x=F江l/体4发弦生蝴在C截典面礼处腾，戴当C截面潜处的sm获a章x=ss时，艰相应雀的荷婆载Fs为屈服管荷载，C截饺面缴上崭的安弯会矩Ms为屈暗服寄弯波矩，Ms的盛值朽为byz-+（a）ABC29在Fs作用谋下，C截往面往未着产杯生涨明害显仪的拌塑擦性成变抱形线，F还庙可参继鹿续赛增施加刘。(1)可得(2)3阻01.当Fs<F<Fu(Fu为整舌个C截面饥上的s＝ss时的拔荷载)时托。沙随F的增议加，sm枪a康x＝ss(M=Ms)的端截吓面场由C截货面忆向快左托、呢右刊两素侧惯扩采展钢，拜塑犹性呈区事向堆中能性执轴块处隆扩值展渔，蜘弹芒性躬区衫的乘高愿度驻为2ys(图b)，C截匠面桃的丘弯鲜矩骡为-+(b)ABCM31式中，岛第一奶个积爸分为半半个睛弹性角区的爷弯矩极，第静二个愁积分脚为半替个塑浙性区闸的弯醋矩。警由上费式得2策.当F增加川到F=Fu时，河整个C截面贼上s＝ss，C截借面挎发不生扎塑摘性限变抬形她，Fu为极限缓荷载，C截面旺上的这弯矩造为极限俭弯矩Mu(图c削)。C截面浩两侧句部分裙将绕C截抢面帜转偶动粗。处这摄种阿由诸于椒塑震性固变痕形爆而啄形绝成钩的脸，冈但刮可勉以羊承川受映弯授矩Mu的制抽折象鼓铰鸟称绘为塑澡性斤铰。歉极够限潮弯扮矩敌为C-+AB(c)32设痕在Fu作用峰下，夺塑性握区的戒长度胞为ls(图c)，由考虑技材料咐塑性卧，可丽使梁色的承龙载能伏力提臂高1.置5倍雾。狗且Fu/Fs与Mu/Ms的比值遮相同铅。(4)得(6)由(5)式和(2)式得(7)解得(5)333.真众实坛铰隐与镜塑扎性流铰剧的控区丝式别真披实英铰柔不拾能葛承发受纵弯阵矩胞。塑踪蝶性袭铰范能妻承易受骄弯脂矩Mu。当M>Mu时注，朋塑智性急铰稳不及能都承算受M－Mu的霞弯戒矩麦，婚它臂的斑作竿用带为傻铰厚。屿卸倍载改时忠，M<Mu，塑性匆铰不忧起铰址的作尼用，荷可以湖承受宿弯矩挥。34(2抚)超切静述定扫梁理奋想顽弹促塑套性拣材隙料柄制招成求的央超陡静叉定丹梁异如肚图妨所纹示宗。1案.图a.在叙弹歼性资范疫围礼内愧，税解虚此促超范静常定辫梁顶，幅可虾知A截面荷的弯语矩最驻大。Fs为泊屈袜服圈荷千载(A截面押上的sm遣a偶x＝ss时输的唇荷蝴载)，A截面南上的潜弯矩余为屈锦服弯剧矩Ms，肚即Ms=姐3Fsl/1凉6。由此俗得(1)ACB（a）3丧52.图b.F增加鸽到F1时，A截纪面琴的愉弯汤矩幅首浸先眉达糟到医极辰限钳弯里矩Mu，A截冬面睁出键现驰塑陪性罚铰尊。也梁咸成倘为想两船端词铰瓦支昂的早静狡定粗梁怖。C截面瓜的弯桥矩为荷辟载蹲还欺可别以诞继快续除增旬加关。敲在倘荷誓载肺增万加秩的晚过蹦程苦中毯，