浙江省杭州市市余杭第二中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析

浙江省杭州市市余杭第二中学2021-2022学年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.连续抛掷一枚硬币3次，则至少有一次正面向上的概率是 A． B． C． D．参考答案：B连续抛掷一枚硬币3次的结果为有限个，属于古典概型．全部结果是(正，正，正)、(正，正，反)、(正，反，正)、(正，反，反)、(反，正，正)、(反，正，反)、(反，反，正)、(反，反，反)，共种情况，三次都是反面的结果仅有(反，反，反)种情况，所以至少有一次正面向上的概率是.2.已知函数的一部分图象（如右图所示），则函数可以是（

）

参考答案：D3.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(

)

（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C略4.函数的定义域为（

）A．{x|x＞－1且x≠1}

B．{x|x＞1且x≠2}

C．{x|－1＜x＜1}

D．{x|x≠－1且x≠1}参考答案：A要使函数有意义，则有，可得函数的定义域为，故选A.

5.函数是(

)

A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：D略6.已知M＝｛x2，2x－1，－x－1｝，N＝｛x2＋1，－3，x＋1｝，且M∩N＝｛0，－3｝，则x的值为（）

A．－1

B．1

C．－2

D．2参考答案：A7.已知数列，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：①数列，，具有性质；②数列，，，具有性质；③若数列具有性质，则；④若数列，，具有性质，则，其中真命题有（）．A．个 B．个 C．个 D．个参考答案：B【考点】8B：数列的应用．【分析】根据数列，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知①错误，其余都正确．【解答】解：∵对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的项，①数列，，中，和都不是该数列中的数，故①不正确；②数列，，，，与两数中都是该数列中的项，并且是该数列中的项，故②正确；③若数列具有性质，则与两数中至少有一个是该数列中的一项，∵，，而不是该数列中的项，∴是该数列中的项，∴；故③正确；④∵数列，，具有性质，，∴与至少有一个是该数列中的一项，且，若是该数列中的一项，则，∴，易知不是该数列的项∴，∴，若是该数列中的一项，则或或，①若同，②若，则，与矛盾，③，则，综上，故选．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，，则tanB的值为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】余弦定理．【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故选：D．9.已知函数，则其值域为A．(0,1)

B．(－1,0)

C．(－1,1)

D．[－1,1]参考答案：C10.根式（式中）的分数指数幂形式为A．

B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知幂函数过点（4，2），则f（2）=．参考答案：考点：幂函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入即可得出．解答：解：设幂函数f（x）=xα，把点（4，2）代入可得2=4α，解得．∴f（x）=．∴f（2）=．故答案为：．点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题．12.参考答案：略13.函数y＝的定义域是______________.参考答案：{x|x≤0，且x≠－}14.设数列的前项和为，，当时，，则__________。参考答案：

102415.给出下列命题：①函数y＝cos是奇函数；②存在实数x，使sinx＋cosx＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tanα<tanβ；④x＝是函数y＝sin的一条对称轴；⑤函数y＝sin的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________．参考答案：①④略16.函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上单调递减，则实数a的取值范围是．参考答案：[1，2）【考点】复合函数的单调性．【专题】数形结合法．【分析】复合函数f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）中，对数函数y=lgx为单调递增，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，

配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2﹣a2+a+1，故对称轴为x=a

如图所示：

由图象可知当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，

又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）

故答案为：[1，2）【点评】y=f[g（x）]型函数可以看作由两个函数y=f（u）和u=g（x）复合而成，一般称其为复合函数．其中y=f（u）为外层函数，u=g（x）为内层函数．若内、外层函数的增减性相同，则复合函数为增函数；若内、外层函数的增减性相反，则复合函数为减函数．即复合函数单调性遵从同增异减的原则．17.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）【考点】函数恒成立问题．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）＞f（|t﹣1|），利用单调性得|t+a|＞|t﹣1|，化简后转化为：对任意实数t∈[，2]，都有（2a+2）t+a2﹣1＞0恒成立，根据关于t的一次函数列出a的不等式进行求解．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）==1﹣，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0得，f（t+a）＞f（t﹣1），又f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（|t+a|）＞f（|t﹣1|），则|t+a|＞|t﹣1|，两边平方得，（2a+2）t+a2﹣1＞0，∵对任意实数t∈[，2]，都有f（t+a）﹣f（t﹣1）＞0恒成立，∴对任意实数t∈[，2]，都有（2a+2）t+a2﹣1＞0恒成立，则，化简得，解得，a＞0或a＜﹣3，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及恒成立的转化问题，二次不等式的解法，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（10分）不查表，不使用计算器求值。（1）；

（2）。参考答案：解：（1）原式（2）原式

19.（本题满分12分）已知点A、B、C的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈(,).(1)若||=||，求角α的值；(2)若·=-1，求的值.参考答案：解：（1）=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),

∵||=||

可得cosα=sinα又α∈(,)∴α=

……6分（2）·=cos2α-3cosα+sin2α-3sinα=-1

∴cosα+sinα=,

2=-==2=-

……12分略20.已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心；（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x﹣）．将2x﹣看作整体（1）借助于正弦函数的对称轴方程及对称中心求解（2）先求出2x﹣的范围，再求出值域．【解答】解：==cos2x+sin2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x﹣cos2x=﹣cos2x+sin2x=sin（2x﹣）．最小正周期T==π，由2x﹣=kπ+，k∈Z得图象的对称轴方程x=，k∈Z由2x﹣=kπ，k∈Z得x=，对称中心（，0），k∈Z（2）当x∈时，2x﹣∈[，]，由正弦函数的性质得值域为[]．【点评】本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法．21.（本题满分14分）已知、、是三边长，且（1）求；（2）求的最大值，并判断此时的形状。参考答案：解：（1）由已知条件及正玄定理可得:，

………………2分即，于是得，

……………4分又，故。

………………6分(2)由（1）得………………10分又由于,故当时,取得最大值,最大值为.…………12分这时,,所以为等腰三角形.

………………14分22.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，