浙江省温州市瑞安隆山中高2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

浙江省温州市瑞安隆山中高2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.现有5项工程由甲、乙、丙3个工程队承包，每队至少一项，但甲承包的项目不超过2个，不同的承包方案有（

）种A.130

B.150

C.220

D.240参考答案：A2.三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为（）A．3：1 B．2：1 C．4：1 D．参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中三棱柱的侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，我们可得四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，根据等底同高的棱锥体积相等，可将四棱椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出四棱椎C﹣PQBA的体积，进而得到答案．【解答】解：设三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V∵侧棱AA1和BB1上各有一动点P，Q满足A1P=BQ，∴四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等故四棱椎C﹣PQBA的体积等于三棱锥C﹣ABA1的体积等于V则四棱椎C﹣PQB1A1的体积等于V故过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积比为2：1故选B【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积，棱锥的体积，其中根据四边形PQBA与四边形PQB1A1的面积相等，等于侧面ABPQB1A1的面积的一半，将四棱椎C﹣PQBA的体积转化三棱锥C﹣ABA1的体积，进而根据同底同高的棱锥体积为棱柱的，求出上下两部分的体积，是解答本题的关键．3.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半，侧面积和它的体积的数值相等，则该圆锥的底面半径为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】计算题；方程思想；立体几何．【分析】根据已知中侧面积和它的体积的数值相等，构造关于r的方程，解得答案．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则母线长为2r，则圆锥的高h=r，由题意得：πr?2r=，解得：r=2，故选：C．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的侧面积公式和体积公式，是解答的关键．4.设函数，则的值为A

1

B

3

C

5

D

6参考答案：C5.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a1=4，则公差d等于（）A．﹣2 B．1 C． D．3参考答案：A【考点】等差数列的前n项和．【分析】由题意和等差数列的求和公式可得的方程，解方程即可．【解答】解：由题意和等差数列的求和公式可得S3=3a1+d=3×4+3d=6，解得d=﹣2故选：A6.下列函数中，在上为增函数的是（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C略7.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足，若点O是△ABC外一点，，则四边形OACB的面积的最大值为（）A. B. C.12 D.参考答案：A【分析】由诱导公式、两角和的余弦公式化简已知的式子，由内角的范围、商的关系、特殊角的三角函数值求出B，结合条件判断出△ABC为等边三角形，设∠AOB＝θ，求出θ的范围，利用三角形的面积公式与余弦定理，表示出得SOACB，利用辅助角公式化简，由θ的范围和正弦函数的性质求出平面四边形OACB面积的最大值．【详解】∵，，∴，化简得，∵为三角形内角，，∴，∴由得，，又∵，∴为等边三角形；设，则，∴，∵，∴，∴当，即时，取得最大值1，∴平面四边形面积的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换中的公式，余弦定理的应用，考查化简、变形及运算能力，属于中档题．8.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：C【考点】抽象函数及其应用．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．9.化简的结果是（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先用消去式子中的，再用二倍角公式可进一步对式子进行化简即得。【详解】由题得原式，，，，故选B。【点睛】本题主要考查二倍角公式的运用，在开二次根号时需要注意开出的数必须为正数。10.已知函数，则=（

）A．-4

B．4

C．8

D．-8参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，则对任意实数,，都有以下四条性质中的

▲

(填入所有对应性质的序号).①②③④参考答案：④略12.设a、b∈R，“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的

▲

．参考答案：必要不充分条件13.已知，且，则的值为__________.参考答案：略14.若集合{3，|x|，ｘ}＝｛－２，２，y｝，则=

;参考答案：12略15.已知向量，满足且与的夹角为，则

.参考答案：16.已知集合若A中至多有一个元素，则a的取值范围是_________.参考答案：略17.若a>3，则函数f（x）=x2-ax+1在区间（0，2）上恰好有_____________个零点参考答案：1略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量、、，其中,且满足求：

（1）

；

（2）与的夹角。参考答案：（1）

（2）0

略19.Sn表示等差数列{an}的前n项的和，且S4=S9，a1=﹣12（1）求数列的通项an及Sn；（2）求和Tn=|a1|+|a2|+…+|an|参考答案：【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）由已知结合等差数列前n项和公式，构造关于公差d的方程，求出公差后，可得数列的通项an及Sn；（2）由（1）中数列的通项公式，可得数列前6项为负，故可分n≤6和n≥7时两种情况，结合等差数列前n项和公式求Tn．【解答】解：（1）∵S4=S9，a1=﹣12，∴4×（﹣12）+6d=9×（﹣12）+36d解得d=2…∴…（2）当n≤6时，an＜0，|an|=﹣an，Tn=﹣（a1+a2+…=13n﹣n2，…当n≥7时，an≥0，Tn=﹣（a1+a2+…+a6）+（a7+…=Sn﹣2（a1+a2+…+a6）=n2﹣13n+84…20.（本小题满分13分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]12第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第五组(60,75]0.1第六组(75,90)40.1（Ⅰ）试确定的值，并写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）完成相应的频率分布直方图.（Ⅲ）求出样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由.参考答案：解：(Ⅰ)，…………………2分众数为22.5微克/立方米，中位数为37.5微克/立方米.……4分（Ⅱ）其频率分布直方图如图所示：……8分(Ⅲ)样本的平均数为…………10分因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进.……………………13分21.已知向量，，，函数，已知y=f（x）的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）先将函数y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于原点对称，求实数m的最小值．参考答案：【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；9R：平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）利用两个向量的数量积的定义，正弦函数的周期性求得ω，再根据函数的图象经过点M，求得函数f（x）的解析式．（Ⅱ）依题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的奇偶性，求得m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）=sin2（ωx+φ）+4﹣1﹣cos2（ωx+φ）=﹣cos（2ωx+2φ）+3，由题可知，，∴T=4，∴由得．又∵函数f（x）经过点，∴，∴，∵，∴，即，∴函数f（x）的解析式为f（x）=．（Ⅱ）先将函数y=f（x）=﹣cos（x+）+3图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，可得y=﹣cos（x+）+3的图象；再向右平移m（m＞0）个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y==的图象．∵函数g（x）关于原点对称，∴函数g（x）为奇函数，即，∴，∵m＞0，∴当k=﹣1时，m的最小值为，∴综上所述，实数m的最小值为．22.已知数列{an}满足，．（Ⅰ）若，求证：对一切的，，都有；（Ⅱ）若，记，求证：数列{bn}的前n项和；（Ⅲ）若，求证：．参考答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）由得，当且仅当时等号