数学建模～问题前期分析(课件ppt)幻灯片

数学建模-问题前期分析数学模型(E.A.Bendar定义)：关于部分现实世界为一定目的而做的抽象、简化的数学结构。数学模型是现实世界与数学世界的理想桥梁怎样构架这座桥梁？现实世界数学世界建立数学模型推理演绎求解翻译为实际解答实际解答：如对现实对象的分析、预报、决策、控制等结果。始于现实世界并终于现实世界求解数学模型

实际问题分析建立数学模型提交论文与报告

模型与模型解的分析及检验

数学建模的各阶段工作问题的前期分析

包括：明确问题、分析条件、分析数据等

为什么问题前期分析至关重要？数学建模问题往往含混不清,可能的原因有:*提出问题的人未能清楚地表述问题.*不同领域的人交流出现故障.*各领域的应用者提出问题时,未给出恰当的条件.

数学建模过程是一种创新过程，在思考方法和思维方式有自身特点数学创新思维…….等等.类比思维归纳思维逆向思维发散思维猜测思维一、问题分析的方法

掌握几类方法：问题解决法、思想表达法、创造发明法.方法的共同特点：

不轻易否定别人的意见，怀疑一般常识，努力发现别人尚未察觉的事物等几种（个体和集体的）创造性思维方法

对于创造能力的培养不可或缺一、打开思路的方法面对新问题，应尽量打开自己的思路：发散性思维和猜测思维是创造性思维方式的重要组成部分1.不要轻易沿一条思路深入，不要轻易做出结论.

2.尽量多一些想法，多一些猜测。思考、思考、再思考.帮助展开思路的方法：

关键词联想法提问题法1.提问题法借助于一系列问题来展开思路

面临难题,束手无策时通过提出一系列问题来导出一些想法或一个好的方案.如：

(l)这个问题和什么问题相类似？(2)假如变动问题的某些条件将会怎样？(4)重新组合又会怎样？(3)将问题分解成若干部分再考虑会怎样？为进一步打开思路可提以下问题：

(5)我们还可以做什么工作？(6)有无需要进一步完善的内容？(7)可否换一种数学工具来解决此问题？针对问题和初始方案可以先设计出类似的问题清单，然后反复展开。

例1穿越公路问题在一个由交通灯控制车辆通行的十字路口，问绿灯亮的15秒期间有多少辆车通过交通灯下？这个问题太笼统含混，因为红绿灯控制交通的方式可能非常复杂，有哪些问题值得我们去思考的呢？1.交通灯左转弯，右转弯如何执行？当车辆较少时可能没有多少要通过路口的车辆。3.车辆较多时可能等在后排的司机在下一一次红灯亮起的时候仍然没有通过路口。4.有多少条车道？

为了明确问题，这里研究红灯时有较长车队等候经过口。并作如下假设：1、十字路口没有阻塞。2、所有车辆笔直穿越路口。3、所有车长5米，从禁止状况启动。4、每辆车间距2米。问题分析：城市里大多数车以15米/秒的速度行驶，假定所有车从禁止匀加速到15米/秒。而大部分汽车厂商宣称可以在10秒内由禁止加速到25米/秒左右，则加速度为2.5米/秒，保守取一班车加速度为2米/秒。则一辆汽车通过路口的关系式为：22接下来考虑整个车队：假定前一辆车启动后，下一辆车延迟1秒启动。则可以得到各个车辆在各个时间的行驶状况。例如五辆车行驶4秒。车号运动时间运动距离初始位置最终位置1416016239-72324-14-10411-21-20500-28-28一种新产品刚面世，厂家和商家总是采取各种措施促进销售，比如不惜血本大做广告等等.他们都希望对这种新产品的推销速度做到心中有数,厂家用于组织生产，商家便于安排进货.例2电饭煲销售问题怎样建立一个数学模型描述新产品(电饭煲)推销速度，并由此分析出一些有用的结果以指导生产.问题分析：产品刚出现时，人们对此一无所知，有部分人使用后感到很方便，向亲朋好友宣传。设时刻已售出的电饭煲数量为，且每一售出的电饭煲在单位时间内平均吸引个顾客，即满足微分方程：若已知时，，则其解为：若进一步分析时，显然与事实不符。问题分析：设需求量的上界为M，则尚未使用的人数为，销售速度与和的乘积成正比，比例系数为，则有：想一想

此问题与我们遇到的哪一个建模问题相类似？分析Logistic人口模型，t

时刻的人口数为t≥0

改写为

数学分析1.若

r＜0，则S＜0，随着,则2.若

r＞0，讨论Logistic曲线特征N(t)是单调上升函数.

K是使得人口净增长率r(K)=0的人口数，可理解为该地区能容纳的人口上限.t00N0kk/2人口不会无限增长，存在一个转折时间点t0，过此点以后增长速度会减缓。

(1)一般每户只需用1～2只电饭煲就足够,一个地区的需求量是有限的；电饭煲的销售情况类似于人口增长情况,可利用类比方法建立模型.Logistic模型特点：初期高速增长，过一个特定时间点后增长速度减缓，且有上界控制.对原问题的分析：(2)初期在广告之类推销作用下销售速度较快,商品趋于饱和时销售速度会减缓.记x(t)为t时刻已售出的电饭煲总数,市场的饱和量(最大需求量)为M,利用Logistic模型来描述电饭煲的销售速度变化情况.实际情况与Logistic销售曲线十分吻合

思考

请考虑现实中哪些变量的变化可用

Logistic模型进行描述？现代化都市里大楼林立,这些拔地而起的摩天大楼安全性不容忽视,我们经常耳闻目睹大楼内发生意外情况,造成令人震惊的人员伤亡和财产损失.大楼内居住人员的安全保障在于无论发生什么情况,都能使人员有组织,有秩序地进行疏散撤离.一座大楼的管委会想进行一次紧急疏散人员的演习.例3“地震”事件的反思

问题分析

演习之前需要考虑许多方面,如大楼内的设施、人员的分布情况、撤离路线的设计、撤离的步骤等等，这是一个较庞大的系统工程应考虑将此问题分解成为若干个子问题，如*一个房间内人员的撤离；*一个通道的撤离；*一层楼人员的撤离；……最后，将各个子问题重新组合起来

上面的叙述太笼统，无法建立模型。因为我们不知道大楼面积有多大，楼层数和出口数为多少等等。但是一个熟练的建模人员善于简化那些看起来很复杂的问题，而且通常从较简单的情况入手所得到的结果有助于整个问题的解决。我们不如考虑一所学校的教学楼。其中一楼教室如下图所示。问题分析：先考虑一个房间内的疏散情形。人与人之间的距离为米，人员疏散时的速度为米/秒，第一个到达门口所用时间为。则人链的长度为米。整个撤离时间为：两间房子的疏散情况怎么样？仔细考虑觉得有些欠缺，即没有考虑不同房间人员在走廊上的冲突问题，为了避免混乱，规定走廊只能允许一列队伍通过，在第一个房间人员疏散过程中第二个房间的人员需要等待，以此类推。第一条人链链尾到达门口所需时间：第二条人链链头到达第一间门口所需时间：所以当时，第二个房间的人员需要等待。则两个房间全体人员疏散所需时间为：2.关键词联想法一种有效的发散思维方式

主要步骤如下：(1)抓住问题或方案的关键词,不受任何约束地进行联想；(2)把联想到的内容用关键词的方式登记在卡片上,进一步激发产生新的想法,进一步想出新的主意；(3)再把积攒的卡片相互搭配,形成解决问题的初步思路与步骤.在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行.区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据,以便进行飞行管理.当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞.如果会碰撞,则应例4

飞行管理问题请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型,列出计算步骤,对以下数据进行计算(方向角误差不超过0.01度).要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小.记录数据为：……试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广.计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞.现假定条件如下：……*对问题仔细阅读,首先抓住题目中的关键词“管理”进行联想.

*

抓住诸如“碰撞”、“调整”、“避免碰撞”、“立即”、“判断”等等词语.

*联系解决问题的方案,不加约束继续联想，再将关键词搭配起来.

立即判断

碰撞

条件

实时

算法

避免碰撞

调整方向角

实时

幅度尽量小

相对距离优化问题优化算法优化调整方案问题的初步理解和想法飞行管理问题是优化问题,在调整方向角的幅度尽量小的同时，还必须注意调整方案及算法的实时性.二、整体把握问题的方法有两种把握住问题的全貌的有效方法：

(1)层次结构法

(2)问题分解法

有专著介绍

问题分解法是一种简单而有效的把握问题整体的方法.将问题分解为“三要素”的三个部分.

问题分解三要素

初态

目标态

过程

觉察到的现在状态(目前“有什么”，如条件、数据等).

觉察到的希望目标(想要什么、希望达到什么等).

能在“初态”和“目标态”之间发生作用的行动(能做什么).例5

常见数学题目模式

已知求（证）解题初态目标态过程教师的主要教学目标

*解决实际问题时，分析出问题的初态和目标态很困难.

*未清晰地描述出问题的“初态”和“目标态”之前，过早地进入解决问题的阶段，会条件不清、目标不明.

尽量拓展思路的基础上,再进行充分分析得到的问题分解结果：例6．飞行管理问题

初态：现有飞机的飞行状态（数据）与碰撞条件

过程：建立碰撞的判别准则，优化管理方案及相应算法.

目标态：实时调整，避免碰撞。气象观察站调整问题

某地区内有12个气象观察站（位置如图),有10年各观察站的年降水量数据.为了节省开支，想要适当减少气象站.

问题：减少哪些观察站可以使得到的降水量的信息量仍然足够大？

如何利用熵的概念解决此问题，给出解决问题的思路。1.问题分析首先找出问题中的关键词，进行联想.减少站数

删除原则保持信息量

各站关系降水数据足够大衡量指标衡量指标熵降水数据2.问题的分解初态：12个气象站的年降水数据。（无日或月的降水数据，也无地理、气候等其它条件.）

目标态：减少气象站数，并保持降水量足够大的信息量.过程：（将做的事情）(1)信息量的衡量（用熵）；(2)给出删除气象站的条件及原则；(3)建立保持足够信息量的判别条件；解决问题的惟一出发点(1)确定各气象站的年降水量：的概率分布，并计算各个气象站降水量的熵值.

(2)分析判断各站年降水量(两两之间或多个变量间)是否存在相关关系(线性的或非线性的)，并据此保留其中熵值较大的气象站.随机变量另一种方法：用聚类分析法进行聚类.3.解决问题的思路（可由降水数据分析各个气象站的相似性，如同为干旱、湿润地区等.）1)设定一个阈值，保留所有熵值大于阈值的气象站；

2)使保留气象站的信息量总和占原信息量总和的一定比例.可考虑各种判别条件，如：(3)建立保持足够信息量的判别条件注：阈值或比例值均需背景知识和经验来确定。仍保留降水量的信息量较大的站。三、问题前期分析1.条件及数据分析

设置好问题的目标态,着手工作还需要做以下工作：1.收集必要的资料和数据。

2.分析现有的数据和条件,使问题进一步明确化.

我国淡水资源有限.节约用水人人有责,洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水—漂洗—脱水—加水—漂洗—脱水—…—加水—漂洗—脱水(称“加水—漂洗—脱水”为运行一轮).例7节水洗衣机问题请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少.选用合理的数据进行运算，对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果出评价.*衣服的洗净效果指标(包括污物和残留洗涤剂)；

*不同质地衣物的脱水率或衣物的含水量C；

*洗衣机的最高水位H、最低水位L；

*各类污物(泥土、油腻等)和洗涤剂在水中的溶解特性。

怎样收集数据和资料？

分析：题目中没有一个数据,但问题却需要比较多的数据及条件,如

可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、通过试验来得到。

收集数据应列入工作计划，并注意：

1.向有关人员调查情况应事先设计好问题；

2.事先确定所需资料清单、资料来源、收集方式。有条理的收集计划可以为后期的工作创造良好的条件

对收集到的或者现有的资料和数据要做仔细分析，使问题进一步明确.

为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度,一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益.例3.3.3最优捕鱼策略考虑对某种鱼的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量（单位：g）分别为5.07、11.55、17.86、22.99，各个年龄组的鱼的自然死亡率均为0.8(1/年),这种鱼为季节性集中产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105个,3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+n）

渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数、下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼，其两个强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力捕捞.建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量)渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏.已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7，10.1，3.29（×109为）条），

如果仍用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.

分析：此题中的数据、条件特别多,有的难于把握,有的会直接影响到所建模型是否正确.1.捕捞强度系数

q

单位时间捕捞量与鱼群条数成正比时的比例系数

可否理解为捕捞量占总鱼群量的百分率？

否！