山东省烟台市经济技术开发区第一初级中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析

山东省烟台市经济技术开发区第一初级中学2022-2023学年高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(

)A．①②

B．②③

C．③④

D．①④参考答案：A2.函数f（x）=x3﹣3x2+2015在区间[，3]上的最小值为(

) A．1997 B．1999 C．2012 D．2016参考答案：A考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，判断函数在区间[，3]上的单调性，即可得到最小值．解答： 解：函数f（x）=x3﹣3x2+2015的导数f′（x）=x2﹣6x=x（x﹣6），当x∈[，3]时，f′（x）＜0，即有f（x）在区间[，3]上递减，可得f（3）取得最小值，且为9﹣27+2015=1997．故选A．点评：本题考查导数的运用：求单调性和最值，主要考查单调性的运用，属于基础题．3.设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．4.函数的图象大致为（

）A. B. C. D.参考答案：A【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断．【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除B，C，当时，，故排除D，或者根据，当时，为增函数，故排除D，故选：A．【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题．5.若动点到点和直线的距离相等，则点的轨迹方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B

解析：点在直线上，则过点且垂直于已知直线的直线为所求6.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+2y的最大值为（）A．12 B．10 C．8 D．2参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】1．作出可行域2目标函数z的几何意义：直线截距2倍，直线截距去的最大值时z也取得最大值【解答】解：本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点（2，1）时，z取得最大值10．7.f(x)为定义在实数上的可导函数，且对任意的都成立，则（

）

A

BC

D

参考答案：A略8.若函数的图象在点处的切线与圆相交,则点与圆的位置关系是(

)（A）圆内

(B)圆外

(C)圆上

(D)圆内或圆外参考答案：B9.设i是虚数单位，若复数（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0得答案．【解答】解：∵=是纯虚数，∴a﹣1=0，即a=1．故选：B．10.已知点M（﹣3，0）、N（3，0）、B（1，0），动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为（）A．

(x＜-1)

B．(x＞1)C．(x＞0)

D．(x＞1)参考答案：B【考点】双曲线的标准方程．【分析】先由题意画出图形，可见⊙C是△PMN的内切圆，则由切线长定理得|MA|=|MB|、|ND|=|NB|、|PA|=|PD|；此时求|PM|﹣|PN|可得定值，即满足双曲线的定义；然后求出a、b，写出方程即可（要注意x的取值范围）．【解答】解：由题意画图如下可见|MA|=|MB|=4，|ND|=|NB|=2，且|PA|=|PD|，那么|PM|﹣|PN|=（|PA|+|MA|）﹣（|PD|+|ND|）=|MA|﹣|ND|=4﹣2=2＜|MN|，所以点P的轨迹为双曲线的右支（右顶点除外），又2a=2，c=3，则a=1，b2=9﹣1=8，所以点P的轨迹方程为（x＞1）．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若是偶函数，则函数f(x)的增区间是

．参考答案：.试题分析：∵函数是偶函数，

∴，

∴，∴，解得，

∴，其图像是开口方向朝下，以y轴为对称轴的抛物线，

故f（x）的增区间.

故答案为：.考点：函数的奇偶性；二次函数的单调性.12.已知P（﹣2，3）是函数y=图象上的点，Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点，过点Q作直线，使其与双曲线y=只有一个公共点，且与x轴、y轴分别交于点C、D，另一条直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B．则（1）O为坐标原点，三角形OCD的面积为

．（2）四边形ABCD面积的最小值为

．参考答案：12，48.【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由已知可得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，利用导数法求出直线的方程，进而可得C，D两点的坐标，进而得到三角形OCD的面积；（2）四边形ABCD面积S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD，结合（1）中结论和基本不等式，可得四边形ABCD面积的最小值．【解答】解：（1）∵P（﹣2，3）是函数y=图象上的点，故k=﹣6，即y=，则y′=，设Q是双曲线在第四象限这一分支上的动点（a，），（a＞0），则由题意得直线CD与双曲线在第四象限这一分支相切，故直线CD的方程为：y+=（x﹣a），令y=0，可得x=2a，即C点坐标为（2a，0），令x=0，可得y=﹣，即D点坐标为（0，﹣），故三角形OCD的面积S△OCD=×2a×=12，（2）∵直线y=x+6与x轴、y轴分别交于点A、B，则A（﹣4，0），B（0，6），故四边形ABCD面积S=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△OAD=×4×6+×2a×6+×4×+12=24+6a+≥24+2=48，即四边形ABCD面积的最小值为48，故答案为：12，4813.已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）﹣a=0有两个实根，则实数a的范围是．参考答案：（0，1]【考点】51：函数的零点．【分析】当x≤0时，0＜2x≤1，当x＞1时，log2x∈R，由题意可得，函数y=f（x）与直线y=a有两个交点，数形结合求得实数a的范围．【解答】解：当x≤0时，0＜2x≤1，当x＞1时，log2x∈R．所以，由图象可知当要使方程f（x）﹣a=0有两个实根，即函数y=f（x）与直线y=a有两个交点，所以，由图象可知0＜a≤1，故答案为（0，1]．14.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是

．参考答案：计算|x|的值15.抛物线的准线方程是_______________.参考答案：略16.已知是虚数单位，则

参考答案：0略17.

如图，是一程序框图，则输出结果为________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（Ⅰ）求角C的大小；

（Ⅱ）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．参考答案：19.已知空间三点A(0,2,3),B(－2,1,6),C(1,－1,5)⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标。参考答案：（1）；（2）或略20.求证：函数y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.(10分)参考答案：略21.如图，在三棱柱中，侧面，已知（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若，求二面角的平面角的正切值.参考答案：证（Ⅰ）因为侧面，故在中，

由余弦定理有

故有

而

且平面

（Ⅱ）由从而

且故不妨设

，则，则又

则在中有

从而（舍去）故为的中点时，法二：以为原点为轴，设，则

由得

即

化简整理得

或当时与重合不满足题意当时为的中点故为的中点使（Ⅲ）取的中点，的中点，的中点，的中点连则，连则，连则连则，且为矩形，又

故为所求二面角的平面角在中，法二：由已知，所以二面角的平面角的大小为向量与的夹角因为

故略22.已知复数，，其中（1）若复数为实数，求m的取值范围；（2）求的最小值。参考答案：（1）；（2）【分析