第二章 单自由度系统的振动part1

1.求解二阶常系数线性微分方程

齐次方程

非齐次方程2.周期函数的傅立叶级数展开3.傅式积分法和拉氏变换法预备知识第2章单自由度系统的振动2.1单自由度振动系统2.2单自由度振系的自由振动2.3单自由度振系的强迫振动2.1单自由度振动系统2.1.1概述2.1.2刚度2.1.3质量2.1.4阻尼鼓励2.1.6振动微分方程2.1.1概述自由度的概念振动系统的自由度(degree–of–freedom)：指在振动过程中任何瞬时都能完全确定系统在空间的几何位置所需要的独立坐标的数目。一个振动系统的自由度确实定常常是相当复杂的问题。这不仅取决于系统本身的结构特性，还要根据所研究的振动问题的性质、要求的精确度、以及振动的实际情况来确定。2.1.1概述常见的几种单自由度振动系统根据不同的振动形式，独立坐标可以选取线位移或角位移来表示。2.1.1概述刚度：k质量：m阻尼：c鼓励：F0sint振动微分方程2.1.2刚度刚度：使系统的某点沿指定方向产生单位位移〔线位移或角位移〕时，在该点同一方向上要施加的力〔力矩〕，就称为系统在该点沿指定方向的刚度。刚度计算公式线刚度角刚度式中，F和M为广义力。2.1.2刚度刚度算例A-截面面积E-抗压弹性模量J-截面对中性轴的惯矩G-剪切弹性模量Jp-截面极惯矩D截面处拉压刚度B截面处弯曲刚度C截面处扭转刚度2.1.2刚度组合弹簧系统的等效刚度〔EquivalentStiffness)〔a〕并联弹簧系统〔b〕串联弹簧系统2.1.2刚度a.并联弹簧的等效刚度b.串联弹簧的等效刚度2.1.2刚度组合弹簧系统的等效刚度〔EquivalentStiffness)简图说明等效刚度ke等效刚度

串联弹簧

并联弹簧

混联弹簧2.1.2刚度例题：求以下图1和2两系统的等效刚度。2.1.2刚度能量法求等效刚度〔EquivalentStiffness)当实际系统比较复杂时，根据定义直接求等效刚度较困难，而按实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等原那么来求等效刚度那么相对容易。2.1.2刚度例题：将图示系统简化为A点处的单质量振系，求系统的等效刚度。2.1.2刚度解：因为所以2.1.2刚度例题：两轴平行、速比为i的齿轮传动机构，齿轮的转动惯量可忽略不计。轴I的刚度为k1，转角为1；轴II的刚度为k2，转角为2；定义速比

，求轴I向轴II转化的单轴振系的等效刚度。解：求等效刚度时，先夹住盘1和2不动，齿轮２转角为2，那么轴I通过齿轮1将扭转1，而且1=i2，此时2.1.3质量同等效刚度一样，假设实际系统较复杂〔一般为分布质量系统〕，那么可以用能量法来确定等效质量〔EffectiveMass)。根据实际系统要转化的质量的动能与等效质量动能相等的原那么来求等效质量，即：2.1.3质量例题：假设如下图弹簧单位长度的质量，弹簧长度为L。求一个与之等效的单自由度振系的等效质量me。解：弹簧在距固定端ξ处的微元dξ的位移和速度分别为和。那么弹簧的振动动能质量块的动能2.1.3质量系统总动能等效系统的动能因为所以2.1.3质量例题：两轴平行、速比为i的齿轮传动机构，齿轮的转动惯量可忽略不计。轴I的刚度为k1，转角为1；轴II的刚度为k2，转角为2；定义速比

，求轴I向轴II转化的单轴振系的等效转动惯量。等效系统的动能为：解：轴I向轴II转化的动能为：因为所以2.1.4阻尼阻尼：振系中阻力有各种来源，例如两物体之间的干摩擦力，有润滑剂的两个面之间的摩擦力，气体或液体等介质的阻力，电磁阻力，以及由于材料的粘弹性产生的内部阻力等等。在振动中这些阻力统称为阻尼(Damping)。2.1.4阻尼1.粘性阻尼〔ViscousDamping)物体在流体中低速运动或沿润滑外表滑动时，受到粘性阻尼的作用。在各种阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，即，c代表粘性阻尼系数。粘性阻尼比较简单常见，易于进行数学处理。应用粘性阻尼分析振动问题时，可使求解大为简化，因而通常均假设系统的阻尼为粘性阻尼。2.库仑阻尼〔CoulombDamping)物体在枯燥外表滑动时受到库仑阻尼的作用。3.流体阻尼〔FluidDamping)物体在粘性较小的流体中高速运动时，受到流体阻尼的作用。4.结构阻尼〔StructureDamping)由于材料本身内摩擦造成的阻尼，称为结构阻尼。当振动系统中的阻尼为粘性阻尼以外的其它类型时，由于它们是非线性的，因而处理起来就不那么容易。为方便起见，在工程实践中往往根据在振动一周中实际阻尼所消耗的能量等于粘性阻尼所耗散的能量的关系，把其它类型阻尼折算成等效粘性阻尼。2.1.4阻尼阻尼元件同样有串联和并联等组合形式。〔a〕并联阻尼系统〔b〕串联阻尼系统2.1.4阻尼a.并联阻尼系统b.串联阻尼系统2.1.4阻尼2.1.4阻尼能量法求等效阻尼〔EquivalentDamping〕：按实际系统要转化的阻尼的耗散能量与等效阻尼的耗散能量相等原那么来求等效阻尼。2.1.4阻尼例题：求图示系统的等效阻尼。解：2.1.4阻尼确定干摩擦阻尼、流体阻尼和结构阻尼的等效粘性阻尼系数方法考虑得系统作简谐强迫振动时粘性阻尼力为：粘性阻尼在振动的一周期内所作的功为：当系统的阻尼是非线性阻尼时，可用等效阻尼系数ce来代替它。非线性阻尼所做的功2.1.4阻尼例题：试求高速流体阻尼的等效粘性阻尼系数。解：当物体以较大速度在粘性较小的流体中运动时，阻尼与速度平方成正比，称为流体阻尼。它是一种非线性的阻尼，可表示为：其中，为比例常数，根据介质的物理特性而定。流体阻尼在一周期内作的功为：高速流体的等效粘性阻尼2.1.5鼓励外界激励（Excitation）简谐激励一般周期激励非周期激励随机激励2.1.6振动微分方程1.牛顿第二定律〔或达朗贝尔原理〕a.建立力学模型b.取隔离体c.进行受力分析d.应用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立微分方程2.1.6振动微分方程振动系统的隔离体受力分析2.1.6振动微分方程从上例可以看出，假设重力的影响仅是改变了惯性元件的静平衡位置，那么将坐标原点取在静平衡位置上，方程中就不会出现重力项。另外，还有三点需注意：a.假设f(t)=0，运动方程为齐次微分方程，那么系统做自由振动；b.假设f(t)是正弦或余弦函数，那么系统做简谐激振力的强迫振动。c.假设系统阻尼c等于零，系统做无阻尼受迫振动，方程可写为：2.1.6振动微分方程单摆在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。在微摆动时2.1.6振动微分方程例题：圆盘扭振，圆盘转动惯量I，Kt为轴的扭转刚度，在圆盘的静平衡位置上任意选一根半径作为角位移的起点位置，求圆盘扭振的运动方程。2.1.6振动微分方程由上述几例可看出，除了选择的坐标不同之外，角振动与直线振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将m、k称为广义质量及广义刚度，那么弹簧质量系统的有关结论完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是广义的。2.1.6振动微分方程例题:在图所示的弹簧-质量系统中，在两弹簧连接处作用一鼓励力。试求该系统的振动微分方程。2.1.6振动微分方程2.能量法当弹簧质量系统作自由振动而忽略阻尼不计时，它就没有能量损失。根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能应保持不变。即动能〔KineticEnergy〕与势能〔PotentialEnergy〕之和势能应包括弹性势能(ElasticPotentialEnergy)和重力势能〔GravitationalPotentialEnergy〕。一般取静平衡位置时的总势能为零，此时动能为最大；而动能为零时势能最大。2.1.6振动微分方程图示弹簧质量系统能量转化的讨论取静平衡位置重力势能为A静平衡位置弹性势能为静平衡位置总势能为质量离开静平衡位置x时，总势能为2.1.6振动微分方程质量离开静平衡位置x时，相对于平衡位置的势能为结论：假设以平衡位置为坐标原点，令该位置的势能为零，那么质量离开静平衡位置x时的总势能为：所以，以后考虑类似问题时，不需要考虑重力势能。系统在静平衡位置势能为零而动能最大，动能为零时，势能最大，且有例题：半径为r，重量为mg的圆柱体在半径为R的圆柱面内滚动而