电力系统潮流计算

电力系统潮流计算第一节概述第二节潮流计算的数学模型第三节牛顿法潮流计算第四节P-Q分解法潮流计算第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑第六节保留非线性潮流算法第七节非线性规划潮流算法第八节几种特殊性质的潮流计算问题简介第一节概述常规潮流计算的任务是根据给定的运行条件和网络结构确定整个系统的运行状态，如各母线上的电压(幅值及相角)、网络中的功率分布以及功率损耗等。潮流计算的结果是电力系统稳定计算和故障分析的基础。在电力系统运行方式和规划方案的研究中，都需要进行潮流计算以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。为了实时监控电力系统的运行状态，也需要进行大量而快速的潮流计算。潮流计算是电力系统中应用最为广泛、最基本和最重要的一种电气计算。在系统规划设计和安排系统的运行方式时，采用离线潮流计算；在电力系统运行状态的实时监控中，则采用在线潮流计算。利用电子数字计算机进行电力系统潮流计算从20世纪50年代中期就已开始。此后，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：(1)算法的可靠性或收敛性。(2)计算速度和内存占用量。(3)计算的方便性和灵活性。第一节概述电力系统潮流计算一组高阶非线性代数方程迭代达几千阶甚至上万阶开始阶段：节点导纳矩阵为基础的高斯一赛德尔迭代法(以下简称导纳法)简单，所需内存量也比较小20世纪60年代初:以阻抗矩阵为基础的逐次代入法(以下简称阻抗法)满矩阵-》需要较大的内存量；每次迭代的计算量很大克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿拉夫逊法(以下简称牛顿法)。导纳矩阵；系数矩阵的稀疏性；提高效率90世纪60年代中期利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法P-Q分解法保留非线性的潮流算法20世纪70年代后期:泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型非线性规划潮流算法对于一个潮流算法，其基本要求可归纳成以下四个方面(1)计算速度；(2)计算机内存占用量；(3)算法的收敛可靠性；(4)程序设计的方便性以及算法扩充移植等的通用灵活性。这四点要求也成为本章后面评价各种潮流算法性能时所依据的主要标准。本章在对潮流计算问题的数学模型进行简单的回顾以后，将首先转入三种最基本的潮流算法：高斯一塞德尔法牛顿法快速解耦法的讨论这三种算法的基本原理在大学本科的《电力系统分析》教材中已作过介绍，但鉴于这些方法的重要性，将在大学本科《电力系统分析》教材的基础上作进一步的讨论。牛顿法的特点是将非线性方程线性化。70年代后期，有人提出采用更精确的模型，即将泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性的潮流算法。为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，并称之为最小化潮流计算法。一些实际用于生产的潮流程序往往在上述基本潮流的框架内再加入模拟实际系统运行控制特点的自动调整计算功能，如潮流控制，分接头调整等60年代中期，结合电力系统经济调度工作的开展，针对经典的经济调度方法的不足，开辟了一个新的研究领域，称之为最优潮流问题。这种以非线性规划作为计算模型的潮流问题能够统筹兼顾电力系统的经济性、安全性和电能质量，因而受到很大的重视，发展很快，其应用领域正在不断扩大。和交流输电比较，直流输电具有不少固有的特点。70年代以后，随着晶闸管(可控硅)换流器的问世，促进了直流输电的迅速发展，一批批新的线路正在建设或已经投运，我国也已经建成了葛洲坝--上海、天生桥—广东、三峡--广东等高压直流±500kV输电工程，因此研究交直流系统的潮流计算就成为十分必要。最后，将简单介绍几种特殊用途的潮流计算问题。直流潮流随机潮流三相潮流第二节潮流计算问题的数学模型电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可用接在相应节点上的一个电流注入量代表，因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普遍采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系为：其展开式分别为：但是在工程实际中，已知的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联系节点电流和节点功率的关系式将上式代入展开式得到

（1-6）（1-7）这就是潮流计算问题最基本的方程式，是一个以节点电压U为变量的非线性代数方程组。由此可见，采用节点功率作为节点注入量是造成方程组呈非线性的根本原因。由于方程组为非线性的，因此必须采用数值计算方法、通过迭代来求解。而根据在计算中对这个方程组的不同应用和处理，就形成了不同的潮流算法。对于电力系统中的每个节点，要确定其运行状态，需要有四个变量：有功注入--P无功注入--Q电压模值--U电压相角--θn个节点总共有4n个运行变量要确定。总共包括n个复数方程式，如果将实部与虚部分开，则形成2n个实数方程式，由此仅可以解得2n个未知运行变量。为此在计算潮流以前，必须将另外2n个变量作为已知量而预先给以指定。也即对每个节点，要给定其两个变量的值作为已知条件，而另两个变量作为待求量。按照电力系统的实际运行条件，根据预先给定的变量的不同，电力系统中的节点又可分成PQ节点PV节点平衡节点对应于这些节点，分别对其注入的有功、无功功率，有功功率及电压模值以及电压模值和相角加以指定；并且对平衡节点来说，其电压相角一般作为系统电压相角的基准：即交流电力系统中的复数电压变量可以用两种坐标形式来表示：复数导纳为将上三式代入以导纳矩阵，并将实部与虚部分开，可得到以下两种形式的潮流方程。潮流方程的直角坐标形式为：潮流方程的极坐标形式为：以上各式中j∈i表示∑号后的标号为j的节点必须直接和节点i相联，井包括j=i的情况。这两种形式的潮流方程通称为节点功率方程，是牛顿一拉夫逊法等潮流算法所采用的主要数学模型。对于以上潮流方程中的有关运行变量，还可以按其性质的不同再加以分类，这对于进行例如灵敏度分析以及最优潮流的研究等，都是比较方便的。每个节点的注入功率是该节点的电源输入功率PGi、QGi和负荷需求功率PLi，QLi的代数和。负荷需求的功率取决于用户，是无法控制的，所以称之为不可控变量或扰动变量。而某个电源所发的有功、无功功率则是可以由运行人员控制或改变的变量，是自变量或称为控制变量。至于各个节点的电压模值或相角，则属于随着控制变量的改变而变化的因变量或状态变量。当系统中各个节点的电压模值及相角都知道以后，则整个系统的运行状态也就完全确定了。若以p,u,x分别表示扰动变量、控制变量、状态变量，则潮流方程可以用更简洁的方式表示为:根据上式，潮流计算的含义就是针对某个扰动变量p，根据给定的控制变量u，求出相应的状态变量x。第三节高斯一塞德尔法以导纳矩阵为基础，并应用高斯--塞德尔迭代的算法是在电力系统中最早得到应用的潮流计算方法。优点：原理简单，程序设计十分容易。导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。就每次迭代所需的计算量而言，是各种潮流算法中最小的，并且和网络所包含的节点数成正比关系。缺点：本算法的主要缺点是收敛速度很慢。病态条件系统，计算往往会发生收敛困难节点间相角差很大的重负荷系统；包含有负电抗支路(如某些三绕组变压器或线路串联电容等)的系统；具有较长的辐射形线路的系统；长线路与短线路接在同一节点上，而且长短线路的长度比值又很大的系统。此外，平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。目前高斯一塞德尔法已很少使用第四节牛顿一拉夫逊法一、牛顿一拉夫逊法的一般概念

牛顿一拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程，即通常所称的逐次线性化过程。对于非线性代数方程组即在待求量x的某一个初始估计值，x(0)附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量将相加，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1)出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应用牛顿法求解的迭代格式为:上两式中：f’(x)是函数f(x)对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J；k为迭代次数。由上两式可见，牛顿法的核心便是反复形成并求解修正方程式。牛顿法当初始估计值x(0)和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。二、牛顿潮流算法的修正方程式在将牛顿法用于求解电力系统潮流计算问题时，由于所采用f(x)的数学表达式以及复数电压变量采用的坐标形式的不同，可以形成牛顿潮流算法的不同形式。以下讨论用得最为广泛的f(x)采用功率方程式模型，而电压变量则分别采用极坐标和直角坐标的两种形式。(一)极坐标形式令则采用极坐标形式的潮流方程是：对每个PQ节点及PV节点对每个PQ节点将上述方程式在某个近似解附近用泰勒级数展开，并略去二阶及以上的高阶项后，得到以矩阵形式表示的修正方程式为:式中：n为节点总数；m为PV节点数，雅可比矩阵是(2n-m-2)阶非奇异方阵。(二)直角坐标形式令在这里，潮流方程的组成与上不同，对每个节点，都有二个方程式，所以在不计入平衡节点方程式的情况下，总共有2(n-1)个方程式。

对每个PQ节点，根据直角坐标形式的基本潮流方程有：

对每个PV节点，除了有相同的有功功率方程式之外，还有

（1-41）采用直角坐标形式的修正方程式为（1-42）仔细分析以上两种类型的修正方程式，可以看出两者具有以下的共同特点。(1)修正方程式的数目分别为2(n-1)-m及2(n-1)个，在PV节点所占比例不大时，两者的方程式数目基本接近2(n-1)个。(2)雅可比矩阵的元素都是节点电压的函数，每次迭代，雅可比矩阵都需要重新形成。(3)分析雅可比矩阵的非对角元素的表示式可见，某个非对角元素是否为零决定于相应的节点导纳矩阵元素Yij是否为零。因此如将修正方程式按节点号的次序排列，并将雅可比矩阵分块，把每个2*2阶子阵；作为分块矩阵的元素，则按节点号顺序而构成的分块雅可比矩阵将和节点导纳矩阵具有同样的稀疏结构，是一个高度稀疏的矩阵。(4)和节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅可比矩阵在位置上对称，但雅可比矩阵不是对称阵。复习并分析这些特点非常重要，因为正是修正方程式的这些特点决定了牛顿法潮流程序的主要轮廓及程序特色。第二节

潮流计算的数学模型一、潮流计算中的节点分类潮流计算所用的电力网络由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行的分析普遍采用节点法，以导纳矩阵表示的节点电流与节点电压之间的关系为对于每个节点，有4个变量：注入节点的有功功率P和无功功率Q，以及节点电压的幅值V和相角θ(或对应于某一选定参考直角坐标的实部和虚部)，对于n个节点的网络则有4n个变量。而式(2-4)或式(2-5)总共有n个复数方程，如果将其实部和虚部分开便得到2n个实数方程，由此仅可求得2n个变量。为此在计算潮流以前，必须将另外2n个变量作为已知量而预先给定，即对每个节点，要给定两个变量的值作为已知条件，而另两个变量作为待求量。第二节

潮流计算的数学模型按给定变量的不同，一般将节点分为以下3种类型:(1)PQ节点。这类节点的有功功率P和无功功率Q是给定的，节点电压相量(V,θ)是待求量，通常将变电所母线作为PQ节点。在一些情况下，系统中某些发电厂送出的功率在一定时间内为固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。因此，电力系统中的绝大多数节点属于这一类型。(2)PV节点。这类节点的有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压相角θ是待求量。这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因而又称之为电压控制节点。一般是选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。在电力系统中，这一类节点的数目很少。(3)平衡节点。在潮流计算中，平衡节点只有一个，它的电压幅值V和相角

θ给定(一般

θ=0º)，其有功功率P和无功功率Q是待求量。在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点的有功功率P不能给定，这个节点承担了系统的有功功率平衡，故称之为平衡节点。另外必须选定一个节点，指定其电压相角为零，作为计算各节点电压相角的参考，这个节点称为基准节点，基准节点的电压幅值也是给定的。为了计算上的方便，常将平衡节点和基准节点选为同一个节点，习惯上称之为平衡节点。第二节

潮流计算的数学模型二、节点功率方程第二节

潮流计算的数学模型采用直角坐标时，节点电压可表示为采用极坐标时，节点电压可表示为牛顿法等潮流算法所采用的主要数学模型第二节

潮流计算的数学模型三、潮流计算的约束条件(1)所有节点电压幅值必须满足技术上和经济上的要求，这些要求构成了潮流问题中某些变量的约束条件(2)所有电源节点的有功功率和无功功率必须满足(3)某些节点之间的电压相角差满足对PQ节点而言如电压不能超出额定电压的＋5％～－7％。这主要由暂态分析中系统运行稳定性来确定。对没有电源的节点：Pgi=0；Qgi=0。在系统运行和安全控制的计算中同样适用PV节点的Q应按此条件进行检验3牛顿－拉夫逊法

牛顿－拉夫逊法是目前求解潮流方程最成功的一种方法，它不仅在多数情况下没有发散的危险，而且较前两种方法收敛得快，因而可以大大地节省计算时间。牛顿－拉夫逊法的实质是将非线性方程的求解过程转化成相应线性方程的求解过程，即通常称为逐次线性化过程。

为了便于理解牛顿法的基本概念，我们先从一维非线性方程来阐明它的定义和推导过程，然后将其推广到一般n维的情形。

设一维非线性方程为：f(x)=0

我们的任务是求得x，使其满足上述方程。

设其解的初值为x(0),这与真正的解之间肯定有误差。若能找到这一差值

x(0)，并将其加到初值x(0)上，使其等于真正的解。

x=x(0)+x(0)

则x一定能满足方程，即f(x)=f(x(0)+x(0))=0。下面将上式在x(0)附近展开成泰勒级数：下面要进行近似，即线性化。若x(0)与真正解较接近，则x(0)很小，那么泰勒展开式中x(0)的二次项及高次项可略去不计，即由修正方程很容易求得。但是由于修正方程是略去了高次项的简化式，因而求得的修正量

是近似值。修正量与初始值x(0)之和不是真正解，但它已向真正解逼近了一步。即x(1)＝x(0)＋x(0)

再以x(1)作为初始值，代入修正方程求得修正量x(1)，然后再对初始值进行修正，即

x(2)＝x(1)＋x(1)x(2)比x(1)更接近于真正解。这样继续下去直到第k次迭代，这时修正方程式为

若x(k)是第k次迭代的近似解，可看作是近似解x(k)引起的误差。当

趋于0时，x(k)成为非线性方程的真正解，此时迭代终止。

这就是一维非线性方程用牛顿法解的全过程。下面用图形说明牛顿法的几何意义。

函数f(x)在x(k)点的一阶导数就是x(k)点处曲线f(x)切线的斜率。牛顿法的几何意义：选一初始值x(k)，在x(k)点作曲线f(x)的切线与横坐标交于x(k+1)，在x(k+1)点再作切线得到x(k+2)，以次类推。因此牛顿法也叫切线法。

从牛顿法的解算过程发现，如果初值选得不当，牛顿法有可能不收敛。这是牛顿法的缺点。但在电力系统潮流计算时，一般变量变化不大，即求解的变量的范围是知道的（角度不知道）。如电压标幺值在“1”附近，因此设初值为“1”，这就避免了牛顿法的缺陷。例：6.3.6牛顿－拉夫逊法潮流计算

关于牛顿－拉夫逊法的一般概念，前面已详细作了介绍。现在应用它来计算电力系统潮流，只需把节点功率方程改变成为修正方程的形式，即可进行迭代计算。节点电压方程：令1直角坐标形式的修正方程式代入式中：ΔP，Δf，Δe为(n-1)×1向量，ΔQ为(m-1)×1向量，ΔU2为(n-m)×1向量；H、N为(n-1)×(n-1)矩阵，J、L为(m-1)×(n-1)矩阵；R、S为(n-m)×(n-1)矩阵修正量：2极坐标形式的修正方程式节点电压表示为

n-1-m个PV节点的电压幅值平衡节点的和也是给定的

给定的：待求变量:n-1个节点的电压相角和m个PQ节点的电压幅值。

PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功率不平衡方程式2极坐标形式的修正方程式节点电压表示为

一个PQ节点还可以再列一个无功功率不平衡方程式为一共包含了n-1+m个方程式，比直角坐标系的方程式少了n-1-m个。式（2-29）和式（2-30），可以写出如下的修正方程式2极坐标形式的修正方程式H是（n-1）×（n-1）阶方阵N是（n-1）×m阶矩阵M是m×（n-1）阶矩阵L是m×m阶方阵得到雅克比矩阵元素的表达式2极坐标形式的修正方程式当

时当i=j时从以上表达式不难得出雅可比矩阵有以下特点：2极坐标形式的修正方程式（1）直角坐标形式和极坐标形式修正方程式的数目分别为2（n-1）及n-1+m个，极坐标形式的方程式少了n-1-m（PV节点数）个。在PV节点所占比例不大时，两者的方程式数目基本接近2（n-1）个。（2）雅可比矩阵中的各元素都是节点电压的函数，因此在迭代过程中，它们将随各节点电压的变化而不断改变；（3）雅可比矩阵是非常稀疏的矩阵；

若Yij=Gij+jBij=0（节点i与j无直接联系），则其对应元素Hij,Nij,Jij,Lij也为零。因此矩阵是非常稀疏的。修正方程的求解同样可以应用稀疏矩阵的求解技巧。正是由于这一点才使牛－拉法获得广泛的应用。（4）雅可比矩阵是不对称的；（5）雅可比矩阵与导纳矩阵有相同的结构（从稀疏性方面）；---节点导纳矩阵具有相同稀疏结构的分块雅克比矩阵在位置上对称。

三．修正方程式的处理和求解1.修正方程式的处理技巧20世纪50年代末牛顿法潮流的雏形迭代法求解修正方程式迭代法本身不收敛的问题高斯消去法等直接法求解修正方程式的数目在2(n-1)左右增加N倍存储雅可比矩阵的内存量将正比于N2倍计算量将正比于N3倍地增长雅可比矩阵高度稀疏的特点著名的最优顺序消去法20世纪60年代中期以后被普遍采用实用的牛顿法潮流程序主要有以下3个方面的特点：(1)“压缩”存储。对于稀疏矩阵，在计算机中以“压缩’’方式只储存其非零元素，且只有非零元素才参加运算。(2)修正方程式的求解采取边形成、边消元、边存储的方式。(3)节点编号优化(消元的最优顺序)。经过消元运算得到的上三角矩阵一般仍是稀疏矩阵，但由于消元过程中在原来是零元素的位置上有新元素注入，使得它的稀疏度比原来雅可比矩阵的上三角有所降低。三．修正方程式的处理和求解1.修正方程式的处理技巧节点编号优化通常有3种方法。1)静态法--按各节点静态连接支路数的多少顺序编号；2)半动态法--按各节点动态连接支路数的多少顺序编号；3)动态法--按各节点动态增加支路数的多少顺序编号。3种节点编号优化方法，动态法效果最好，但优化本身所需计算量也最多，而静态法则反之。对于牛顿法潮流计算来说，一般采用半动态法。三．修正方程式的处理和求解1.修正方程式的处理技巧步骤：(1)、形成导纳矩阵；(2)、设置各节点电压初始值(3)、代入功率与电压方程求出各节点功率与电压的偏移量(4)、求雅可比矩阵各元素；(5)、求出各节点电压的修正量(6)、求新的电压初始值三．修正方程式的处理和求解2．牛顿法的求解过程(7)、用新的初始值代入，重新计算各节点功率和电压偏移量(8)、判断计算是否收敛？若不收敛返回到（4）重新迭代，若 收敛，转（9）(9)、计算线路功率以及平衡节点功率，打印结果。在进行第k+1次迭代时，其计算步骤如下(以直角坐标形式为例)。(1)根据第k次迭代算出的节点电压值(当k=0时即为给定的初值)计算各类节点的不平衡量(2)按条件式(2-21)校验收敛，即如果收敛，迭代到此结束，转入计算线路潮流和平衡节点的功率，并输出计算结果；不收敛则继续第(3)步计算。(3)利用式(2-27)和式(2-28)计算雅可比矩阵元素。(4)解修正方程式(2-26)，求节点电压的修正量(5)修正各节点电压(6)迭代次数加1，返回第(1)步继续迭代过程。四、牛顿潮流算法的性能分析牛顿潮流算法突出的优点是收敛速度快，若初值选择较好，算法将具有平方收敛特性，一般迭代4～5次便可以收敛到一个非常精确的解，而且其迭代次数与所计算的网络规模基本无关。牛顿法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值，如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的解点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点问的相角差也不大【例6-4】系统中各元件参数与例6-3相同（但节点按照PQ节点、PV节点、平衡节点的次序进行编号，以便于与公式相对应，故节点的编号与例6-3不同）。取节点1为PQ节点（联络节点），节点2为PQ节点，节点3为PV节点，节点4为平衡节点。试用直角坐标形式的牛顿拉夫逊法计算系统的潮流分布。【解】计算导纳矩阵。对应于图中的节点编号，导纳矩阵为（2）给定节点电压初值(3)置，计算功率不平衡量(4)形成修正方程式。雅可比矩阵的形式为经计算得修正方程式为(5)求解修正方程，得(6)进行修正，得(7)置,用，，，，，代替，，，，，进行迭代，得修正方程式对修正方程进行求解并进行修正后，得（8）继续迭代。经4次迭代后收敛，允许误差为。

电压最终结果转化为极坐标形式，最终潮流分布见下图。第四节P-Q分解法潮流计算

一、P-Q分解法的基本原理

随着电力系统规模的日益扩大以及在线计算要求的提出，为了改进牛顿法在内存占用量及计算速度方面的不足，人们开始注意到电力系统有功及无功潮流间仅存在较弱联系的这一固有物理特性，于是产生了一类具有有功、无功解耦迭代计算特点的算法，即P-Q分解法。P-Q分解法是从极坐标形式的牛顿潮流算法基础上简化而来的，下面分析其简化过程。

极坐标形式的牛顿潮流算法的修正方程为[见式(2-31)]

在交流高压电网中，输电线路等元件的电抗要比电阻大得多，因此电力系统呈现了这样的物理特性，即有功功率的变化主要取决于电压相角的变化，而无功功率的变化则主要取决于电压幅值的变化。这个特性反映在修正方程式雅可比矩阵的元素上，是N及M两个子块元素的数值相对于H和L两个子块的元素要小得多。作为简化的第一步，可以将N及M略去不计，于是得到如下两个已经解耦的方程组

这一简化将原来n-1+m阶的方程式(2-36)分解为一个n-1阶和一个m阶的方程，大大节省了内存需求量和求解时间，但是矩阵H和L的元素仍然是节点电压的函数且不对称。

算法最关键的一步简化就在于把系数矩阵H和L简化成常数对称矩阵。其根据如下：(1)一般情况下，线路两端电压的相角差不大(不超过10º～20º)，因此可以认为(2)与系统各节点无功功率相对应的导纳

通常远小于该节点自导纳的虚部

。即

计及式(2-39)和式(2-40)的关系，矩阵H和L各元素的表达式可简化成于是系数矩阵H和L可表示成式中：v是由各节点电压幅值组成的对角阵。由于PV节点的存在，

及

的阶数不同，分别为n-1阶和m阶。

将式(2-43)代人式(2-37)、式(2-38)并加以整理，可得P-Q分解法的修正方程式为通过这一步简化，修正方程式中的系数矩阵

及

由节点导纳矩阵的虚部构成，从而是常数对称矩阵。其区别只是阶数不同，矩阵

为n-1阶，不含平衡节点对应行和列，矩阵

为m阶，不含平衡节点和PV节点所对应的行和列。但在实际P-Q分解法程序中，为了提高收敛速度，

对

及

的构成作了下面一些修改：(1)在

中尽量去掉那些对有功功率及电压相角影响较小的因素，如略去变压器非标准电压比和输电线路充电电容的影响；在

中尽量去掉那些对无功功率及电压幅值影响较小的因素，如略去输电线路电阻的影响。(2)为了减少在迭代过程中无功功率及节点电压幅值对有功迭代的影响，将式(2-44)右端V的各元素均置为标幺值1.0，也即令V为单位矩阵。(3)当潮流程序要求考虑负荷静态特性时，

中对角元素除导纳矩阵对角元素的虚部以外，还要附加反映负荷静态特性的部分，而

中各元素和潮流程序是否考虑负荷静态特性无关(见第五节)。

于是，目前通用的P-Q分解法的修正方程式可写成

。

其中

及

的非对角元素和对角元素分别按下式计算式中：Rij和Xij分别为支路i-j的电阻和电抗；bi0为节点i的接地支路的电纳。

按式(2-48)和式(2-49)形成

及

的P-Q分解法通常称为BX法，如果在形成

时不计元件电阻，仅用其电抗值(X)，而在形成

时采用精确的电纳值(B)，则得到另一种算法，称为XB法。这两种方法的修正方程式虽然不同，但都具有良好的收敛特性。二、P-Q分解法的特点和性能分析1．P-Q分解法修正方程式的特点P-Q分解法与牛顿法潮流程序的主要差别表现在它们的修正方程式上。P-Q分解法的修正方程式(2-44)和式(2-45)与牛顿法修正方程式(2-36)相比，有以下3个特点：(1)用一个n-1阶和一个m阶的线性方程组代替了牛顿法的n-1+m阶线性方程组，显著地减少了内存需求量及计算量。(2)系数矩阵

及

为常数矩阵。因此，不必像牛顿法那样每次迭代都要形成雅可比矩阵并进行三角分解，只需要在进入迭代过程以前一次形成雅可比矩阵并进行三角分解形成因子表，然后反复利用因子表对不同的常数项△P／V或△Q／V进行消去回代运算，就可以迅速求得修正量，从而显著提高了迭代速度。(3)系数矩阵

及

键对称矩阵。因此，只需要形成并贮存因子表的上三角或下三角部分，这样又减少了三角分解的计算量并节约了内存。

由于上述特点，P-Q分解法所需的内存量约为牛顿法的60％，而每次迭代所需时间约为牛顿法的1／5。2．P-Q分解法的收敛特性P-Q分解法所采取的一系列简化假定只影响了修正方程式的结构，也就是说只影响了迭代过程，并不影响最终结果。因为P-Q分解法和牛顿法都采用相同的数学模型式(2-10)，最后计算功率误差和判断收敛条件都是严格按照精确公式进行的，所以P-Q分解法和牛顿法一样可以达到很高的精度。P-Q分解法改变了牛顿法迭代公式的结构，就改变了迭代过程的收敛特性。事实上，以一个不变的系数矩阵进行非线性方程组的迭代求解，在数学上属于“等斜率法”，其迭代过程是按几何级数收敛的，若画在对数坐标系上，这种收敛特性基本上接近一条直线。而牛顿法是按平方收敛的，在对数坐标纸上基本上是一条抛物线，如图2-3所示。

由图2-3可以看出，牛顿法在开始时收敛得比较慢，当收敛到一定程度后，它的收敛速度就非常快，而P-Q分解法几乎是按同一速度收敛的。如果给出的收敛条件小于图中A点相应的误差，那么P-Q分解法所需要的迭代次数要比牛顿法多几次。可以粗略地认为P-Q分解法的迭代次数与精度的要求之间存在着线性关系。

表2-1给出了对IEEE的几个标准测试系统进行潮流计算的收敛情况。大量计算表明，BX法与XB法在收敛性方面没有显著差别，这两种算法均有很好的收敛性，凡是牛顿法可以收敛的潮流问题，它们也可以收敛。

虽然P-Q分解法比牛顿法所需的迭代次数要多，但每次迭代的计算量却要小很多。因此P-Q分解法的计算速度比牛顿法有明显提高。例如，对IEEE118节点电力系统而言，用P-Q分解法计算一次潮流需要的CPU时间大约为0.01s，而用牛顿法则需0.1s。目前P-Q分解法不仅大量地用在规划设计等离线计算的场合，也已经广泛地应用在安全分析等在线计算中，它是目前计算速度最快的交流潮流算法。P-Q分解法的程序原理框图P-Q分解法潮流计算的原理框图如图2-4所示。图中，KP、KQ分别为有功和无功迭代收敛标志。当有功功率迭代收敛时KP=0，不收敛时KP=1；当无功功率迭代收敛时KQ=0，不收敛时KQ=1。

ε为收敛精度。max|ΔPi(k)|和

max|ΔQi(k)|分别为第k次迭代的最大有功功率误差和无功功率误差绝对值。4．元件R／X大比值的病态问题

由于P-Q分解法修正方程式是建立在元件RX以及线路两端电压相角差比较小等简化假设基础之上的，因此，当系统参数不符合这些简化条件时，就会影响它的收敛性。而其中又以出现元件R／X大比值的机会最多，例如低电压网络、某些电缆线路、三绕组变压器的等值电路以及通过某些等值方法所得到的等值网络等均会出现大部分或个别支路R／X比值偏高的问题。R／X大比值病态问题已成为P-Q分解法应用中的一个最大障碍，目前，解决这个问题的途径主要有两种：一种是算法方面进行改进，如文献[28]提出的鲁棒快速分解潮流算法；另一种是对R／X大比值支路的参数进行补偿。下面主要介绍参数补偿的方法。(1)串联补偿法。这种方法的原理由图2-5是显而易见的，其中m为增加的虚拟节点，一jXc为新增的补偿电容。Xc的数值应使i-m支路满足(X+Xc)>>R的条件。这种方法的缺点是如果原来支路的R／X比值非常大，从而使Xc的值选得过大时，新增节点m的电压值有可能偏离节点i及节点j的电压很多，从而这种不正常的电压本身将导致潮流计算收敛缓慢，甚至不能收敛。(2)并联补偿法。如图2-6所示，经过补偿的支路i-j的等值导纳为

即仍等于原来支路i-j的导纳值。

并联补偿新增节点m的电压

不论Bf的取值大小都始终介于支路i-j两端点的电压之间，不会产生病态的电压现象，从而克服了串联补偿法的缺点。前已提到，在构成快速解耦法B’的元素时应不计串联元件的电阻(R)，仅用其电抗值(X)，而在形成B”的元素时则仍用精确的电纳值(B),称为XB方案。与此相对应，组成快速解耦法应该还有BX方案，BB方案和XX方案。在不同的试验网络上所进行的大量计算实践表明，这些方案在处理大R／X比值问题上的能力以BB方案最差，XX方案稍好，但不如XB及BX方案。后两种方案在计算一些IEEE典型试验网络时所需的迭代次数，如表1-1所示。BX方案占有明显的优势。为了解决大R／X比值病态问题，以上所述对元件参数补偿以及对算法进行改进二种途径各有利弊。使用补偿法要增加一个节点，当网络中大R／X比值的元件数很多时将使计算网络的节点数增加很多。而采用改进算法就不存在这个问题。但目前已提出的一些改进算法并没有做到完全免除对元件R／X比值的敏感性。当某个元件的R／X比值特别高时，这些算法所需的迭代次数仍将急剧上升或甚至发散。这种情况下对这些元件采用补偿方法可能是一种好的选择。第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑由于各节点负荷的组成成分及特性千差万别，要精确地写出各节点负荷的负荷--电压特性表达式是困难的，因此，在潮流程序中考虑负荷静特性时，一般采用把负荷功率当作该点电压的线性函数和非线性函数两种方法，现分别叙述如下。（1）把负荷功率当作该点电压的线性函数，即把各节点负荷的变化量看作与相应节点电压的增量成比例，如式(2-51)所示.第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑因此，在潮流计算中，各节点在时刻t应维持的负荷功率应不断按下式进行计算第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑其余元素的表达式与第三节讲述的完全一样。第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑一般可以近似认为这就是Q～V迭代时，修正方程式系数矩阵中与负荷节点有关的对角元素的表达式，系数矩阵中其他元素不变。

由以上讨论可知，当在牛顿法或P-Q分解法潮流程序中考虑负荷静特性时，不仅要按式(2-53)计算功率误差，而且修正方程式系数矩阵中有关元素也应分别按照式(2-54)、式(2-55)或式(2-57)进行计算。计算经验表明，考虑负荷静特性有助于提高整个潮流计算的收敛性。第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑(2)把负荷功率当作该点电压的非线性函数。一般把负荷功率用电压的二次多项式来表示，如式(2-58)所示这种负荷静特性的表示方法实际上相当于把系统各节点的负荷看成由恒定阻抗、恒定电流及恒定功率3部分组成，它比第一种方法更能在较大的电压波动范围内精确地描述负荷特性，不仅可用于潮流计算，也广泛地应用于电力糸统暂态稳定及静态稳定计算甲。第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑对于牛顿法和P-Q分解法来说，当考虑负荷静特性时显然应按照下式计算各节点功率误差雅可比矩阵中有关元素的表达式应改为第五节潮流计算中负荷静态特性的考虑如果在上述负荷模型中去掉恒定电流部分，负荷静特性可以表示为于是考虑负荷静特性的程序可以得到简化，计算速度也可以提高。因为在这种情况下，在形成阻抗矩阵或导纳矩阵时，可以把负荷的恒定阻抗部分以接地支路的形式并入电网之中，从而使程序可以只考虑负荷的恒定功率部分，这样和原来不考虑负荷静特性的程序就没有什么区别了。

设将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组

fi(x)=gi(x)-bi=0(i=1,2,…,n)或

f(x)=0式中：x为待求变量组成的n维向量，x=[x1,x2,…,xn]Tbi为给定的常量可以构造标量函数为一.非线性规划潮流算法的数学模型第六节保留非线性潮流算法牛顿法求解非线性潮流方程时采用了逐次线性化的方法。70年代后期，人们开始研究这样的问题，即如果采用更加精确的数学模型，将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，也许会进一步提高算法的收敛性能及计算速度，于是便产生了一类称之为保留非线性的潮流算法。又因为其中大部算法主要包括了泰勒级数的前三项即取到泰勒级数的二阶项，所以也称为二阶潮流算法，实现这种想法的第一个尝试是在极坐标形式的牛顿法修正方程式中增加了泰勒级数的二阶项，所得到的算法对收敛性能略有改善，但计算速度无显著提高。后来，参考文献（岩本伸一及田村康男）根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程组的这一特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法，在速度上比牛顿法有较多的提高，引起了广泛的重视。在此以后，又出现了一些计入非线性的其它潮流算法。这些算法除了作为常规的潮流计算工具之外，也已经在状态估计、最优潮流等其它计算中得到应用。一、保留非线性快速潮流算法采用直角坐标形式的潮流方程为该潮流问题实际上就是求解一个不含变量一次项的二次代数方程组。对这样的方程组用泰勒级数展开，则二阶项系数已是常数，没有二阶以上的高阶项，所以泰勒级数只要取三项就能够得到一个没有截断误差的精确展开式。因此从理论上，假若能够从这个展开式设法求得变量的修正量，并将它对估计初值加以修正，则只要一步就可求得方程组的解。而牛顿法由于线性近似，略去了高阶项，因此用每次迭代所求得的修正量对上一次的估计值加以改进后;仅是向真值接近了一步而已。（一）数学模型表达我们先定义为n

维函数给定值相量x为n

维未知变量相量一个具有n个变量的齐次二次代数方程式的普遍形式为:2-65于是潮流方程组就可以写成如下的矩阵形式或式中系数矩阵为对上式在初值x（0）附近展开，可得到如下没有截断误差的精确展开式于是与上式对应的精确的泰勒展开式为2-70式中为修正量相量H是一个常数矩阵，其阶数很高，但高度稀疏。注意若式(2-70)中略去第三项，就成为通常的牛顿法的展开式。证明如下=式(2-75)的第二项和第三项之和。所以式(2-75)的第二项加上第三项就和式(2-70)的第二项相等。=研究表明可以进一步将式(2-70)改写为上式的推出促成了本算法的突破，因为可以非常方便地计算二阶项。值得顺便指出的是，该式是一个很重要的关系式，在研究其它算法时将多次引用。（二）数值计算迭代公式上式是一个以作为变量的二次代数方程组，从一定的初值x（0）出发，求解满足该式的仍然要采用迭代的方法。上式可改写成：于是算法的具体迭代公式为：k表示迭代次数；J为按x=x(0)估计得到；在进行第一次迭代时，k=0,令，于是和牛顿法的第一次迭代计算完全相同。算法的收敛判据为算法的收敛判据为也可以采用相继二次迭代的二阶项之差，作为收敛判据，即(四)算法特点及性能估计保留非线性快速潮流算法的特点可以通过和牛顿法进行比较而得以揭示。设求解的方程是，则牛顿法的迭代公式是此算法的迭代公式是图2-8表示了两种算法的迭代过程。由两组公式可见，与牛顿法的在迭代过程中变化的雅可比矩阵不同，保留非线性快速潮流算法采用的是用初值x（0）计算而得的恒定雅可比矩阵，整个计算过程只需一次形成，并三角分解构成因子表。就每一次迭代所需的计算量而言，牛顿法要重新计算y(x(k))，而保留非线性快速潮流算法则要计算y(△x(k))，由于计算函数式完全相同，仅变量不同、所以这部分的计算量是完全相同的，但由于保留非线性快速潮流算法不需重新形成雅可比矩阵并三角分解，所以每次迭代所需时间可以大大节省。两种算法的△x的含义是不同的。牛顿法的△x(k)是相对于上一次迭代所得到的迭代点x(k)的修正量；而保留非线性快速潮流算法的△x(k)则是相对于始终不变的初始估计值x(0)的修正量。图2-8中AA1：对应于y(x(0))-ys)，A1A2、A1A3、…、A1An对应于逐次迭代中变化着的二阶项y(△x)；逐次迭代就对应于求解一系列相似三角形，平行的斜边说明用的是和第一次迭代同样的恒定不变的雅可比矩阵。保留非线性快速潮流算法达到收敛所需的迭代次数比牛顿法要多，在半对数坐标纸上收敛特性近似为一条直线。但由于每次迭代所需的计算量比牛顿法节省很多，所以总的计算速度比牛顿法可提高很多。由于不具对称性质的雅可比矩阵经三角分解后，其上下三角元素都需要保存,和牛顿法的仅需保存上三角元素相比较，此算法所需的矩阵存储量将较后者要增加35％-40％时间内存另外，由于利用以初始值计算得到的恒定雅可比矩阵进行迭代，初始值的选择对保留非线性快速潮流算法的收敛特性有很大影响。后来，人们还将这个算法加以推广，使之能够适用于任意坐标形式的、并且对f(x)的数学性质也没有限制的普遍情况，推导出了相应的具有更广泛意义的通用迭代公式。(五)与定雅可比牛顿法的关系定雅可比牛顿法是经典的牛顿法的一种简化形式，即用恒定不变的由变量初始值计算得到的雅可比矩阵进行整个迭代过程的计算。学者证明，这类保留非线性潮流算法和定雅可比牛顿法之间有完全等同的关系。第七节非线性规划潮流算法上述讨论均把LF问题归结为求解一个非线性代数方程组，通过与电力系统固有物理特性相结合，提出了多种求解该方程组的有效算法。在实际计算中，对于一些病态系统(如重负荷系统、放射结构网络以及具有邻近多根运行条件的系统等)，却往往会出现计算过程的振荡或甚至不收敛。在这种情况下，人们往往很难判定这些现象出现的原因究竟是由于潮流算法本身不够完善而致计算失败，还是从一定的初值出发，在给定的条件下，从数学上讲，非线性的潮流方程组本来就是无解的(或者无实数解)。60年代末，有学者相继提出了潮流计算问题在数学上也可以表示为求某一个由潮流方程构成的函数(称为目标函数)的最小值问题，并以此来代替代数方程组的直接求解。这就形成了一种采用数学规划或最小化技术的、和前面介绍的各种算法在原理上完全不同的方法，并称之为非线性规划潮流算法。用这种方法计算潮流的一个显著特点是从原理上保证了计算过程永远不会发散。只要在给定的运行条件下，潮流问题有解，则上述的目标函数最小值就迅速趋近于零；如果从某一个初值出发，潮流问题不存在解，则目标函数就先是逐渐减小，但最后却停留在某一个不为零的正值上。这便有效地解决了病态电力系统的潮流计算并为给定条件下潮流问题的有解与无解提供了一个明确的判断途径。

在早期提出的完全应用数学规划方法的LF法在内存需要量和计算速度方面都无法和常规LF竞争。后来，学者们将数学规划原理和常规的牛顿LF算法有机地结合起来，形成了一种新的潮流计算方法——带有最优乘子的牛顿算法，通常简称为最优乘子法。这种算法能有效地解决病态电力系统的潮流计算问题，并已得到广泛使用。

设将潮流计算问题概括为求解如下的非线性代数方程组

fi(x)=gi(x)-bi=0(i=1,2,…,n)或

f(x)=0式中：x为待求变量组成的n维向量，x=[x1,x2,…,xn]Tbi为给定的常量可以构造标量函数为一.非线性规划潮流算法的数学模型若潮流方程（非线性代数方程组）的解存在，则以平方和形式出现的标量函数F(x)的最小值应该成为零。若此最小值不能成为零时，则说明不存在能满足原方程组的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求x*=[x1*,

x2*,…,xn*]T，从而使F(x*)=min的问题。这里记能使F(x)=min的x为x*。于是，最小化方法就可以用于电力系统潮流问题的求解，从而可将潮流计算问题归为如下的非线性规划问题minF(x*)和非线性规划的标准形式相比，这里没有附加的约束条件，因此在数学规划中属于无约束非线性规划的范畴。若潮流方程（非线性代数方程组）的解存在，则以平方和形式出现的标量函数F(x)的最小值应该成为零。若此最小值不能成为零时，则说明不存在能满足原方程组的解。这样，就把原来的解代数方程组的问题转化为求x*=[x1*,

x2*,…,xn*]T，从而使F(x*)=min的问题。这里记能使F(x)=min的x为x*。于是，最小化方法就可以用于电力系统潮流问题的求解，从而可将潮流计算问题归为如下的非线性规划问题minF(x*)和非线性规划的标准形式相比，这里没有附加的约束条件，因此在数学规划中属于无约束非线性规划的范畴。要求出目标函数F(x)的极小点，按照数学规划的方法，通常由下述步骤组成(设k为迭代次数)：(1)确定一个初始估计值x(0)(2)置k=0；(3)从x(k)出发，按照能使目标函数下降的原则，确定一个搜索或寻优方向x(k)；二.非线性规划潮流算法的计算过程

(4)沿着x(k)的方向确定能使目标函数下降得最多的一个点，也就是决定移动的步长。由此得到了一个新的迭代点：

x(k+1)=x(k)+m(k)x(k)式中为步长因子，其数值的选择应使目标函数下降最多，用算式表示，即为

F(k+1)=F(x(k+1))

=F(x(k)+m*(k)x(k)) =minF(x(k)+m(k)x(k))这个式子的含义是当x(k)决定以后，F(k+l)已是步长因子m(k)的一个一元函数。m*(k)称为最优步长因子，可通过求F对m的极值而得。

(5)校验F(x(k+1))

<e

是否成立。如成立，则x(k+1)就是所要求的解；否则，令k=k+1，转向步骤(3)，重复循环计算。如图表示应用上述步骤求目标函数最小值的过程，这里假设变量向量是二维的，其中标有F(k+1)＝定值的曲线族为等高线族，要求的极小点就是F(k)＝0.0的点。由上可见，为了求得问题的解，关键要解决两个问题：确定第k次迭代的搜索方向x(k)

；(2)确定第k次迭代的最优步长因子m*(k)

。利用常规牛顿潮流算法每次迭代所求出的修正量向量 x(k)=-J(x(k))-1

f(x(k))作为搜索方向，并称之为目标函数在x(k)处的牛顿方向。对一定的x(k)，目标函数F(k+1)是步长因子m

(k)的一个一元函数

F(k+1)=F(x(k)+m(k)x(k))=(m(k))三.带有最优乘子的牛顿潮流算法现在的关键问题是如何写出这个一元函数的解析表示式(m(k))。如果有了这样的式子，则m*(k)可以很容易地通过下式而求得:由式(2-73)，采用直角坐标的潮流方程的泰