第五章7振动力学

简谐振动的合成·同方向同频率的简谐振动的合成·同方向不同频率的简谐振动的合成·相互垂直的同频率的简谐振动的合成·相互垂直的不同频率的简谐振动的合成一、同方向同频率的简谐振动的合成分振动：一物体同时参与两个在同一直线上的同频率的简谐振动，其表达式为x1=A1cos(wt+j1)x2=A2cos(wt+j2)合振动：x

=x1+x2x

=

A1

cos(wt

+j1

)

+

A2

cos(wt

+j2

)=

(

A1

cosj1

+

A2

cosj2

)

coswt

-(

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2

)

sin

wt令A

cosj

=A1

cosj1

+A2

cosj2Asin

j

=

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2注意：A与A1,A2及j2－j1都有关。x

=

A

cosj

coswt

-

Asinj

sinwt=

A

cos(w

t

+j)A

=

A2

+

A2

+

2

A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2

2

1tgj

=

A1

sinj1

+

A2

sinj2A1

cosj1

+

A2

cosj2同方向同频率的简谐振动的合振动必然是简谐振动，其角频率仍为w1A1j2j·A，j

可由旋转矢量法导出，这比用解析法方便。t=0时合成振动如右图所示A2当A1、A2同时以ω的角速度转动时，A同样以ω的角速度转动。得合成运动为X=Acos(ωt+

j)1AA21jj2由矢量合成的平行四边形法则：12A

=

A2

+

A2

+

2A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2tgj

=

y1

+

y2A1

cosj1

+

A2

cosj2x1

+

x2=

A1

sin

j1

+

A2

sin

j2显然合成振动的振幅不仅与A1、A2有关，也与φ1、φ2有关。如再有A1=A2，则A

=0。此情形下，“振动加振动等于不振动”。A2AA1A1A2A·其它情况下：│A1-A2│

<A

<│A1+A2│3.两种特殊情况(讨论振幅A）若两分振动同相，j2

-j1

=–2kp，则A=A1+A2，两分振动相互加强。若两分振动反相，j2

-j1=–(2k+1)p,则A

=|A1

-A2|，两分振动相互减弱。(以上k

=0,1,2,……)A2A1AA

=

A2

+

A2

+

2

A

A

cos(j

-j

)1

2

1

2

2

1tgj

=

A1

sinj1

+

A2

sinj24

cos

0

+

2

cosp

/

3=

4

sin

0

+

2

sin

p

/

3例：求两同方向、同频率谐振动X1=4cos(3t)、X2=2cos(3t+π/3)的合成谐振动方程。解：合成后w

不变，X=Acos(3t+φ)A1=4、A2=2

、φ1=0

、φ2

=π/3A

=

A

2

+

A

2

+

2

A

A

cos(

j

-

j

)1

2

1

2

2

1=

42

+

22

+

2

·

4

·

2

·

cos(p

/

3

-

0)

=

2

753=A1

cosj1

+

A2

cosj2合振动方程x

=

2 7

cos(3t

+

0.33)例、两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：2Ax

=

6

·10-2

cos(5t

+

p

)

(SI

)Bx

=

2

·10-2

sin(p

-

5t)

(SI

)则它们的合振动的振幅及初位相为：p(

A)

0.04m,

3p

;2(B)

0.04m,

;2pp2

2; (

D)

0.08m,

-（B）2Bsin(

p

-

5t

)

=

sin

5t

=

cos(

5t

-p

/

2

)px

=

2

·10-2

cos(5t

-

)

(SI

)oxAA0AB

02=

p合=

0.04m

,

j由图知:

A合(C)

0.08m,解：例、图中所画的是两个简谐振动曲线，若这两个谐振动是可迭加的，则合成的余弦振动的初相为：oxt1xx2(B)

p

, (

C)

p

,

(D)3p2

2(

A)

0

,A10

>

A20j合=p（C）oxA10A20解：两振动反相例题

三个谐振动方程分别为3x

=

A

cos(

w

t

+

11p

)21x

=

A

cos(

w

t

+

p

)6

62x

=

A

cos(

w

t

+

7p

)画出它们的旋转矢量图。并在同一x-t坐标上画出振动曲线。写出合振动方程。x3x1x3

x2

x1x2合振动方程X=0OA3aaN

PM

C

RNd

dx1

(t)

=

a

coswtx2

(t)

=

a

cos(wt

+d)x3

(t)

=

a

cos(wt

+

2d)xN

(t)

=

a

cos[wt

+(N

-1)d]

a1A

=

2R

sin(

Nd

/

2)a

=

2R

sin(d

/

2)在DOCP中：·

同方向的N个同频率简谐振动的合成设它们的振幅相等，初相位依次差一个恒量。其表达式为：x

=

A

cos(wt

+j

)合成后仍为谐振动。A

=

a

sin(Nd

/

2)sind

/

2—

COM

=

(p

-

Nd)

/

2—

COP

=

(p

-d)

/

2j

=

—

COP

-

—

COM

=

N

-1d上两式相除得2sin(d

/

2)=

a

sin(Nd

/

2)

cos(wt

+

N

-1d)2所以，合振动的表达式x(t)

=

A

cos(w

t

+j

)Oa1A3aaN

PM

C

RNddk

=

0,–1,–2,讨论1：当d

=2kpA

=lima

sin(Nd

/

2)

=

Nak

=1,2,N

-1,N

+1,即：Nd

=2k

p这时各分振动矢量依次相接，构成闭合的正多边形，合振动的振幅为零。以上讨论的多个分振动的合成在说明光的干涉和衍射规律时有重要的应用。sin(d

/

2)即各分振动同相位时，合振动的振幅最大。讨论2：

当d

=

2k'p

/

N

且

k'

„

kNA

=

a

=

0sin(

k

'p

/

N

)sin(

k

'p

)重要的特例:可得A

=

na(k

=

0,–1,–2)各分振动同相d

=

2k

π各分振动的初相差为n2k

,

πd

=（

k

,为

不

等

于

nk

的整数)封闭多边形!可得A

=0例.n=4

时k

,

=

(0),–1,–2,–3,

(–4),–5,–6,–7k¢=1k¢=3k¢=2二.同方向不同频率的简谐振动的合成2.合振动：x2

=

A2

cos(w

2

t

+f2

)1.分振动：设为x1

=

A1

cos(w

1

t

+f1

)x(t)

=

x1

+

x2

=

A1

cos(w1t

+j1

)

+

A2

cos(w

2t

+j2

)同方向不同频率的简谐振动合振动不是简谐振动。当两个分振动的振幅相等而且在两个分振动矢量重合的时刻开始计时，x1

=

Acos(w1t

+j)x2

=

Acos(w

2t

+j)w

+wt

+j2t

cos212=

2

A

cos

w

2

-w1合成也是非简谐振动：x

=

x1

+

x2w

-w(w

t

+j112t

cos2x

=

2A

cos随t缓变 随t快变若w1，w2

均较大，而差值较小，w

1

»

w

2

>>|

w

1

-w

2

|上式变为

t2A'

=

2

Acos12w

-w令合振动的˝振幅˝时而大（为2A），时而小（为0）。这时振动方程可以看成是被

A’ 调制的振动，是振幅有周期性变化的“简谐振动”。这种两个频率都较大但是相差又很小、同方向简谐振动合成时，合振动有忽强忽弱的现象，称为“拍”。单位时间内振动加强（或减弱）的次数叫拍频。v拍=|

v1

-v2

|·拍tx1n2=6x2n1=7txt拍频n

=‰n

1

-n2

‰（可测频，或得到更低频的振动）播放教学片CD2

拍振动合成后，振幅出现时而加强，时而减弱的现象----“拍”。三.相互垂直的同频率简谐振动的合成(1)同频率x

=

A1

cos

(w

t

+j1

)y

=

A2

cos

(w

t

+j2

)将两式联立，消去t,可得2

1

2

1

1

22

12

11

2A

A

x

sinf

-

y

sinf

=

coswt

sin(j

-j

)A

A

x

cosf

-

y

cosf

=

sinw

t

sin(j

-j

)再将上两式平方后相加即可得cos(2

122

11

22221j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-A

A2xyAAx2

y2合运动一般不是简谐振动。合运动一般是在2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆。椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)

在A1，A2

确定之后，主要决定于

Dj

=

j2

-

j1讨论：1、j

2

－j

1=2k

πy

=

A2

xA1直线是退化了的椭圆22

1

2

1221

2

1

2j

-j

)j

-j

)

=

sin

(+

-

cos(2xyA AAAx2

y22、j

2－j

1=(2k+1)πY=A2cos(ωt+

j

2)=

－

A2cos(ωt+

j

1)A1y

=

-

A2

xx1AA2oyj

2－

j

1=2kπj

2

－

j

1=（2k+1）π3、j

2

－j

1=±π/2Y=A2cos(ωt+

j

2)=

±

A2sin(ωt+

j

1)=1

2

1

+

A

A

y

2

x

2是长短轴分别在x、y方向上的椭圆。当A1=A2时是圆形。1A

xyA2o讨论：j

1

－j

2=π/2x方向的振动比y方向的振动超前π/2

即无法显示该图片。21

1

1

2y

=

A2

cos(wt

+j2

)x

=

A

cos(wt

+j

)

=

A

cos(wt

+j

+

p

)2

2=0,则x

=0,y=A当某一瞬时，wt

+jA1A即质点在图中p点，经过很短时间后，wt

+j2略大于零，y将略小于A2，为正，而22wt

+j

+

p略大于π/2，x将为负，所以质点运动到第二y相位领先,则为右旋!x相位领先,则为左旋!所以xyo2

P象限，即质点沿椭圆逆时针运动。反之φ2－φ1=π/2

，质点沿椭圆顺时针方向运动4、一般情况表示一个长短轴在任意方向的椭圆。轨迹的旋转矢量作图法:为例124567081123345566770

8x以

f2

-

f1

=

π

4y80(y相位领先)yx2

43y

相位领先,则为右旋!x

相位领先,则为左旋!设

x

1y

2Dj

=

pDj

=

5p/4

Dj

=

3p/2

Dj

=

7p/4Dj

=

p·/4PDj

=

0yxDj

=

p/2

Dj

=

3p/4（-3p/4）

（-p/2）

（-p/4）两个沿垂直方向的同频简谐振动的合运动的轨迹四.相互垂直的不同频率简谐振动的合成·其情形复杂，轨迹曲线一般不稳定(随t变化)，也不一定闭合，即合成运动不一定是周期性运动。如果两个互相垂直的振动频率成整数比，合成运动的轨道是封闭曲线，运动也具有周期。这种运动轨迹的图形称为李萨如图形。yxA1A2o-A2-

A1[例]下图是wx

:wy=3:2，j2

=0，j1

=p/4时的李萨如图形。下图给出李萨如图形的几种情况，可知振动曲线与w1

:

w

2

,j1,j2的不同取值有很大关系。阻尼振动实际振动系统因受阻力作用其振幅会不断减小，称为阻尼振动。常见的阻力可写成：dtf

=

-gv

=

-g

dx质量为m的物体在弹性回复力和上述阻力作用下的动力学方程：k220

0dt

2

dt

m

2md

2

x

dxgw

＝

,

b

=+2b

+w

x

=0,其中上式的解与阻尼因素β的大小有关，分为欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三种情形。（g为阻力系数）220

00cos(

w-

b

t

+j

)x(t)

=

A

e1、β<ω。欠阻尼情况：方程的解-bt0w

=

w

2

-

b

2(20000w

2v

+

bx

)A

=

x2

+系统作准周期振动，振幅不断减小，频率为可由初始条件（x0，v0）求出为表示阻尼的大小，定义：对数简缩=

bTA

e-btA

e-b

(t

+T

)0L

=

ln

0

=

ln

ebT3、β＝ω。临界阻尼情况：方程的解x(t)

=

(C

+

C

t)e-bt1

2此时振动系统刚刚不能作准周期振动，而很快回到平衡位置。1

2002

2-(

b

+

b

2

-w

2

)t-(

b

-

b

-w

)t+

C

ex(t)

=

C

e上两式中C1,C2均由初始条件确定，此时根本无振动发生。临界阻尼过阻尼欠阻尼xt02、β>ω。过阻尼情况：方程的解受迫振动和共振系统受弹性力,阻力外,还受周期性策动力F

=

F0

cosw

t其动力学方程mFm

2mdtk