辽宁工业大学高数习题课5

第五章定积分习题课1．定积分的定义：

定积分定义的四要素：分割；近似；求和；取极限2．定积分的几何意义：用图表示:一、定积分的概念与性质曲边梯形的面积

3．可积的充分条件①若在区间上连续，则在上可积.

②

若在区间上有界，且只有限个间断点，则在上可积.

4．定积分的性质①反号性：

②与积分变量无关性：

③线性性质：

④区间可加性:

⑤区间长：

⑥保号性：如果在区间上,，则⑦单调性：如果在区间上,则⑧估值定理：设和分别是函数在区间上的最大值和最小值，则⑩奇偶对称性：若在上连续，则

二、积分上限函数与牛顿—莱布尼兹公式

1．积分上限函数：是奇函数是偶函数0，设函数在区间上连续，则称⑨定积分中值定理：如果函数在闭区间

上连续,则至少存在一点,使下式成立：

(1)

(2)

(3)

3．牛顿—莱布尼兹公式：若函数为连续函数在区间上的个原函数，则

2．积分上限函数的微分三、定积分的计算方法求定积分的总体原则：先求被积函数的原函数,然后利用牛顿—莱布尼兹公式计算，即

1．换元积分法〔1〕凑微分法：（2）变量置换法：函数满足条件：

2．分部积分法：

四、反常积分1．无穷限的反常积分

2．无界函数的反常积分设为的瑕点,则

设为的瑕点,则设为的瑕点，则有

五、典型例题解：由于在上连续,

且是在上的一个原函数，故

【例1】设在上有连续导数，且是在上的一个原函数,,求【例2】求定积分

解：

注：当定积分的被积函数中包含绝对值符号时，必须设法将其去掉，并且要特别注意被积函数的符号．【例3】设,求

解:【例4】设求

分析：利用变量代换将在上的定积分化为在

上的定积分再计算。

解:设,则【例5】设为连续函数，求

解:令,则,当时,当时,那么故【例6】设,求

解:由,得那么所以【例7】求定积分解:设,则【例8】计算定积分解:令则当时,当时,

【例9】计算定积分

解:【例10】求定积分分析：由于积分区间为对称区间，可考虑被积函数是否具有奇偶性或局部具有奇偶性．解:原式【例11】设求解：因为

所以【例12】设在上有一阶导数，

求分析：函数是一个积分上限函数．将看成

定积分时，是积分变量，是常量,将其视为函数时，是函数的自变量．

解:【例13】求极限

解:易错提醒：在求含有积分上限函数的极限时，一定要验证是不是未定式，假设不是，不能应用罗比塔法那么。如分析：极限为型未定式，应用罗比塔法则。【例14】若为可导函数，且求罗比塔法则得注意:因为没有在点连续的条件，无法求出其值。而由题中所给条件，可以考虑利用导数定义。分析：该极限为型未定式，应用罗比塔法则，有

此式仍为型未定式，可以继续应用解：

中所遇到的关于函数性质的研究完全可以用到该积分中来，

小结：积分表示自变量为的函数，因此微分学如研究的单调性、极值、最值、极限、连续等等．【例15】设在上连续，且

证明：(1)

(2)方程

在内有且仅有一个实根．

证明：(1)

即有

由零点定理知方程在内至少有一根。

又因为,

在上函数单调增加，所以方程在至多有一根。

(2)因为在上连续，所以在上也连续．又有所以，方程在内有且仅有一实根。【例16】设

分析：求分段函数的变上限积分的题型，其解法是：按与被积函数相同的分段依次讨论，计算中使用定积分的可加性。所以，应分段求的表达式．

当时，求在内的表达式．解：在的定义域中，是分段函数，

当时，

当时，于是【例17】求反常积分

解：【例18】求积分

分析：被积函数在积分区间上不是连续的，

牛顿—莱布尼兹公式失效．这是一个反常积