第4章-矩阵分解

同济大学数学系2009-3-22武汉理工大学理学院第4章矩阵分解MatrixFactorizationandDecomposition定理：若A的各阶顺序主子式24.1LU分解（图灵Turing,1948）则

A可唯一分解为：A=LUL

：为主对角元为1的下三角形，U

：为上三角形。3例1：设用三角分解求解Ax=bLU分解的用处4解：对A做三角分解：A=LU，则567例2：设求A的三角分解A=LULU分解的过程8解：91011LU分解的改进1）LDU分解LU分解的改进2）Cholesky分解4.2QR分解定义：Remark:这样的分解称之为QR分解。分析I）利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解G-S正交化单位化I）利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解例：解：例：解：Remark:矩阵不可逆时，这样的QR分解不唯一。（2）首先判断出，由定理可知必存在，以及三阶上三角矩阵使得再将其单位化，得到一组标准正交向量组另：2）利用Householder变换的QR分解正交变换称为Householder变换。Householder变换的制造定理：Householder变换方法的QR分解定理：Remark：矩阵的等价标准形4.3满秩分解其中B

列满秩，C

行满秩。29则称其为对A的满秩分解。4.3满秩分解定义：Problem：满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法例：解：满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法例：解：例4.设32求A的满秩分解33例5.设求A的满秩分解34例：分别求下面三个矩阵的满秩分解4.4奇异值分解问题的来源：Problem:P,Q能否为正交矩阵？1）的性质，2）3）结论：矩阵的奇异值定义：对奇异值进行排序例：求下列矩阵的奇异值显然的特征值为5，0，0，所以的奇异值为解：（1）由于（2）由于显然的特征值为2，4，所以的奇异值为。矩阵的奇异值分解是A的奇异值定理：奇异值分解定理的证明Step1令Step2即求解方程的基础解系，再规范正交化即得Step3Step4奇异值分解的步骤Step1Step2Step3Step4并，令例5、求的奇异值分解。解：标准正交化:例6、求的奇异值分解。解：例：求下列矩阵的奇异值分解表达式解：（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有于是可得奇异值分解式为解：（2）容易计算，那么的非零奇异值为，对应于特征值5，2的标准特征向量为由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，2，0，0对应的两个标准正交特征向量由这四个标准正交特征向量组成矩阵，所以有于是可得奇异值分解式为练习：求下面矩阵的奇异值分解式4.5广义逆矩阵广义逆的问题来源：1）2）若A不可逆，或不是方阵，则如何定义逆矩阵？4.5广义逆矩阵设A

为m×n阵，若存在n×m阵X

满足

AXA=A(1)XAX=X(2)(AX)T=AX(3)(XA)T=XA(4)则称X为A的Penrose-Moore逆，或“+”号逆，记作A+1920,Moore引入广义逆，未引起注意；1955,Penrose给出广义逆的定义。72A+的例子例例例73设rank(A)=r，作满秩分解A＝BC，则并且，A+存在且唯一A+的存在性唯一性：设

A+的唯一性例176求

A的广义逆77解：从而的广义逆矩阵是例1

设求。解：利用满秩分解公式可得例2

：设求。解：由满秩分解公式可得于是其广义逆矩阵为A+的性质A+的性质：Ex1设A为n

阶幂等阵，即A2=A,则Ex1设A为实m×n

阵,则87例2.设求

A的广义逆A+的算法888990例3.设求

A的广义逆91由其中为正交矩阵4.3广义逆的应用93解线性方程组9495例4用广义逆求的最小长度解和通解。96,,97∴方程组有解98通解为最小长度解99的x*

称为的最小二乘解。

定义：则满足b-

Ax=b-AA+b+AA+b-Ax(b-

AA+b)

⊥(

AA+b–Ax)bOR(A)b′=AA+b线性最小二