正螺面的性质

正螺面的性质摘要：正螺面是经典微分几何曲面论中的重要研究对象,本身具有很多重要的几何性质。本文讨论了正螺面的坐标曲线网特性、等距性、直纹性以及该曲面上区域面积的极小性等性质。关键词:正螺面；圆柱螺线；直纹面；极小曲面1正螺面的图形定义及参数表示正螺面的图形如图（一）所示定义1：由一条垂直于螺旋轴的直线作螺旋运动时所画出的曲面叫正螺面。旋转是以定角速度w顺着Z轴方向，且移动的距离与转角v与（x轴交角）成正比,即正螺面的母线与螺线的“轴”垂直相交，当交点N沿轴移动时,母线绕轴旋转，且N点转动的距离与母线转动的角度成正比。我们把z轴取作旋转轴，M点为正螺面上任意一点，MN丄z轴，设MN二u，OP为MN在xy平面上的投影，OP与x轴的交角为v。a表示螺距（比例系数）则正螺面的方程可写成:x=ucosv<y=usinvz=av即r={cosv,usinv,av}定义2:圆柱螺线r={acos0,asin9,b0}的主法线曲面（直纹面）为正螺面P=ucosv,usinv,bv.面证明圆柱螺线的主法线曲面是正螺面，对圆柱螺线r={acos0,asin0,b0}其主法线为其主法线为主法面上任意一点的矢径是卩=Ccos0，-sin主法面上任意一点的矢径是卩=Ccos0，-sin0,0）p 九）=r@）+祁@）={acos0,asin0,b0}+X{-cos0,-sin0,0}=«a—九）cos0,（a一九）sin0,b0}a—九=u0=vP=Lcosv,usinv,bv}为正螺面.面讨论正螺面的参数方程.r={ucosv,usinv,av}参数曲线：当u当u=u（常数）时，0v-曲线是圆柱螺线.r是圆柱螺线.r={cosv,usinv,av}00当v当v=v（常数）时，0u-曲线是直母线，即在平面r={ucosv,usinv,av}000z是直母线，即在平面r={ucosv,usinv,av}000z=av上的一条直线.02正螺面的第一基本形式第一基本形式正螺面的参数方程：第二基本形式r={ucosv,usinv,av}r={cosv,sinv,0}ur={-usinv,ucosv,a}v所以E=r2=1,F=r•r=0,G=r2=u2+a2故第一基本形式I=du2+(u2+a2)dv2,若以s表示曲面上曲线的弧长，则ds2=I这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线()上点A(故第一基本形式I=du2+(u2+a2)dv2,若以s表示曲面上曲线的弧长，则ds2=I这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线()上点A(t),B(t).则弧长为01s=t0f「du'2\\dt丿+(u2+a2)f竺TdtIdt丿t02.2等距变换曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换(保长变换).若令g(t)=acosh—厂g<t< ,a即得yz平面上悬链线g(t)=acosh绕z轴旋转所得的悬链面。a悬链面的参数方程r=\acosh—cos0,acosh—sin0,t>,-g<t<+g,0<0<2兀I a a I(1)r=tsinh—cos0,sinh—sin0,1aar=<-acosh—sin0,acosh—cos0,00I a aE=cosh2—,F=0,G=a2cosh2—,aa其第一基本形式是若令则I=cosh2—(dt2+a2d申2)au=asinh—,-g<t<+g< av=0,0<0<2兀(2)u2+a2=a2cosh2—

adu=coshdtadv=d0将(2)化为这与正螺面I=du2du=coshdtadv=d0将(2)化为这与正螺面I=du2+(u2+a2)dv2(4)r=cosv,usinv,avv,sinv,。},r=£,o,o}uusinv,cosv,0}ucosv,-usinv,0}uvvvE=1，F=0，G=u2+a2，■:D=\EG—F2=Y'u2+a2(5)的第一基本形式一致.就是说，整个悬链面(1)在正螺面(5)上，0<v<2兀的一段可互相贴合，公式(3)则是从(1)到(5)的等距变换公式.在此等距变换里，悬链面上的经线(悬链线)对应于正螺面上的母线，而悬链面上的纬线(圆)则对应于正螺面上的圆柱螺线.若将正螺面贴在悬链面上，则正螺面的每一条母线就在悬链面的一条悬链线上，即有无穷多条母线贴在同一条悬链线上，而正螺面的每一条圆柱螺线则绕在悬链面的一个圆(纬线)上无穷多次。就是说，点与点之间的一一对应只有在0<v<2兀的限制下的区域内才能成立.以上内容说明了,两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，他们具有相同的第一基本形式.2.3第二基本形式r=Lcosv,usinv,avlr=V-usinv,ucosv,av00,1L=—cosvsinvD—usinvucosv00=0a“1—sinvcosv0—aM=—cosvsinv0Djyu2+a2—usinvucosva—ucosv—usinv0

cosvsinv0=0—usinvucosva...第二基本形式—2aII=2Mdudv= dudvu2+a2

例1证明对于正螺面r={ucosv,usinv,av}-s<u<+s,-s<v<处处有EN-2FM+GL二0.证明：因为正螺面方程为r={cosv,usinv,av}所以

E=1，F=0，G=u2+a2，由于L=N=0，所以正螺面坐标曲线网是渐近曲线网.L=N=0,M-aIv'u2+a2-aEN—2FML=N=0,M-aIv'u2+a2-aEN—2FM+GL=lx0+0xx：u2+a2命题得证.3正螺面的性质3.1正螺面的坐标曲线网是正交曲线网、渐近曲线网和等温网.正螺面的曲纹坐标网是正交网.设正螺面S:性质1证明:r={ucosv,usinv,av}r={cosv,sinv,0} ,r={-usinv,ucosv,a}uv所以F=r•r=-ucosvsinv+ucosvsinv=0uv因此坐标曲线网是正交网。性质2正螺面的坐标曲线网是渐近曲线网.证明:设正螺面的方程为:r={ucosv,usinv,av}所以ruur={cosv,sinv,0} ,r={-usinv,ucosv,a}uv={0,0,0}，r={-sinv,cosv,0}，r={-ucosv,-usinv,0}uv vvE=l,F=0,G=u2+a2,L=N=0,M-av'u2+a2例2求证在正螺面上有一族渐近曲线是直线，另一族渐近曲线是螺旋线.证明：正螺面的方程为r=Lcosv,usinv,av}由性质2由性质2知，正螺面坐标曲线网是渐近曲线网.常数）时，v-曲线r= cosv,usinv,av}00是螺旋线.常数）时，u-曲线r=Lcosv,usinv,av}是直母线，性质3是直母线，性质3证明：即在平面z=av上的一条直线.

0正螺面的坐标曲线网是等温网.正螺面的方程为r=Lcosv,usinv,av}u二asinht则第一基本形式可化为等温网形式I=a2cosh21(dt2+d申2)参数称t、申为等温参数.所以正螺面是等温网.正螺面的直纹性性质4正螺面是直纹曲面,但不可展.证明:正螺面的方程为:r= cosv,usinv,av}=(osv,sinv,av}+(u-1){：osv,sinv,0}=(osv,sinv,av}+h〔osv,sinv,0}=m(v)+hp(v)m(v)=tosv,sinv,av}是在半径为1的圆柱面上的圆柱螺线.p(v)=(osv,sinv,。}是平行于xoy面的矢函数.当v—v(常数)时，它是一个常矢量，此时(6)式变为0r=m(v)+hp(v)00为一直线的矢量式方程.当v取遍所有实数时得一族直线，该族直线恰好构成正0螺面，即正螺面是以圆柱螺线r二m(v)0为导线,以r=m(v)+hp(v)0为直母线的直纹曲面.下证正螺面是不可展的.方法一:因为—sinvcosvacosvsinvcosvsinv0—a一sinvcosv—sinvcosv0丰0(m(v),p(v),p(v))=故正螺面是直纹面但不可展.方法二:不可展性还可因高斯曲率非零来证因为r=Lcosv,usinv,avlr-仁osv,sinv,0} ,r—{—usinv,ucosv,a}uv—£,0,0} ，r-uvruusinv,cosv,0} ，r—£,0,0} ，r-uvruuvv所以—a,E—1,F=0,G=u2+a2,L=N=0,M=—:所以LN-M2-工<0故正螺面是直纹面但不可展.正螺面是极小曲面性质5正螺面上的任意光滑曲线C围成的曲面区域最小，换句话说，正螺面是极小曲面.证明:由正螺面的方程r= cosv,usinv,av}其第一、第二基本形式分别为I=du2+(u2+a2)dv2—2aII二2Mdudv二 dudvu2+a2即E=1,F=0,G=u2+a2—ai\：u2+a2从而可得平均曲率LG—2MF+NE_ 02(EG—F2) 2(u2+v2)所以正螺面是极小曲面.这就证明了以空间曲线C为边界的曲面区域以正螺面区域面积为极小.例3证明正螺面r={/cosv,usinv,av+b}不是可展曲面.证明:因为r=cosv,usinv,av=u(:osv,sinv,o}+bo,av+b}=ub(v)+a(v)所以b(v)二Csinv,cosv,0},a(v)二*b,0,a}则有00aa,b,b=cosvsinv0=a丰0一sinvcosv0所以曲面是不可展曲面.例4求正螺面的主曲率、主方向、曲率线.

解:因为r=cosv,usinv,av}E=1,F=解:因为r=cosv,usinv,av}E=1,F=0,G=u2+a2—ai\-U2+a2代入主曲率的公式得-kN—a\u2+a2—a—k(u2+a2)N所以—au2+a2又因为正螺面在一点M(u0,v°)的主方向为du:dv，满足关系式dv2dudvdu2dv2dudvdu2EFG=10u2+a2=00000L0M0N00—ai0uu2+a2'0化简得—du2+(u2+a2)dv2=0

0即两个主方向为du:=+「u2+a2dv'odu;=—、:u2+a2dv'0而曲率线的微分方程满足dv2dudvdu2dv2 dudv du2E F G=1 0 u2+a2=0L M N0—a0pu2+a2化简得du=±「u2+a2dv'0

积分得Inu+Ju2+c2=±v+c则其曲率线为Inu+\u2+c2+v二c1Inu+\U2+c2—v=c.2例5求正螺面r= cosv,usinv,av｝上的测地线.证明：因为r= cosv,usinv,avE=1,F=0,G=u2+a2所以测地线的微分方程可以化为d0duua2+所以测地线的微分方程可以化为d0duua2+u2tan9dvdutan9v'a2+u27)(8)对(7)式积