2021年2022年各地高考数学真题汇编：函数与导数解答题

2021、2022年高考数学真题汇编：函数与导数解答题

解答题

1.(2022,全国甲(文)T20)已知函数/(x)=d一工遥(%)=》2+。，曲线y=/(x)在点

(Xj(xj)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.

(1)若X]=-1,求4；

(2)求a的取值范围.

2.(2022•全国甲(理)T21)已知函数=—\nx+x-a.

X

(1)若/(x"0,求a的取值范围；

(2)证明：若/(x)有两个零点对电，则环玉々＜L

3.(2022•全国乙(文)T20)己知函数/(x)=公一工一(。+l)lnx.

x

(1)当a=O时，求/(%)的最大值；

(2)若/(*)恰有一个零点，求a的取值范围.

4.(2022.全国乙(理)T21)已知函数/(x)=ln(l+x)+axe7

(1)当a=l时，求曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)若/(%)在区间(-1,0),(0,内)各恰有一个零点，求a的取值范围.

5.(2022・新高考I卷T22)已知函数/(x)=e*-ox和g(x)=or-lnx有相同最小值.

(1)求“；

(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=/(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并

且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

6.(2022・新高考口卷T22)已知函数/(x)=xe"—e'.

(1)当a=l时，讨论/(x)的单调性；

(2)当x>0时，/(%)<-1,求a的取值范围；

111

(3)设〃eN*，证明:>ln(n+l).

Vl2+1V22+2yjn2+n

7.(2022•北京卷T20)已知函数八幻=，'ln(l+x).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,7(0))处切线方程；

(2)设g(x)=7'(x),讨论函数g(x)在［0,+8)上的单调性；

(3)证明：对任意的s/w(0,+8),有/(.¥+，)>/(s)+/Q).

8.(2022•浙江卷T22)设函数/(x)=±+lnx(x〉0).

lx

(1)求/(x)的单调区间;

(2)已知,曲线y=/(x)上不同的三点(%,/(』)),(％2，/(%2))，(工3，/(*3))处的

切线都经过点(46).证明：

(i)若a>e,则0<b—/(a)<；IE

2e-a1126-。

(ii)若0<。<e,不v%，则—,■,2<—1--------<—

e6e-x}x3a

(注：e=2.71828…是自然对数底数)

9.(2021.全国)已知函数=—Inx).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)设。，匕为两个不相等的正数，且/21na-aln0=a-b,证明：2<—+<e.

a

10.(2021•全国(文))设函数/(x)=a、2+tzx-31nx+l,其中a〉().

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若y=/(x)的图像与x轴没有公共点，求〃的取值范围.

11.(2021•浙江)设a,。为实数，且a>l,函数/(x)=a*-bx+e2(xeR)

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若对任意人>2e?,函数/(x)有两个不同的零点，求。的取值范围；

(3)当a=e时，证明：对任意0>e4,函数/(x)有两个不同的零点占,吃,满足

b\nb/

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

12.(2021•全国(理))已知。＞0且a/1,函数/(x)=—(x〉0).

ax

(1)当a=2时，求/(x)的单调区间；

(2)若曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点，求a的取值范围.

13.(2021.全国(理))设函数“X)=ln(a—x),已知x=0是函数y=犷(力的极值点.

(1)求a；

x+/(x)

(2)设函数g(x)=—771—.证明:g(x)<L

xf(x)

参考答案

1.【答案】(1)3(2)[-1,4W)

【小问1详解】

由题意知，/(-1)=-1-(-1)=0,/(元)=3/-1,/,(-1)=3-1=2,则y=/(x)在点

(-1,0)处的切线方程为y=2(x+1),

即y=2x+2,设该切线与g(x)切于点(w，g(w))，g'(x)=2x,则g'(X2)=2x2=2,解

得X2=l,则g(l)=l+a=2+2,解得a=3：

【小问2详解】

/'(X)=-1,贝ijy=/(%)在点(占J(xJ)处的切线方程为

y-(xf-)=(3x,2-1)(x-x,),整理得y=(3龙;,

设该切线与g(x)切于点(W，g(w)),g'(x)=2x,贝1蜂，(电)=2々，则切线方程为

x

y~(2+^)=2X2(X-X2),整理得y=2%2%-6+♦，

3x：—1=2x,

—2x；=—^2+Cl

93i

令〃(x)=—x4—2x3—x2+—,ROh'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-l),令hr(x)>0,

424

解得一，<x<0或x〉l,

3

令〃'(x)<0,解得或O<X<1,则X变化时，”(x),〃(x)的变化情况如下表:

X000(0,1)1(L+00)

1Tl~3(4-°)

"(X)—0+0—0+

5

h(x)/-1/

274

则〃(x)的值域为[—1,大动，故。的取值范围为

2.【答案】(1)(-oo,e+l]

(2)证明见的解析

【解析】

【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；

eviInx—((龙->0,再利用导数即

(2)利用分析法，转化要证明条件为一一xe'-2

X

可得证.

【小问1详解】

Ax)的定义域为(0,+8),

令/(x)=0,得x=l

当xe(0,1),/'(x)<0J(x)单调递减

当xe(I,+oo),/V)>0,/(x)单调递增/(x)>/(I)=e+1-a,

若/(x)20,则e+1-aNO,即aWe+1

所以〃的取值范围为(-8,e+l]

【小问2详解】

由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设不<1<々

1

要证斗々<1,即证为〈一

了2

1(1>

因为X|,—6。1),即证/(百)>/—

X2kX27

1

因为，(X|)=/(W)，即证—

\X2J

0—]

即证----lnx+x-xev-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

即证史一J―2lnx—垢—4>。

x[_2(x/

e%—।।\

下面证明x>l时，----xex>0,lnx--x一一<0

x2lx

设g(x)=-----xeA,x>1,

x

(\1A(11【口小单-小-4」］

则g\x)=p-Je'-ev+xex

1x-))x\x)Ix)

riVeADx-\(e

、x

Ix\xJ冗［x7

设°(x)=^(x〉l)，9'(x)=(g_:卜=」、〉。

所以9(x)>9(l)=e,而10

所以史—£>0,所以g'(x)>0

X

所以g(x)在(1,+C。)单调递增

e'1

即g(x)>g(l)=0,所以——xev>0

X

令h(x)-1nx1

、1112x-x2-L”<o

〃(幻=J1+2=02

x2kx)2x2x2

所以〃(x)在(1,y)单调递减

4)<o：

即/z(x)<力(1)=0,所以

je*'3If111>0,所以玉工2<1■

综上，----xcA-2Inx—x—

x

3..【答案】（1）-1

（2）（0,-KQ）

【解析】

【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解;

（2）求导得广（同=3-1）2（1）,按照。40、

0<6Z<l及。>1结合导数讨论函数的单

调性，求得函数的极值，即可得解.

【小问1详解】

当a=0时，/(%)=---lnx,x>0,则/=J=,

XXXX

当xe(0,1)时，#(x)>0,“X)单调递增；

当xe(l,+oo)时，/«x)<0,/(X)单调递减；

所以“x)11Hx="1)=-1；

【小问2详解】

/(x)=ax---(tz+l)lnx,x>0,则r(x)=a+［-^^~=3四%。,

xxxx

当时，ax-l<0,所以当x«0,l)时，/<x)>0,/(x)单调递增：

当xe(l,+8)时，/彳x)<0,/(x)单调递减；

所以,(％)3=/(1)=。—1<0,此时函数无零点，不合题意；

当0<a<l时，->1,在(0,1),(：,+8)上，f^x)>0,单调递增；

在(1，5)上，,%x)<0,/(x)单调递减；

又/⑴="-1<0,当x趋近正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，

所以/(力仅在］1,+8)有唯一零点，符合题意；

当a=l时，r(x)=(二1)_NO,所以/(X)单调递增，又，(1)="-1=0,

所以/(力有唯一零点，符合题意；

当”>1时，-<1,在(0,口,(1,小)上，盟x)>0,〃x)单调递增；

在((』)上，户")<0,“X)单调递减；此时/⑴=a—1>0,

又/U〕=」T-a"+〃(a+l)lna,当"趋近正无穷大时,/(士］趋近负无穷,

所以/(x)在(0)有一个零点，在(：,+(»)无零点,

所以/(力有唯一零点，符合题意;

综上，a的取值范围为(0,+8).

4.【答案】(1)y=2x

(2)

【解析】

【分析】(1)先算出切点,再求导算出斜率即可

(2)求导，对。分类讨论，对x分(-l,0),(0,-Ko)两部分研究

【小问1详解】

/(x)的定义域为(-1,+8)

X

当a=l时,/(x)=ln(l+x)+-,/(0)=0,所以切点为(0,0)

er

11_

f'(x)=--+Yr,/(0)=2,所以切线斜率为2

1+xe

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=2x

【小问2详解】

/(x)=ln(l+x)+—

e

/(1)」+硬33小玛

1+xev(l+x)ex

设g(x)=e*+a(l—x2)

1°若a>0,当xe(—1,0),g(x)=e*+a(1—f)>o,即八%)>0

所以fM在(-1,0)上单调递增,/(x)</(0)=0

故/(x)在(-1,0)上没有零点，不合题意

x

2°若一掇女0,当xe(0,+w)，则g'(x)=e-2ax>0

所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a.0,即f'(x)>0

所以f(x)在(0,+oo)上单调递增,f(x)>/(O)=0

故fM在(0,+oo)上没有零点，不合题意

3°若。<-1

⑴当xe(0,+00)，则g'(x)=e"-2ax>0,所以g(x)在(0,+a))上单调递增

g(0)=l+a<O,g(l)=e>0

所以存在me(0,1)，使得g(m)=0,即f(m)=0

当xe(0,m),f'(x)<0,f(x)单调递减

当xwO,+8),/'(x)>0J(x)单调递增

所以

当xe。附J(x)</(0)=0

当X—>+co,f(x)T+00

所以/'(x)在(m,yo)上有唯一零点

又(0,m)没有零点，即f(x)在(0,+8)上有唯一零点

(2)当xe(-1,0),g(x)=e*+a(1-炉)

设〃(x)=g'(x)=e*-lax

h(x)=e*-2a>0

所以g'(x)在(-1,0)单调递增

g'(-l)」+2a<0,g'(0)=l>0

e

所以存在〃e(—1,0)，使得g'(〃)=0

当xe(-l,〃),g'(x)<O,g(x)单调递减

当xe(〃,O),g'(x)>O,g(x)单调递增g(x)<g(0)=l+a<0

又g(T)」>0

e

所以存在fe(-l,n)，使得g(t)=0,即f'(t)=0

当xe(-1,/),/(x)单调递增，当xe(f,0),/(x)单调递减

有了—>—1,/(X)—>—00

而/(0)=0,所以当xe亿0),/(x)>()

所以f(x)在(―1/)上有唯一零点,",0)上无零点

即f(x)在(-1,0)上有唯一零点

所以。<-1,符合题意

所以若f(x)在区间(一1,0),((),”)各恰有一个零点，求a的取值范围为(—8,-1)

5.【答案】(1)a=l

(2)见解析

【小问1详解】

/0)=6"-收的定义域为1,而f'(x)=e'-a,

若a40,则/'(x)>0,此时/(x)无最小值，故。>0.

8(%)=0¥-111%的定义域为(0,+8),而g(x)=a-4=竺」

xx

当x<lna时，f'(x)<0,故/(x)在(YO,Ina)上为减函数,

当x>lna时，f'M>0,故在(Ina,欣)上为增函数,

故/(0向=/(lna)=a-alna.

当0cx<，时，g'(x)<0,故g(x)在1。,工］上为减函数，

aka)

当X〉，时，g'(x)>0,故g(x)在］，,+cc］上为增函数，

a\a)

故g(X)min=g(L］=l_ln'.

\a)a

因为fM=e'-ax和g(x)=以Tnx有相同的最小值，

1a-1

故l-ln—=a-alnQ,整理得到----=lna其中Q>0,

a1+af

i21-a2-1

设g(。)=:-----lna,a>0,则g'S)=----一一二-------«0，

1+a(1+Q)aa(l+〃)

故g(。)为(°，+°。)上的减函数，而g(l)=。，

故g(〃)=0的唯一解为a=l，故:"@=lna的解为a=l.

综上，a=l.

【小问2详解】

由(1)可得/(x)=e*-x和g(x)=x-lnx的最小值为l-lnl=l-ln；=l.

当b>l时，考虑e*-x=b的解的个数、x—lnx=b的解的个数.

^S(x)=e'—x—h,Sf(x)—el—1,

当尤<0时,S'(x)<0,当%>0时，S,(x)>0,

故S(x)在(-8,0)上为减函数，在(0,+8)上为增函数，

所以S(xL=S(0)=l—方<0，

而S(4)=e-'>0,S(t))=^-2b,

设〃e)=e〃-2",其中/?>1,则/())=e"-2〉0,

故M®在(1,+8)上为增函数，故〃®>〃(l)=e-2>0,

故S(b)>0,故S(x)=eX-x—A有两个不同的零点，即e=x=。的解的个数为2.

设T(x)=x-lnx-Z?,T,(x)=-^—,

当0<x<l时，T")<0,当%>1时，r(x)>o,

故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,转)上为增函数，

所以T(xL=T(l)=l"<。，

而T(e")=e-">0,T(e")=e"-2/?>0,

T(x)=x-lnx-匕有两个不同的零点即x-lnx=Z?的解的个数为2.

当6=1,由(1)讨论可得x-lnx=Z?、e"-x=Z?仅有一个零点，

当方<1时，由(1)讨论可得x—lnx=〃、e'—x=人均无零点，

故若存在直线y=力与曲线y=/(X)、y=g(x)有三个不同的交点，

则8>1.

设〃(x)=e*+Inx-2x,其中x>0,故"(x)=e"+!-2,

X

设s(x)=e*-x-1,%>0,则s'(x)=e*-l>0,

故s(x)在(0,+8)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e*>x+l，

所以〃'(x)>x+--lN2-l>0,所以〃(x)在(0,+o5)上为增函数，

1_7?

而/?⑴=e_2〉0,/(—)=e，-3--<e-3--<0>

2eeerer

故/z(x)在(O,+8)上有且只有一个零点与，<1且：

当。<x<x()时,/i(x)<OBPex-x<x-lnxEP/(x)<^(x),

当X〉小时，〃(x)>(H|Je*-x>x—lnA^I"(x)>g(x)，

因此若存在直线y=b与曲线y=〃x)、y=g(x)有三个不同交点，

故0=/(%)=g(Xo)>l，

此时e*-x=b有两个不同的零点再,/(王〈OCX。),

此时x-lnx=Z?有两个不同的零点工(),工4(0<入0<1<x4),

故e*'_X]=b,-x0=h,x4-lnx4-Z?=0,x0-lnx0-b-0

Xib

所以*4-b=In£即e~=x4即-(x4-b)-b-Q,

故Z为方程e*—x=b的解，同理％-b也为方程e、—x=b的解

又e*1-尤]=6可化为e*1=&+8即玉+，)=0即(玉+O)_ln(X]+b^-b-O,

故当+人为方程x-lnx=Z?的解，同理与+b也为方程x-lnx=Z?的解，

所以｛七,为｝=｛/一仇王-4,而力>1,

x=x,—b

故〈n，即X]+%=2%.

X]=x0-b

6.【答案】⑴/(X)的减区间为(—8,0),增区间为(0,+8).

(2)a<-

2

(3)见解析

【小问1详解】

当a=l时，/(x)=(x-l)ex,则r(x)=xe',

当x<0时，当x>0时，f\x)>0,

故/(x)的减区间为(-8,0),增区间为(0,+8).

【小问2详解】

设〃(x)=xeav-e*+1,则/z(0)=0,

又/2Z(x)=(1+ax)e®-ev,设g(x)=(l+tzx)e"‘—e*,

贝Ig，(x)=(2。+«2x)e<a-e',

若a>:，则g'(0)=2a-l>0,

因为g'(x)为连续不间断函数，

故存在x()e(°，+8)，使得Wxe(O,%())，总有g«x)>0,

故g(x)在(0,朝)为增函数，故g(x)>g(0)=0，

故〃(x)在(0,不)为增函数，故〃(x)>〃(O)=-l,与题设矛盾.

若0<〃弓，则”(力=(1+6)e""—e*=e3i碍+的—e',

下证：对任意x>0,总有ln(l+x)<x成立，

证明：设S(x)=ln(l+x)-x,故S，(x)=d—l=F<0,

故S(x)在(0,+oo)上为减函数，故S(x)<S(O)=O即ln(l+x)<x成立.

由上述不等式有十川迎+狗_e*<e"-—e'=e2ar-er<0>

故/(x)WO总成立，即〃(x)在(0,+8)上为减函数，

所以〃(%)<〃(0)=-1.

当a40时，有〃'(x)=e"'—e'+axe"'<1—1+0=0,

所以〃(x)在(0,+8)上为减函数,所以〃(x)</z⑼=-1.

综上，aW—.

2

【小问3详解】

取。=g,则Vx>0,总有起夕_/+]<0成立，

令—2X，则1>1,r=e',x=2In，，

/一c

故2〃nr〈产-1即2lnr<f-l对任意的”1恒成立.

t

所以对任意的〃GN*，有21n

整理得到：ln(〃+l)-ln〃<二—,

>In2-In1+In3-In2+•••+In(H+1)-InH

=ln(〃+l),

故不等式成立.

7.【答案】(1)y=x

(2)g(x)在［0,+8)上单调递增.

(3)证明见解析

【小问1详解】

解：因为/(x)=e*ln(l+x),所以"0)=0,

即切点坐标为(0,0),

又尸(x)=e'(ln(l+x)+J),

切线斜率/=/'(0)=1

...切线方程为：丫=%

【小问2详解】

解:因为8。)=/'(幻=6"(111(1+幻+/一)，

1+X

2I

所以g'(X)=ev(ln(l+x)+-----——万)，

1+x(1+x)

21

令h(x)=ln(l+x)+--------3，

1+X(1+X)

,,122%2+1

则〃(%)=-------------+-------=------->0,

1+x(1+x)2(1+4(l+x)3

在［0,+»)上单调递增，

/?(%)>力(0)=1>0

...g'(x)>o在［0,+8)上恒成立，

.•.g(x)［0,+o。)上单调递增.

【小问3详解】

解：原不等式等价于f(s+t)-/(s)>f(t)~/(0),

令机(x)=/(x+f)-/(x),(无,f>0),

即证机(x)>m(0),

m(x)=f(x+，)一/(x)=ev+/ln(l+x+Z)—e"ln(l+x),

e"

m(x)=e""ln(l+x+，)d---------evln(l+x)------=g(x+，)一g(x),

1+x+r1+x

由(2)知且(幻=/'0)=炉(111(1+%)+」一)在[0,+00)上单调递增，

1+x

，g(x+，)>g(x),

/.m(x)>0

...，**)在(0,+幻)上单调递增，又因为x,t>0,

：.m(x)>m(O),所以命题得证.

8.【答案】⑴/(x)的减区间为(0,'lj,增区间为(J,+℃

(2)(i)见解析；(ii)见解析.

【分析】(1)求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.

(2)(i)由题设构造关于切点横坐标的方程，根据方程有3个不同的解可证明不等式成立，

,X,a2(加一13)(〃/一加+12)

(ii)%=,,〃=一<1,则题设不等式可转化为4+4—2——<-----与-----------)-,

%em36根(G+A)

-m+\2\

结合零点满足的方程进一步转化为In根+^——-一-^―--------^<0,利用导数可

72(m+l)

证该不等式成立.

【小问1详解】

2x-e

小)T+B2x2

当0<x<],f^x)<0；当x>"|，/彳》)>0,

故/(x)的减区间为0,］卜/(X)的增区间为|9,+8

127

【小问2详解】

(i)因为过(区。)有三条不同的切线，设切点为(4/(七))"=1,2,3,

故了(%)—〃=/'(%)(七一a)，

故方程/(x)->=/'(x)(x-a)有3个不同的根,

e(1e、/x1e

=T(x-e)(x-。)，

当0<x<e或x>&时，g,x)<0；当e<x<a时，g«x)>0,

故g(x)在(O,e),(a,+8)上为减函数，在(e,a)上为增函数，

因为g(x)有3个不同的零点,故g(e)<0且g(a)>0,

Z7A

整理得到：人<三+1且/?>鼠+1110=/(〃)，

止匕时b—f(a)—।—1|<-----F1-|---FIn6/|-------1—=----------Inci

'72(eJ2e12aJ2e222a

设〃(a)=±—三—Ina,则〃'(a)=W<0,

'"22av'2a2

3e

故”(a)为(e,+a>)上的减函数，故--lne=O,

故0<Z?一/(a)<]]■|■一1)

(ii)当0<a<e时，同(i)中讨论可得:

故g(x)在(O,a),(e,+)。)上为减函数，在(a,e)上为增函数,

不妨设Xj<x2<x3,则。<玉<a<々<e<.，

因为g(x)有3个不同的零点，故g(a)<0且g(e)>0,

故(———--lne+Z7>OK|------a-a]---1na+h<0,

le2e272e{a2a2T)2a

整理得到：---F1</?<----bln。，

2e2e

因为玉〈工2〈工3，故。<玉<。<工2<?<%3,

a+eeai,

又g(x)=l-H---z—Inx+。，

X2x2

a+e

设"上,-=WG(O,1),则方程1一+—^-ln%+b=O即为:

xex2x

a+eZ7

r+—r+lnz+/?=O即为一(〃?+1)，+5/+lnf+b=0,

e

eee

记:=—力2~—3~~，

X,x2x3

则4,4,4为—(〃z+l)，+万广+ln，+b=。有三个不同的根,

设Z=乙=幺>£>1,m=—<\,

G西ae

e-a2ee-Q

即证2+——

6e

13-zw2\-m

即证:〈,I+23<--------

6m~~6~

口、\13-wV21-m]八

即证：U)+qJ，i+'3-^+-J<0,

(m-13)(m2—m+12)

即证:

36m+q)

而一(+1)a++In：+Z7—0且一(+1)&+q+InG+Z7=0,

11

故14.111/3+曰(彳_")_(加+1)«]_/3)=0,

-22Inf-Int,

故4+12——=——x———

mmt1-13

2ln]-g(；«-13)(/n2-m+12)

故即证:—X---------------------<------------------------------------------------

m：一.336"(4+q)

(，i+4)lnq(加一13乂m2-〃z+12)

即证:

>0

4一j72

即证：化+1）1町（〃-3乂疗-/〃+12）〉0

k-\72

记夕的=（八1刖%>1,则“④=/^卜一921nl〉0,

'）k-\（%T）Vk）

i]222

设〃（&）=&——21",则〃'（左）=1+二__>-----=0即d伏）>0,

kkkkk

故夕⑻在（1,+00）上为增函数,故夕（左）>0（根），

所以(Z+l)ln攵(w-13)(m2-W+12)(/n+l)ln/«(m-13乂疗一加+12)

k-\72m-172

记co(m)=InmH-----------------------------------,0<m<1,

、)72(/n+l)

,(根—1)-(3加一20〃，49/〃+72)(〃2-1)一(3加+3)

72w(/«+l)'72/M(m+l)-

所以6y(加)在(0,1)为增函数，故0(加)<a>(1)=0,

4..(w——13)(/n-zn+12)(m+lllnzn(m-13)(/W—m+12)

故Inm+--------------；-----------<0即A------L-----+2--------13--------------L>n,

72(加+1)m-172

故原不等式得证：

9.

【解析】⑴函数的定义域为(0,+8),xr(x)=l-lnx-l=-lnx,

当xe(0,l)时，/r(x)>0,当xe(l,+8)时，/'(x)<0,

故/(x)的递增区间为(0,1),递减区间为(1,+8).

(2)因为blna—alnb=a—人，故Z?(lna+1)=a(lnZ?+l),即""、1=",

ab

故=设由(1)可知不妨设0<玉<1,工2>L

\aJyb)ab

因为xe(0,l)时，/(x)=x(l-lnx)>0,xe(e,+oo)时，/(x)=x(l-lnx)<0,

故1cZ<e.先证：％+龙2>2,若々22,玉+々>2必成立.

若当<2,要证：x,+x2>2,即证玉>2-々，而0<2-々<1,

故即证/(%)>/(2-赴)，即证：〃%)>/(2-々)，其中

设g(x)=/'(x)--(2-x),l<x<2,

则g'(x)=/"(X)+/"(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln[x(2-x)],

因为1cx<2,故0<x(2-x)<l,故-lnx(2-x)>0,

所以g'(x)>0,故g(x)在(1,2)为增函数，所以g(x)>g⑴=0,

故/(x)>/(2-x),即/(々)>/(2-w)成立，所以玉+々>2成立,

综上，玉+々>2成立.

、「e”人lna+1Inb+\11一.

设尢2=比|，则，>1，结合------=—；—,一二%,7=为可得：

aban

Xy(l-lnxl)=x2(l-lnx2),

即：l—ln玉-InxJ,故In%―,

要证：%+42<e，即证(r+l)%<e，即证ln(r+l)+ln%<1,

即证：ln«+l)+^~~^-^<1,即证：(r-l)ln(/+l)—fln/cO,

则S()=lna+l)+g_l_lnf=ln(l+；J_『p

先证明一个不等式：ln(x+l)4x.

1_y

设"(x)=ln(x+l)—x,贝='-----1=―

当一1cx<0时，/(x)>0；当x>0时，M(x)<0,

故"(x)在(一1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数,故="(0)=0,

故ln(x+l)4x成立

由上述不等式可得当，>1时，+故S'(f)<0恒成立，

故S(f)在。,+8)上为减函数，故S(/)<S(1)=O,

故(f-+1)—/Inf<0成立，即X]+々<e成立.综上所述，2<—卜％<e.

10•【解析】(1)函数的定义域为(0,+8)，又八x)=(2—+3)⑷一D,

X

因为。>0,x>0,故2奴+3>0,

当o<x<L时，ru)<o；当X〉，时，r(x)>o；

aa

所以/(X)的减区间为(o,J,增区间为+8)

(2)因为/(1)="+。+1>0且y=/(x)的图与x轴没有公共点，

所以y=/(x)的图象在x轴的上方,

由(1)中函数的单调性可得/(x)min=/(：)=3-31n}=3+31na,

故3+31na>0即。>一.

e

11【解析】(l)/(x)=a*-6x+e2,/(x)=a[na-b,

①若Z?W0，则/'(x)="lna-b20,所以/(x)在R上单调递增；

②若/?>0,当xe18,10g。V时，/'(x)<0,/(x)单调递减，

当xe(log,---,+8卜寸，/'(x)>0,/(x)单调递增.

综上可得，8W0时，f(x)在R上单调递增；

匕>0时，函数的单调减区间为单调增区间为(log“3，+8

ImaJIIna

⑵fM有2个不同零点O陵一灰+e2=0有2个不同解O-加+e2=0有2个不同

的解，

令f=xlna,则d---+e2=0=>-^―=e+c,/>o,

In。Inat

汨/\d+e?e+e)《(-I)-/

TUg«)=--------,g⑺=----------A--------=---------------，

ttr

记〃(。=/(，一1)一/,/«)=dQ—l)+d.l=d.z>0,

又〃(2)=0,所以，£(0,2)时，h(t)<0,fe(2,+oo)时,h(t)>0,

bb

则g⑺在(0⑵单调递减,(2,y)单调递增，.・.L>g(2)=go<二，

\nae

,/b>2e2,>2,/.In<2<2=>1<<e2.

e

即实数。的取值范围是(I"?].

(3)a=e"(x)=e*-bx+/有2个不同零点，则e*+e?=法，故函数的零点一定为正数.

由（2）可知有2个不同零点，记较大者为々，较小者为西，

人"±£i=£l±£i>e4,

%

x2

注意到函数y=幺土/在区间（0,2）上单调递减，在区间（2,+8）上单调递增,

X

八,2

故菁<2<%，又由一--</知z>5,

eXl+e12e2

b丁,

由、〒h\nbe25一..e2

要i止X?>-----XjH----,八帝々>InbH—，

2ebh

+e21ex-J

—〈丁且关于人的函数g（b）=ln/?+1•在人>/上单调递增,

2/2✓

所以只需证%>ln-----+一，（工2>5），

42*'-）

2c应e2K

只需证Ine*-In二一一齿•>(),

x

x22e~

e^x

只需证Inx------ln2>0，

2ex

A-