2021届山东省高三模拟考试卷 数学（一）

绝密★启用前A.8B.9C.10D.11

山东省(新高考)2021届高三第二次模拟考试卷数学7.已知函数/(耳=8$皿(0、-方)(0>0)的最小正周期为加，若/(x)在嗫鼻上单调递增，在

(一)

学校：__姓名：_班级：__考号:

yy上单调递减，则实数卅的取值范围是C

题号一二三总分

得分r3"I「55]「兀兀]r7t41

A.L兀，二2■兀JB.[二6兀,一4兀」C.1二3"，2二"」D.L-787,二3■兀J

注意事项：注意事项：L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡

8.若。，力.c均为单位向量，且a/=(),(a-c)-(6—c)W0,则|a+b-c|的最大值为()

上

A.72-1B.1C.尬D.2

第I卷二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.9.已知正方体ABC-A4GA的棱长为4,M为。A的中点，N为A8CO所在平面上一动点，则下

1.已知集合4={0,Q},5={xeZ|x2-x-2<0},若人口3={0,1},则5人=()

列命题正确的是()

A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,2}

2.已知复数z=(a-3i)(3+2i)(aeR)的实部与虚部的和为7,则。的值为()

A.1B.0C.2D.-2

3.某自来水厂--蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，

若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少

需()

A.若MN与平面A8CD所成的角为：，则点N的轨迹为圆

A.4小时B.7小时C.6小时D.14小时4

B.若MV=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为27r

[x>3(x+y>6

4.、是<-八成立的()

[y>3[x-y>9C.若点N到直线8片与直线0c的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

D.若RN与AB所成的角为5,则点N的轨迹为双曲线

5.已知函数//”学二+'-以,K/(log,a)>/(3),则实数。的取值范围为C

10.将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是。

A.(Y),2)U(8,+X))B.(0,2)

A.4位女同学分到同一组的概率为，*

35

C.(0,2)U(8,+»)D.(8,+oo)

B.男生甲和女生乙分到甲组的概率为之

14

aa,

6.已知数列{a,,}中，a,=1,-~"*'=l(neN),若％,=二，则旭=()32

'a”10C.有且只有3位女同学分到同一组的概率为工：

D.4位男同学不同时分到甲组的概率为民

11.如图，在平面四边形ABCD中，AD=\<BD=—.AB1AC.AC=41AB<则CD的最小

3

11.意大利画家列奥纳多•达•芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色

值为•

珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用

下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：

/(x)=〃cosh2,其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx="'+e'.

a2D

相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx=2X.若直线x=m与双曲余弦函数C与双曲正弦函数G的cos—,—IVxVl

215.已知函数f(x)=J2,则关于x的方程f2(x)-3/(x)+2=0的实根的个数是

X2-1,|x|＞1

图象分别相交于点A,B,曲线G在点A处的切线L与曲线C2在点B处的切线L相交于点P,则下列结论

正确的为＜)

16.已知圆G：(x+3y+y2=l,G：(X-3)2+/=81.动圆C与圆G、C?都相切，则动圆C的圆

心轨迹E的方程为：直线/与曲线E仅有三个公共点，依次为P、。、R.则|PR|的最大

值为.

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy17.〈10分)已知S”为等差数列｛q｝的前"项和，1^=9,a“=21.

B.y=sinh.rcoshx是偶函数

(1)求数列｛4｝的通项公式：

C.(coshx)r=sinhx

(2)若瓦=」一，求数列也,｝的前”项和小

D.若是以A为直角顶点的直角三角形，则实数〃?=00n'""+1

218.(12分)在①A=C+二：②5c-4a=15cosA：③AA8C的面积S=3.这：个条件中任选两个，

12.关于函数/(x)=；+lnx,下列判断正确的是()

2

补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

A.x=2是/(x)的极大值点

在AABC中，内角A，B，C的对边分别为。，b,c,已知6=3,且，，求c.

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点注：如果选择多个条件分别解答，按第•个解答计分.

C.存在正实数3使得〃x)＞代恒成立

19.(12分)已知四棱锥E-ABCZ)中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//DC,AD=DC=2,AB=4,

D.对任意两个正实数占，士，且三＞占，若/(占)=/(毛)，则占+三＞4

△ADE为等边三角形，且平面ADE_L平面ABCD.

第n卷

(1)求证:AE±BD：

-：、填空题：木大题共4小题，每小题5分.

(2)是否存在一点F,满足乔=义丽(Ov/lWD,且使平面ADF与平面BCE所成的锐二而角的余弦值

13.(x+y-z)6的展开式中M，?Z3的系数是.

为叵.若存在，求出义的值，否则请说明理由.丽=2质，且点Q满足诬二人诙，求斗面积的最小值.

13

20.（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有〃（〃wN*）份血液样本，有以下两

种检验方式：①逐份检验，需要检验〃次；②混合检验，将其2伏eV且&N2）份血液样木分别取样混

（1）当。=1时，求曲线），=/*）在点（1J⑴）处的切线方程：

合在•起检验.若检验结果为阴性，这2份的血液全为阴性，因而这k份血液样木只要检验•次就够了，

（2）若函数尸（X）=/（%）+X有两个极值点X1,再,求证：中2<（瓜2。））2.

如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这々份再逐份检验，此时这出份血

液的检验次数总共为左+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是

独立的，且每份样本是阳性结果的概率为〃（0<〃<1）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就

能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中k伏wN’且攵22）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为。，采用

混合检验方式，样本需要检验的总次数为自2.

①记E（J）为随机变量J的数学期望.若后（。）=七（4），运用概率统计的知识，求出〃关于攵的函数关

系式〃=/（2），并写出定义域；

।

②若p=1,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望

值更少，求攵的最大值.

参考数据：In2«0.6931,In3«1.0986,In5aL6094.

21.（12分）已知椭圆C：I+马=l（a>6>0）的离心率e=1,且经过点八盘］,点耳，居为椭圆C的

CT及212；

左、右焦点.

（I）求椭圆C的方程：

（2）过点Fy分别作两条互相垂直的直线4,4，且4与椭圆交于不同两点AB4与直线x=1交于点P.若

数学答案

第I卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.答案：D

2.答案：C

3.答案：C

4.答案：A

5.答案：C

6.答案：C

7.答案：B

8.答案：B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.答案：ACD

10.答案：AB

11.答案：ACD

12.答案：BD

第n卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.答案：-60

14.答案：立

3

15.答案：5

答案：二+21=1或工+片=115

16.

2516167

四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.答案：(1)a=2n-l.(2)T=-----.

n"2〃+1

(1)等差数列｛可｝的前〃项和"=,

63(4+%3)

得21=2=3、32=9,

^2i21(q+%i)a”

2

因为4I=21,所以62=63,

等差数列｛a,,｝的公差d==出齐=2,

所以，an=a]l+(〃-ll)d=21+2(n—11)=2M—1.

入1If111

由(1)可知a=有ns7-7-7-7-

(2〃一1)(2n+1)212〃-12n+ly

n

~2n+l

18.答案：答案见解析.

解：方案一：选条件①②.

因为5c—4a=15cosA,b-3,所以5c-%=5bcosA,

由正弦定理得5sinC—4sinA=5sinBcosA.

因为sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsin8,所以5cos5sinA=4sinA.

因为sinA>0,所以cosB=1,sinB=A/1-COS2B=.

TTTT

因为A=CH—,A+JB+C=7C,所以3=---2C,

22

所以cos2c=cosf-=sinB=—,所以sin?C=--cos.

UJ525

因为Ce(O,7r),所以sinC=t，

在AABC中，由正弦定理得，=竺竺\=「^=非.

sin83

5

方案二：选条件①③.

因为S='a〃sinC=3,b=3,所以asinC=2.

2

TTTT

因为A=C+—,A+B+C=n,所以8=——2C.

22

3sin1c+0

,.,,——bsmAI2J3cosC

在ZMBC中，由正弦定理Z得r1。=—~丁=—/-----(=——

sinB.(n}cos2C

sin——2C

(2J

所以3smecosC=2,即3^2c=4cos2c.

cos2C

TT

0<A=CH—<7i兀

因为＜2,所以0<C<—,0<2C<K,

2

0<C<7l

所以sin2C>0,所以cos2c>0.

3

又sin?2C+cos22c=1，所以cos2C=j,

所以sin2c=l-cos2c=),所以sinC=@.

255

bsinC_/?sinC_3x、

」,bsinC

在入45。中，由正弦定理得c=

sinB.(兀a、cos2C3

sin——2C

(2)5

方案三：选条件②③.

因为5C-4(7=15COSA,b=3,所以5c—4z=5Z?cosA,

由正弦定理得5sinC-4sinA=5sin8cosA,

因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以5cosBsinA=4sinA.

因为sinA>0,所以cos3=《，sin3=，l-cos-3=《.

因为S=」acsin8=3,所以ac=10.(i)

2

在△ABC中，由余弦定理得》2=。2+02一24853,

所以/+/=25.（ii）

由（i）（ii）解得c=石或c=2百.

19.答案：（1）证明见解析；（2）存在几=!使得平面AP厂与平面BCE所成的锐二面角的余弦

2

值为运.

13

（1）取A3的中点G，连接。G，

vBG=-AB=CD,BG//CD,

2

二四边形BCDG是平行四边形，DG=BC=AG=AO=2,

.•.△ADG为等边三角形，是直角三角形，.•.AD_L3。，

2

•.・平面平面ABC。，3£>u平面ABC。，A£>=平面AOED平面ABC。,

..5。，平面ADE,AEu平面ADE,..AE±BD.

（2）F为EB中点即可满足条件.

取A。的中点“，连接E”，则EHLAD，

取AO的中点“，连接EH,平面平面ABC。，EHu平面£AD，

所以平面ABC。，EH=0），BD=2g，

如图建立空间直角坐标系D-xyz,

则0（0,0,。），A（2,0,0）,B（0,2A/3,0）,C（-l,V3,0）,41,0,百），

则方=（2,0,0）,Cfi=（l,V3,0）,丽=（—1,2百，一百），EF=AEB^（-A,2732,-732）,

DF=（1-2,2732,A/3-V3A）,

设平面A。/7的法向量为，〃=（N，X，Z1）,平面8CE的法向量为〃=（X2，〉2，Z2）.

[DFm=Q11-/0内+2&>+（g-&）4=0,、

由《一，得>取必=（0,2—1,24）；

[DAm=0[2%=0

[CBn=0

由《一

M产丁，取一，叫,

同〃=0-2为2-任2=0

|A-l+6/l|病

于是,|cos(m,n)|=

V13-A/5/12-2A+17T

解得x=_L或尤=-_L（舍去）,

23

所以存在4=,使得平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为姮

213

20.答案：（1）』；（2）①〃丫（ZeN*且&22）；②8.

10⑴

（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A事件,

则「⑷=必涔1$

1U

（2）①根据题意，可知后（。）=3&的可能值为1，k+1，

则P&=1）=（1-p）",P（5=%+1）=1—（1—0”,

所以E（42）=（i_py+（攵+1）（1-（1一.?）=%+1-%（1一0）”,

由£（。）=七（5）,得左=左+1-刈1一0）"，

所以p=l—（4丫（左wN*且AN2）.

_j__k

②由于p=l—J],则E4）=Z+1-履V，

_*k

所以左+1—&>4〈人，即In%—生〉0,

4

设/（x）=lnx_J,==x〉0，

4x44x

当x«0,4）时，/（力>。f（x）在（0,4）上单调递增;

当xe（4,+»）时，/'（x）<0,“X）在（4,物）上单调递减，

QQ

/（8）=ln8-2=31n2-2>0,/（9）=ln9-^=21n3-^<0,

所以々的最大值为8.

21.答案：(1)—+^-=1；(2)6.

43

2,b21

e=1一一2=~

a4

（1）由题意，得＜9，解得〃之=4，Z?2=3»

1+4.J

/记

所以椭圆的方程为二+匕=1.

43

（2）由（1）可得耳（一1,0）,

若直线4的斜率为0,则4的方程为》=一1与直线％=1无交点，不满足条件;

设直线4：x=，〃y—l,若加=0,则2=1则不满足