高中数学-1.2.3　同角三角函数的基本关系式教学设计学情分析教材分析课后反思

教学环节教学内容师生互动设计意图引入新课计算下列各式的值：(1)sin290°+cos290°=sin230°+cos230°=sin260°+cos260°=(2)==教师提问：根据第（1）组题的结果，你发现了什么规律？学生思考后回答。教师提问：根据（2）组题的结果，猜想到一个怎样的关系式？学生思考后回答。让学生通过对引例的计算、观察、比较、分析、归纳，体验由特殊到一般的数学思维过程，有利于对公式的理解与记忆。同时感受数学建模的第一个环节：归纳猜想。公式探究利用几何画板展示：随着角α终边的变化，以下两个公式的等号始终成立：sin2α+cos2α=1.=tanα证明公式：在单位圆中教师提问：根据观察是不是可以判断两个公式对任意α成立？学生思考回答。教师追问：根据学过的有关三角的知识，怎样证明两个公式？学生思考回答，教师要求学生利用三角函数线进行简单证明。引领学生进一步经历数学建模过程：检验、论证。培养学生质疑求真的数学态度。公式深化1.公式的条件：sin2α+cos2α=1(α∈R).Sinα/cosα=tanα(α≠kπ+,k∈Z).2.变形公式：sin2α=1-cos2αcos2α=1-sin2αsinα=tanαcosαsinα/tanα=cosα教师提问：第二个公式中cosα做分母，是不是限制了α的范围？怎样限定？学生思考回答。教师要求学生对两个公式进行变形，并在变形过程中进行记忆。引领学生进一步完善数学模型，培养学生严谨的学习态度，通过变形公式，引导学生发散思维。公式应用例1已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。变式练习1：已知cosα=-12/13,,求sinα,tanα的值教师提问：根据条件和要求解的值，首先选择哪个公式？学生思考回答。教师要求学生套用公式作答。教师追问：利用平方关系时，需要注意什么事项？学生思考回答，确定例1的符号。要求学生继续作答变式训练1，体会象限、符号的重要性。让学生在实践中体验有效的联想，并归纳解题流程：选用恰当的公式→遇到开方，判断符号→结论；象限不确定时，筛选信息，讨论象限→选用恰当的公式→遇到开方，确定符号→结论公式应用例2：已知：sinα-cosα=-1/5，180°＜α＜270°，求tanα。变式训练2：已知tanα=-3/4，且α为第三象限角，求sinα，cosα。教师提问：能不能直接套用公式？学生思考后回答。教师提示：方程的本质是含有未知数的等式，两个未知数不能同时解决，考虑其他途径。学生思考：已知条件和同角三角函数关系式联立构成二元方程组。学生通过变式训练，进一步熟悉列方程求值的方法。让学生拓展思路，领会函数方程的数学思想。例3化简变式练习3：求证：tan²x-sin²x=tan²xsin²x教师提问：化简的目标是化简为繁，减少函数名称的个数，化分式为整式，通过怎样的方法可以达到上述目标？学生思考回答。学生进行变式训练。让学生掌握切化弦等技巧方法，进一步培养学生对公式的灵活运用能力。例4求证：法一：法二：法三：要求学生用至少三种方法证明该例题，并总结证明恒等式等式的通性通法。在用多种方法证明过程中体会同角三角函数关系式的特点。教师投影展示学生的学案，在展示中，要求学生总结等式的证明方法：1.由左端→右端，由右端→左端。左端→过渡式←右端2.作差，差为“0”。3.分析法，注意过程的等价性。让学生证明系统掌握证明等式的方法。进一步体会同角三角函数关系式机器变形公式的魅力。归纳总结1.同角三角函数关系式中，涉及到正切函数，注意使用条件。2.根据一个任意角的的一个值，可以求出其余的函数值，要判断符号。3.灵活运用切化弦等方法，证明恒等式要选择合适的方法。教师引导学生回顾同角三角函数关系式的构建过程，重温数学建模流程。学生自主归纳公式的应用策略，总结求值题、证明题、化简题的解决方法。培养学生数学建模的能力，体会数学模型的构建流程，自主归纳总结的习惯。课后作业P25，练习A1、2、3、4学生独立完成，教师全批全改。培养学生的学习习惯。1.2.3同角三角函数的基本关系学情分析学生门通过三角函数定义、三角函数线的学习，已经比较熟练的掌握了三角函数定义及三角函数线，并且通过单位圆这一载体初步具有了数形结合的思想。我教的班级大部分学生能够主动学习、合作学习。但是同学们探究能力普遍较弱，对数学建模的流程比较陌生。特殊角的三角函数值记忆的不够牢固，三角函数值的正负号判断不够熟练，这些可能会影响本节课的教学过程和教学效果。

1.2.3同角三角函数的基本关系式效果分析本着突出教师为主导、学生主体的原则,整节课给学生留下了足够的探究时间和空间。本节采用“计算观察——归纳猜想——提出问题──合作探究──变式应用”的流程展开。首先通过两组题的计算，学生归纳规律，提出假设，然后通过合作探究的方式探究出同角三角函数的基本关系式，让学生深入体验了数学探究活动和数学建模过程。通过四道例题设置问题，进一步深化了对关系式的理解，每一道例题又进行了科学的变形，让学生在自主探索中对同角三角函数的基本关系式进行了灵活运用。从课堂授课过程中学生的表现，听讲认真、活动积极、探究深入，学生有问题意识，学会了观察、归纳、猜想、论证、应用反馈的建模方法。从学生变式练习来看，公式的应用比较灵活。本节课达到了预期效果。1.2.2同角三角函数的基本关系式教材分析本节课的教学目标是：了解同角三角函数关系；能用同角三角函数关系解决简单的恒等变形题目。教材围绕这一目标进行组织材料。同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义、三角函数线后，安排的一节继续深入学习的内容。本知识点式求同角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。教材安排了关系式的推证，但是过程较为简单，没有安排学生探究活动。用大的篇幅设置了6个例题，其中例题6安排了三种证法。教材鲜明突出地体现了公式的应用。因为本节课是很好的培养学生数学建模的载体，同时，同角三角函数基本关系式是诱导公式、量和与差的三角函数、和差化积、积化和差等一系列公式的第一组公式，所以有必要引导学生进行细致的探究，为以后学习铺好路。1.2.3同角三角函数的基本关系式导学案一、学习目标1．通过计算、猜想、探究、证明同角三角函数基本关系式，经历数学建模流程，感悟数学探究的魅力。2.在例题及变式训练过程中进一步记忆、掌握、并能运用同角三角函数的基本关系式。3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法。二、学习重点难点课本的两个个公式的推导及应用.三、教学过程（一）导入：计算下列各式的值：(1)sin290°+cos290°=sin230°+cos230°=sin260°+cos260°=(2)==（二）探究：猜想：请学生回忆任意角的三角函数定义和三角函数线，能否对上述猜想进行证明？问题一：在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?sin2α+cos2α=1(等式1).=tanα(等式2).α≠kπ+,k∈Z（三）应用示例：例1已知sinα=,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值。变式练习1：已知cosα=-12/13,,求sinα,tanα的值。例2：已知：sinα-cosα=-1/5，180°＜α＜270°，求tanα。变式训练2：P25， 练习A1(3)已知tanα=-3/4，且α为第三象限角，求sinα，cosα。例3化简变式练习3：求证：tan²x-sin²x=tan²xsin²x例4求证:法一：法二：法三：课堂小结①同角三角函数的基本关系式及成立的条件。②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置，从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出)。③“知一求二”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值，若已知正弦或余弦,则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则构造方程组求值。④灵活运用变形公式、切化弦。课后作业：P25，练习A1、2、3、4 1.2.3同角三角函数的基本关系式课后反思本节课，我确定引领学生探究同角三角函数的两个关系式，通过整合例题、例题变式训练学生对公式的灵活运用作为重点和难点。突破第一个重点的策略方法：以练习题组引入新课，让学生在活动中进行观察归纳、猜想质疑、论证完善，循序渐进的引领学生进行同角三角函数基本关系式的数学建模。在这一过程中，充分应用几何画板等信息技术手段，让学生在感性中增强对公式的认识。突破第二个难点的策略方法：将例题进行整合，每道例题配置一道变式训练，在训练中，学生自主发现公式应用过程中存在的问题，在比较中找出异同，在细节关注中，强化了公式的应用条件，角的终边和函数值符号的关系。在教学手段上，通过学生板演，展示学生的做题思路和过程，利用实物展台，大密度展示、点评学生的训练结果，及时的评价反馈，让学生暴露问题，解决问题。课堂教学效果基本令人满意，但是感觉还有两点需要改进：本节课的容量偏大，学生自行反思的时间有点少；公式的证明过程应该再严谨些。1.2.3任意角的三角函数关系式课标分析

普通高中数学课程标准在高中数学课程性质中谈到：有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识，形成解决简单实际问题的能力。

在课程理念方面，

倡导积极主动、勇于探索的学习方式，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。同时，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。而且要注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识注重信息技术与数学课程的整合，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。数学的课程目标之一：通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。

提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

三角恒等变换在数学中有一定的应用，同时有利于发展学生的推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并