复数与复变函数课件

复变函数与积分变换绪论一、引言复数的产生和复变

函数理论的建立

先从二次方程谈起解方程此公式早于公元前400年，已被巴比伦人发现和使用。在中国的古籍《九章算术》中，亦有提及与二次方程有关的问题。由二次方程到三次方程

由于实际应用上的需要，亦由于人类求知欲的驱使，很自然地，人类就开始寻找三次方程的解法。

即寻找方程

一般根式解。很可惜，经过了差不多二千年的时间，依然沒有很大的进展！怪杰卡丹诺

(Girolamo

Cardano;15011576)一个多才多艺的学者,

•一个放荡不羁的无赖

他精通数学、医学、语言学、天文学、占星学

一生充满传奇，人们称他为「怪杰」。

1545年，卡丹诺在他的著作《大术》（ArsMagna）中，介绍了解三次方程的方法。从此，解三次方程的方法，就被称为「卡丹诺公式」。

解方程

公式：

例解

x3+6x=20注意：m=6、n=20

x==21、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想。后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的。这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转。

2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上。用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的。

3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家Riemann和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知识直到今天都是比较完善的。

4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域。

积分变换就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数，同时，将函数的微积分运算转化为代数运算，把复杂、耗时的运算简单、快速完成。但变换不同于化简，它必须是可逆的，即必须有与之匹配的逆变换。

复变函数与积分变换在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。

再比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。

复变函数不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。

从柯西算起，复变函数已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并使它的应用更加广泛。对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换等。复数与复变函数、解析函数、学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变量函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，复变函数有本质上的深化，尤其是在方法和技巧上，更有着显著的不同。在学习中要善于比较、区别、特别要注意它们之间的联系、发展和变化，理解概念、掌握方法、熟悉技巧。对复数域上特有性质与结果要有足够理解。第一章复数与复变函数

（Complexnumberandfunctionofthecomplexvariable）

§1.1复数

§1.2复数的三角表示§1.3平面点集的一般概念§1.4无穷大与复球面

§1.

5复变函数

一、复数的概念§1.1复数

(Complexnumber)二、复数的四则运算三、复平面一、

复数的概念（1）对任意两实数x、y,称z=x+iy为复数。复数z的实部（realpart）

Re(z)=x;虚部（imaginarypart）Im(z)=y.（2）当时，（实数）；当时，（纯虚数）；当时，（实数）；（3）设复数

(4)设,称为z的共轭复数.

注意：任意两个虚数不能比较大小！！

例如，设,则,即,矛盾。

设z1=x1+iy1与z2=x2+iy2，则（1）z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)

（2）z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)二、复数的四则运算20例2解复数的运算满足如下交换律、结合律、分配律。全体复数并引进上述运算后称为复数域，用C表示。在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如仍成立共轭复数的运算性质23例1.1证三、复平面

则在复数集与平面之间建立了一个1-1对应。x轴上的点表示实数，x轴称为实轴，y轴上的点表示纯虚数，y轴称为虚轴；整个坐标平面称为复平面或z平面。Z平面§1.2复数的三角表示

(Therepresentationofcomplexnumber)一、复数的模和辐角二、复数的三角不等式三、复数的表示方法四、用复数的三角表示作乘除法五、复数的乘方与开方

一、复数的模和辐角oxyz平面P(x,y)xy向量的长度称为复数的模，记作：向量与正实轴之间的夹角称为复数

的辐角(Argument)，记作：由于任意非零复数有无限多个辐角，用

表示符合

条

件的一个角，称为复数主辐角。于是注意：时，辐角不确定。

例3求及解二、复数模的三角不等式关于两个复数的和与差的模，有下列不等式：

例3证明1.点的表示法2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法三、复数的表示方法1.点的表示法2.向量表示法oxyz平面P(x,y)xy3.三角表示法设复数

的模为，

是复数的任意一个辐角,则oxyz平面P(x,y)xy此式称为复数的三角表示式。注：一个复数的三角表示不是唯一的。也可以表示为解：因为

4.指数表示法由欧拉公式可得:复数的指数表示例6将复数化为指数形式解

四、用复数的三角表示作乘除法

后一个式子应理解为集合相等。设是两个非零复数，注意：可推广到n个复数的乘积。oxy(z)z1z2z2几何意义：将复数按逆时针方向旋转一个角度，再将其伸缩

倍。同理，对除法有于是得后一个式子也应理解为集合相等。1.复数的乘方设则

个相同的复数

的乘积，称为

的

次幂，记作，即特别：当

时，则有此式称为棣莫佛(DeMoivre)公式。五、复数的乘方与开方2.复数的开方则称复数为复数容易得例7求的所有值解：由于几何上，的

个值是以原点为中心，为半径的圆周上

个等分点，即它们是内接于该圆周的正

边形的

个顶点。xyo例8求解方程解：故得所以方程有3个解，它们是内容小结1、复数的概念z=x+iy2、复数的四则运算3、复平面4、复数的模和辐角5、复数的三角不等式6、复数的表示7、复数的乘方与开方

指数表示三角表示法

课后作业一、思考题：1、2、3.二、习题一1-10第二讲§1.3平面上点集的一般概念§1.4复球面与无穷大§1.5复变函数

§1.3

平面点集的一般概念(Thegeneralconceptionofpointsetontheplane)一、开集与闭集二、区域三、平面曲线一、开集与闭集邻域平面上以为心，为半径的圆的内部所有点的集合称为点的-邻域。即

称为的去心邻域,开集如果点集的每一个点都是的内点

则称为开集.内点为中任意一点，如果存在的一个

邻域，该邻域内的所有点都属于，那么

称为的内点。设是一个平面点集闭集如果点集的余集为开集，

则称为闭集连通集设是开集，如果对于内任意

两点，都可用内折线连接起来，则称开集是连通集孤立点，若在的某一邻域内除

外不含的点，则称是

的的一个孤立点，的孤立点一

定是的边界点。有界集无界集如果存在一个以点为中心的圆盘包含，称为有

界集，否则称为无界集。边界点边界若在点的任意邻域内既有

的点又有的点,则称是的一个边界点。的边界点全体称为的边界。

有界集和无界集:zxy有界！o例如圆盘N(z0)是有界开集复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。二、区域区域连通的开集称为区域.闭区域区域连同它的边界一起，

称为闭区域，记为(1)区域是开集，闭区域是闭集.(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.注意：例：试说出下列各式所表示点集是怎样图形，并指出哪些是区域？解：表以为心，1为半径圆外部包括圆周，不是区域。（3）介于两射线之间的一个角形区域。例：三、平面曲线平面曲线的参数方程用复值函数表示为曲线实参数方程曲线复参数方程若存在满足且的,使,则称此曲线C有重点，无重点的连续曲线称为简单曲线或若尔当（Jordan）曲线；除外无其它重点的连续曲线称为简单闭曲线简单闭曲线简单曲线非简单曲线非简单闭曲线1.简单曲线、简单闭曲线2.光滑曲线、分段光滑曲线设曲线的方程为

若，在上可导,且,连续不全为零，则称曲线为光滑曲线，由若干段光滑曲线衔接而成的曲线称为分段光滑曲线.

显然圆是一条简单连续闭曲线，它把平面分成两个没有公共点的区域，其中一个有界，一个无界，都已给定圆的圆周为边界。一般闭曲线由此性质吗？简单闭曲线的性质若尔当曲线定理

定理

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个端点属于I(C)，另一个端点属于E(C)

，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共边界.3.单连通域、多连通域设是复平面上一区域，如果在内任作一条简单闭曲线，其内部的所有点都在中，则称区域为单连通区域；否则称为多连通区域或复连通区域.

一条简单闭曲线的内部是单连通区域。

在几何直观上，单连通区域是一个没有“洞和缝隙”的区域，而多连通区域是有“洞或缝隙”的区域，如下图，区域D是一个多连通区域。

单连通区域的性质：属于D的任一简单闭曲线，在D内可以通过连续变形而缩成一点。多连通区域就不具有此特征。§1.4复球面与无穷大

(InfinityandComplexSphere)一、复球面二、扩充复平面的定义.

一、复球面1.南极、北极的定义xyONSz如右图取一张复平面，做一个与复平面相切在原点的球面，1.南极、北极的定义.xONSzP(z)z球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.2.复球面的定义用来表示复数的这个球面称为复球面.全体复数与复球面-{N}之间一一对应关系..因而球面上的北极N就是复数的几何表示.YONSzP(z)z二、扩充复平面的定义我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.复平面加上无穷远点后称为扩充复平面，记作C.包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.对于复数来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.关于扩充复平面上的几个概念

(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}且满足|z|>M的所有点的包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}(其中M>0)称为无穷远点的邻域.集合{z||z|>M}包括无穷远点自身在内且满足|z|>M的所有点的(其中M>0)