第一节 数学期望4-1

xp(x)of(x)xo

前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.但在实际问题中，概率分布一般是较难确定的.而且在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.

引言

主要应看这批灯泡的平均寿命和灯泡寿命相对于平均寿命的偏差．平均寿命越长,灯泡的质量就越好,灯泡寿命相对于平均寿命的偏差越小,灯泡的质量就越稳定．

因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的.下面我们来学习随机变量的数字特征．例如，评定一批灯泡的质量,第四章随机变量的数字特征第一节数学期望

第二节方差第三节协方差及相关系数第四节矩协方差矩阵

第一节数学期望教学内容

1离散型随机变量的期望2连续型随机变量的期望3随机变量的函数的期望4数学期望的性质教学重点

期望的计算与性质

随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一.它的定义来自习惯上的平均值概念.

引例

将一枚骰子掷100次，各点数出现的次数与频率如下,求每次投掷的平均点数．点数

12345６次数频率

142117221016

14/

100

21/

100

17/

10022/

10010/

10016/

1001.数学期望的概念

(1)离散型变量数学期望的定义

试验次数很大时,频率会接近于概率pk点数

12345６次数频率

142117221016

14/

100

21/

100

17/

10022/

10010/

10016/

100抽象出每次投掷的平均点数

平均值＝以频率为权的加权平均

频率和概率的关系以概率为权的加权平均离散型变量数学期望的定义

几点说明:(2)数学期望E(X)是一个常数,而非变量．它既不是随机变量所有可能取值的算术平均值，也不是随机变量的有限次观测值的算术平均值．它是一种以概率为权的加权平均值,它从本质上表达了随机变量X取可能值的真正的平均值，具有重要的统计意义．请看下面的例子和实验___随机变量X的算术平均值为假设X的期望为试问哪个射手技术较好?实例1谁的技术比较好?乙射手甲射手解故甲射手的技术比较好.实例２

如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某工程，预估成功的时机为30%，可得利润8万元，失败的时机为70%，将损失2万元．假设存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资?解设X为投资利润，那么存入银行的利息:故应选择投资.二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点x0<x1<x2<…,那么X落在小区间[xi,xi+1)的概率是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为

由于xi与xi+1很接近,所以区间[xi,xi+1)中的值可以用xi来近似代替.这正是的渐近和式.近似,因此X与以概率取值xi的离散型r.v

该离散型r.v的数学期望是小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为…x1

x2

…

xk…Xpkf(x1)x1

f(x2)x2

…

f(xk)

xk…由此启发我们引进如下定义.定义2设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),如果积分绝对收敛,那么称此积分值为X的数学期望,即请注意:连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.注意不是每一个随机变量的期望都是存在的．三几种特殊分布的数学期望Ｘ０１1-pp１两点分布2二项分布3泊松分布4均匀分布5指数分布分部积分法6正态分布三、随机变量函数的数学期望1.问题的提出：设随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比方说g(X)的期望.那么应该如何计算呢？一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由的X的分布求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.(1)当X为离散型时,它的分布率为P(X=xk)=pk;(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).假设定理1设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.=

0.

1+

0.

2+

0.

4

+

0.

3例题设随机变量X

的分布律为pkX

-1012

0.10.

20.40.3求E(2X-

1),E(X

2).

解

E(2X

-1)=0.7;四、数学期望的性质1.设C是常数，那么E(C)=C;2.假设k是常数，那么E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);4.设X、Y相互独立，那么E(XY)=E(X)E(Y);〔诸Xi相互独立时〕请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立〔诸Xi独立时〕五、数学期望性质的应用例1求二项分布的数学期望假设X~B(n,p)，那么X表示n重贝努里试验中的“成功〞次数.现在我们来求X的数学期望.

可见，服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np.

X~B(n,p),假设设那么X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因为P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=那么X表示n重贝努里试验中的“成功〞次数.E(Xi)==p例2把数字1,2,…,n任意地排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，那么称为一个巧合，求巧合个数的数学期望.由于E(Xk