福大结构力学课件11力矩分配法

第八章8-1

力矩分配法的基本概念M

12

=

4i12

D1M

13

=

i13

D1M

14

=

3i14

D1M

21

=

2i12

D1M

31

=

-i13

D1M

41

=

0i13Δ12i12Δ14i12Δ13i14Δ1i12i14i132134M根据平衡条件M4i12

+

i13

+

3i14D1

=

M

=

0

M

12

+

M

13

+

M

14

=

M(1)

1221121213141331131213141441141224i12Mi13MM3i14MM

=M

=

1

M4i

+

i

+

3i=M

=

-M4i

+

i

+

3iM

=M

=

0

M4i

+

i13

+

3i141转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。SikMik

=

Sik

D1=

iik4iik

远端为固定端3iik

远端为铰支端

远端为滑动0

远端为自由端111Sik=

4iikSik=

3iikSik=

iikSik=

0Sik=

0Sik与杆的i（材料的性质、横截面的形状和尺寸、杆长）及远端支承有关，而与近端支承无关。2分配系数：与转动刚度成正比ik

ikiikSSik

m

=

1(i

)m

=3传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.ikikCM

2=

M

ki

1

远端为固定端=0

远端为铰支端-1

远端为滑动Mik=

mik

M例．用力矩分配法计算图示结构时，杆端AC的分配系数m

AC

为：BCAD4m3mEI5EI2

EI分析：4ABi=

2EI3ADi=

EIACi

=

5EI

=

EI29ACABADAC53iACm

==

18i

+

4i

+

3i为杆的实际长度。注意：l例．图示结构用力矩分配法计算时分配系数为：mBCmBC=

0.5,mBA

=

0.5,

mBD

=

mBE

=

0;mBA

=

mBCC.D.=

4

/15,

mBD

=

3

/15,

mBE

=

0;mBA

=

mBC

=

4

/13,mBD

=1,mBE

=

0;=

0.5,mBD

=1,mBE

=

0(

D

)AmBA

=

0.5,BEi

=1i

=1Ci

=2i

=1DAB：BC：BD：BE=4：4：3：0BCAMABMBA

MBCABCMABPMBAPMBCPMBMBMBAPPMBCMB=

MBAP+MBCPABC-MBMBCMAB

MBA0-MBMBAMBCBBABABC

BC

B(-M

)M

=

m

(-M

)M

=

m+=最后杆端弯矩：MBA

=

MBAP+

MBAMAB=

MAB

+

MABPMBC

=

MBC

BCP+

M各跨分别叠加简支梁的弯矩，即得最后弯矩图。固端弯矩带本身符号8-2

单结点的力矩分配——基本运算例12M/7-M←

4M/7

3M/7→0杆端弯矩2M/74M/73M/703/74/72M/74M/73M/7M图iMii分配系数固端弯矩分配、传递注意：结点受集中力偶作用时的符号。例23/74/7-ql2/82ql2/56←

4ql2/563ql2/56→

0固端弯矩分配、传递杆端弯矩2ql2/56←

4ql2/56-4ql2/56→

04ql2/56M图4ql2/56qiill分配系数步骤：①求分配系数、固端弯矩；②将会交于结点的固端弯矩之和反号，按分配系数分配给每一个杆端。③各杆按各自的传递系数向远端传递。④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。例30.60.4最后M-39.6

28.8-28.8

0

固端弯矩

-36分配、传递

-3.6→36

-18←

-7.2

-10.8012kN/m2ii16kN6m3m3m39.6M图(kNm)28.8分配系数例4

0

Pl/2Pl/2-PlPl

0Pl -Plll2iiP10PlM图Pl/2分配系数固端弯矩分配、传递杆端弯矩例530kN/m100kN4mBACDi=2i=1.5i=24m3m2m8=

72kNm100

·

2

·3252M

DA

=100

·

2252M

AD

=M

AB

=

1

·30

·16

=

60kNm2

·3

+

2

·

4

+1.5

·

42

·3

+

2

·

4

+1.5

·

42

·3

+

2

·

4

+1.5

·

4m

AD

=

1.5

·

4

=

0.3m

AC

=

2

·

4

=

0.4m

AB

=

2

·3

=

0.3↓

-2.460

-48-3.6

-4.8

-3.6

56.4

-4.8

51.6→→72-1.8

70.2BCDA=

-48kNmAB

AC

AD0.30.40.34.8M图(kNm)2.456.451.670.2-ql2/12-2ql2/60-7ql2/60ql2/12-4ql2/60-ql2/60ql2/60ql2/60-ql2/60ql2/60例6lqlB

i

CiACA0.80.2M图ql2/607ql2/60例7.

已知力矩分配系数为m

BA

=0.43,m

BC

=0.57,用力矩分配法作由于支座B下沉△B引起的M图。(EI

=常数）lABCD

BlBABCCB分配系数0.430.57固端弯矩-

3i

D6i

Dl

B6i

Dl

Bl

B分配与传递-1.29i

Dl

B-1.71i

Dl

B-

0.86i

Dl

B杆端弯矩-

4.29i

Dl

B4.29i

Dl

B5.14i

Dl

B5.144.29M图(Bl

2·

EI

)DSik=4iikSik=Kl2Sik=4iikSik=4iikSik=4iik练习ikikikikSik=3iikSik=0likikikK12kN/m4m4m2Δi练习i100kNmiiii4m4m50kNm

Δll练习ABCDjCjBMBA

MBC

MCB

MCDMABMBMCmBA

mBC

mCB-MB放松，平衡了MC’固定放松，平衡了-MC’固定固定放松，平衡了8-3

多结点的力矩分配——渐进运算分配系数0.60.40.50.5固端弯矩90-250250 -187.5

112.5分配与传递96

64-23.6→

32← -47.314.2

9.4

→

4.7-1.2

←0.7

0.5

→-47.3 →

-23.6-2.3 -2.3 →-1.20.3-0.1-0.2→

-0.1杆端弯矩-200.9200.9

237.3-237.3

87.6

237.387.6200.9M图(kNm)i=2i=1i=180kN160kN30kN/m3m

3m10m3m

5m例11）该方法仅适用于无侧移刚架或连续梁。2）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。3）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。4）结点不平衡力矩要变号分配。5）结点不平衡力矩的计算：结点不平衡力矩（第一轮第一结点）（第一轮第二、三……结点）固端弯矩之和固端弯矩之和加传递弯矩传递弯矩（其它轮次各结点）总等于附加刚臂上的约束力矩5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。力矩分配法小结：-200/3200/3-1004/7

3/71

0固端弯矩分配系数分配5050

→

257.2 ←

14.316.710.7←→33.35.4与-3.6-

3.6 →

-1.8-2.7←-5.4传递-0.71.3

←

2.6-

0.6

→

-0.31.9-0.5→←1-10.50.3杆端弯矩22.945.754.340.340.3100-1008kN/m100kNm10kN10m0.75EI10mEI10mEI10m1/2

1/2-100例222.945.754.340.3100100-100-100+50

10018杆端弯矩1/21/216/259/25固端弯矩分配与传递分配系数45.554.540.2

-40.2

23423221-13.4

-7.61.7-1.1-0.61642-6.73.3

3.4-0.50.2

0.38kN/mEI100kNm10m100kNmABCD10m10mEI0.75EI23465440100100CDMM/2外伸梁另一种解法：100kN5m5m100kNABEI=常数CD5m5m结点ABCD杆端ABBABCCBCDDC分配系数0.50.50.50.5固端弯矩-125125-125125分配与7.815.6-31.215.6-2-62.57.8-3.9-62.5-3.9-31.2-2传递0.5

1

1

0.5-0.3-0.2杆端弯矩-116.7141.6-141.666.6-66.6-33.2141.6116.766.6250250M图(kNm)33.2例34EI4EI2EI2EI例4取EI=5i=4i=4i=2.5i=2.52kN/m5m5m1m4m20

20kN20kN结点

AEBF杆端

AB

EBBECF

FCmμ00000C

(－20)－2.74－1.37BA

BC

CB0.263

0.316

0.421

0.615

0.38531.25

－20.83

20.83－3.29

－4.39

－2.20MB=31.25－20.83=10.42MC=20.83－20－2.2=－1.370.84

0.530.270.42－0.10－0.14

－0.18－0.05－0.09A

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓BCEF结点

AEBF杆端

AB

EBBECF

FCmμ00000C

(-20)－2.74－1.37BA

BC

CB0.263

0.316

0.421

0.615

0.38531.25

－20.83

20.83－3.29

－4.39

－2.200.84

0.530.270.42－0.10－0.14

－0.18－0.05－0.090.06

0.030.03

0.02－0.01

－0.01

－0.01M

0

－1.42

－2.85

27.80

－24.96

19.94

0.56

0.29计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时针为正)例1．用力矩分配法作图示对称结构的M图。已知：P

=

10kN

,

q

=

1

kN/m

,

横梁抗弯刚度为2EI

，柱抗弯刚度为

EI

。qqP6m6m 3m

3m6mqACBD解：半边结构为

P2注：BD的线刚度增大一倍BABCBDDB分配系数0.4280.2860.286固端弯矩4.50-7.5-7.5分配与传递1.280.860.86-0.86杆端弯矩1.730.86-6.64-8.360.435.766.64