第八节函数连续性与间断点

第八节函数的连续性与间断点一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结思考题12【引言】自然界中的许多现象，如气温的变化、河水的流动、动植物的生长等等都是

连续地变化着的；这种现象在数学上

的反映，就是函数的连续性.一、函数的连续性xx0

x0

x0

+

Dxy

=

f

(

x)Dx0

x0

+

Dx

x0DxDyDyy

=

f

(

x)1.【增量】设函数f

(x)在U

(x0

,d

)内有定义,"x

˛

U

(x0

,d

),当自变量x从初值x0变到终值x0

+Dx时,称Dx为自变量在点x0的增量.Dy

=f

(x0

+Dx)-f

(x0

),称为函数f

(x)相应于Dx的增量.【增量的几何解释】y

y32.【连续的定义】或

lim

[

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)]

=

0,0时,Dy

fi

0,即lim

Dy

=0Dxfi

0则称y

=f

(x)在点x0处连续.⑵【定义1】设函数y

=f

(x)在U

(x0

,d

)内有定义,如果Dxfi

0⑴【概念描述】若当Dx

filim

Dy

=

lim

[

f

(

x0

+

Dx)

-

f

(

x0

)]

=

0,Dxfi

0

Dxfi

0则称y

=f

(x)在点x0处连续.x0称为连续点.设x

=x0

+Dx,Dy

=

f

(x)-

f

(x0

),Dx

fi

0

就是x

fi

x0

,Dy

fi

0

就是f

(x)fi

f

(x0

).故定义又可叙述为:连续的本质4恒有f

(x)-f

(x0

)<e.5=|

Dx

|<d

时,"e

>0,$d

>0,

使当x

-x0③"e

-d"定义:f

(x)在x0连续xfi

x0lim

f

(

x)

=

f

(

x0

).xfi

x0⑶【定义2】设函数y

=f

(x)在U

(x0

,d

)内有定义,如果lim

f

(

x)

=

f

(

x0

)xfi

x0则称函数y

=f

(x)在点x0处连续.【注】f

(x)在x0处连续的三个条件（三条缺一不可）①

f

(x)在x0的某邻域内有定义;②

lim

f

(

x)

$;6【注解】条件条件lim

Dy

=

0Dxfi

0①②lim

f

(

x)

=

f

(

x0

)xfi

x0在本质上是一样的，只是形式上的不同

条件①式清楚地反映了连续概念的实质，即自变量产生微小变化时，函数的变化也很微小.但在证明具体函数的连续性以及作理论分析时，常应用条件②式（因为条件①要具体计算△y,往往很麻烦）Flash动画演示x

„0,

在x

=0x

=

0,0,1处连续【证】

f

(x)

在x0的邻域内显然有定义【补例1】试证函数f

(x)=

x

sin

x

,x7x

fi

0lim

x

sin

1

=

0,又f

(0)=0,由定义2知函数f

(x)在x

=0处连续lim

f

(

x)

=

f

(0),xfi

083.【单侧连续】f

(x)在x0处既左连续又右连续f

(x)在x0

处连续⑴【左连续】f

(x-)=f

(x

),则称f

(x)在点x

左连续.0

0

0⑵【右连续】00f

(x

),即=f

(x

)存在且等于0若

lim

f

(

x)xfi

x

--0

0f

(x+)=f

(x

),则称f

(x)在点x

右连续.0⑶【定理】000f

(x

),即若

lim

f

(

x)

=

f

(

x

)存在且等于+xfi

x+9连续性【解】

lim

f

(

x)

=

lim

(

x

+

2)

=

2

=

f

(0),xfi

0+

xfi

0+lim

f

(

x)

=

lim

(

x

-

2)

=

-2

„

f

(0),xfi

0-

xfi

0-右连续但不左连续，故函数f

(x)在点x

=0处不连续.x

<

0,x

‡

0,在x

=0处的

x

-

2,【补例2】讨论函数f

(x)=

x

+2,4.【连续函数与连续区间】在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果函数在开区间

(a,b)内连续,

并且在左端点x

=

a处右连续,

在右端点

x

=

b处左连续,

则称函数

f

(

x)在闭区间[a,b]上连续.

记连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.【几何表现】f

(

x)

˛

C[a,b].闭区间[a,b]上的连续函数的集合10【相关结论】①

有理函数(多项式)在区间(-¥

,+¥

)内是连续的.∵§5中已证多项式f

(x)有lim

f

(

x)

=

f

(

x0

)xfi

x0②Q(

x)有理分式函数F

(x)=P(x)0(Q(

x

)

„

0)xfi

x0在定义域内连续.

Q(x0

)„0

时，lim

F

(x)=F

(x0

)已证③函数

y

=

x

在(0,+¥

)内是连续的∵§3

例5

已证明x

=

x011xfi

x0x0

>0

时，lim【例3】

证明函数

y

=

sin

x在区间(-¥

,+¥

)内连续.【证】任取x

˛

(-¥

,+¥

),Dy

=

sin(

x

+

Dx)

-

sin

x

=

2

sin

Dx

cos(

x

+

Dx

)2

22

cos(

x

+

Dx

)

£

1,2则Dy

£

2

sin

Dx

.对任意的a

,当a

„0时,有sina

<a

,212故

Dy

£

2

sin

Dx

<

Dx

,\当Dx

fi

0时,Dy

fi

0.即函数y

=sin

x对任意x

˛

(-¥

,+¥

)都是连续的.【相关结论】④

y

=sin

x

及y

=cos

x

在R内连续.13二、函数的间断点xfi

x0函数f

(x)在点x0处连续必须满足的三个条件①

f

(x)在x0的某邻域内有定义;②

lim

f

(

x)

$;lim

f

(

x)

=

f

(

x0

).xfi

x0③【描述】如果上述三个条件中只要有一个不满足，则称函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0

为f

(x)的不连续点（或间断点）.141.

【间断点定义】设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数f

(x)有下列三种情形之一：①在x=x0

没有定义；②虽在

x=x0

有定义，但

lim

f

(

x)不存在；xfi

x0③虽在

x=x0

有定义，且

lim

f

(

x)

存在，但xfi

x0lim

f

(

x)

„

f

(

x0

)xfi

x0则函数f(x)在点x0处不连续（或间断），并称点x0

为f

(x)的不连续点（或间断点）.【特别强调】①连续点要求在x0的某邻域内有定义；间断点要求在x0的某去心邻域内有定义；失去这个前提，则不能研究点x0的连续性.［例如］

f

(x)=cos

x

-

1

,

D

:

x

=

2kp

,

k

˛

Z15定义域是一些离散的点的集合，在这些点的某空心邻域f(x)无定义,则这些点既不是f(x)的连续点，也不是它的间断点②连续点x0与间断点x0的共性是：均要求在x0的某去心邻域内有定义（【思考】为什么？），在这个前提下才有“f

(x)的不连续点就是它的间断点”成立.在x

=0处的连续性1

+

x,

x

>

0,x

£

0,【补例4】讨论f

(x)=

-x,【解】f

(0

-

0)

=

0,

f

(0

+

0)

=

1,

f

(0

-

0)

„

f

(0

+

0),\

x

=

0为函数的跳跃间断点

.2.【函数间断点的几种常见类型】(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点).①［跳跃间断点］如果

f(

x)在点x0处左,

右极限都存在,

但

f

(

x-

)

„

f

(

x+

),

则称点x

为函数0

0

0f

(x)的跳跃间断点.oxy116②［可去间断点］但

lim

f

(

x)

„

f

(

x0

),

或

f

(

x)在点x0处无定xfi

x0义则称点x0为函数f

(x)的可去间断点.如果f

(x)在点x0处的极限存在,【补例5】在x

=1处的连续性.0

£

x

<

1,x

=

1x

>

1,1,1

+

x,2

x,f

(

x)

=

讨论函数oxy121y

=

1

+

xy

=

2

x17【解】

f

(1)

=

1,xfi

1f

(1

-

0)

=

2,

f

(1

+

0)

=

2,\

lim

f

(

x)

=

2

„

f

(1),\x

=1为函数的可去间断点.【说明】可去间断点只要改变（原来有定义时）或者补充（原来无定义时）间断点处函数的定义,

则可使其变为连续点，故称其为可去间断点.oxy11821如例5中,令f

(1)=2,在x

=1处连续.x

‡

1,1

+

x,x, 0

£

x

<

1,则f

(x)=

2oxy121跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.【特点】函数在间断点x0处的左、右极限都存在.可去型：左右极限存在且相等.跳跃型：左右极限存在但不相等.19(2)【第二类间断点】如果f

(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在,则称点x0为函数f

(x)的第二类间断点【补例6】x

>

0,x

£

0,

1

,

x,讨论函数f

(x)=

x【解】ox在x

=0处的连续性.yf

(0

-

0)

=

0,20f

(0

+

0)

=

+¥

,\x

=1为函数的第二类间断点这种情况称为无穷间断点00-

+f

(x

)中至少有一个是¥

，称之.【特点】f

(

x

)

与x【例7】

讨论函数

f

(

x)

=

sin

1

在

x

=

0处的连续性.【解】

在x

=0处没有定义,xy

=

sin

1且lim

sin

1

不存在.21xxfi

0\x

=0为第二类间断点.这种情况称为振荡间断点.【特点】0

0-

+f

(x

)中至少有一个因函数f

(x

)与振荡而不存在，但均不为∞，称之.当x是有理数时,0,

当x是无理数时,y

=

D(

x)

=

1,狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.-

x,f

(

x)

=

x,当x是有理数时,当x是无理数时,仅在x

=

0

处连续, 其余各点处处间断.特别地★★课后习题P655（3）反例22【注意】不要以为函数的间断点只是个别的几个点.ox1x2x3x在定义域R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.【观察练习】立即说出下列间断点类型:yy

=

f

x)

1,

当x是有理数时,当x是无理数时,f

(

x)

=

-

1,★课后习题P655（2）反例23又如:2x

=

px

=1ox

=

0y1y

=

tan

xp2xyoxyxy

=

sin

1024无穷间断点振荡间断点可去间断点25【补例8】当a取何值时,x

‡

0,x

<

0,在x

=0处连续.a

+

x,函数f

(x)=cos

x,【解】

f

(0)

=

a,lim

f

(

x)

=

lim

cos

xxfi

0-

xfi

0-=

1,lim

f

(

x)

=

lim

(a

+

x)

=

a,xfi

0+

xfi

0+要使f

(0

-0)=f

(0

+0)=f

(0),故当且仅当

a

=

1时,

函数

f

(

x)在

x

=

0处连续.

a

=

1,【典型补充例题】——备用机动题【补充1】判断函数y

=f

(x)=x[x]的间断点.【解】

[

x]

的间断点为则

x[

x]的间断点为x

=0

是连续点x

=

0,–1,–2,x

=

–1,–2,

lim

x[

x]

=

0

=

f

(0)xfi

0当N

=–1,–2,时是间断点因为lim

x[

x]

=

N

(

N

-

1)xfi

N

-lim

x[

x]

=

N

2xfi

N

+所以

x

=

–1,–2,是f

(

x的)

第一类间断点（跳跃型）26【补充2】判断函数y

=f

(x)=[x]+[-x]的连续性.【解】0

f

(

x)

=

-

1k

<

x

<

k

+

1x

=

kk

˛

Zlim

f

(

x)

=

-1xfi

k-f

(k

)

=

027则\

lim

f

(

x)

=

-1xfi

k+x

=

k

(k

˛

Z

)是f

(x的)第一类（可去）间断点.28右连续三、小结左连续1.

f

(x)在点x0

连续的等价形式第一类间断点