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文档简介
半角模型半角模型:指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。条件:四边形ABCD中,E、F分别在BC、CD(或延长线上),具备下列三个条件:①AB=AD(共顶点等线段);②∠BAD=2∠EAF;(共顶点的倍半角)③∠B+∠ADC=180°(或∠BAD+∠BCD=180°)(对角互补四边形)结论:EF=BE+DF(延长线上为EF=BE-DF);AE平分∠BEF,AF平分∠EFD。情形一:角内含半角(补短)情形二:角外含半角(截长)模型一:90°夹45°例1、如图,点E、F分别是正方形BC、CD上的点,∠EAF=45°,求证:(1)DF+BE=EF;(2)AE平分∠BEF,AF平分∠EFD证明:延长CB至点G,使得BG=DF(在CD上补BE亦可)△ABG≌△ADF(SAS)△AEG≌△AEF(SAS)90°外夹45°例2、如图,在正方形ABCD中,E、F为CB、DC延长线上点,且∠EAF=45°,探究线段EF、BE、DF之间的数量关系,并证明。类型二、120°角夹60°例3、如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,E,F分别为BC,CD上的点,∠EAF=∠C=60°,求证(1)EF=BE+DF;(2)点A在∠BCD的平分线上.练习:1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=60°,∠ADC=60°,AB=BC,E、F分别在AD、DC延长线上,且∠EBF=60°,求证:AE=EF+CF例4、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:当M、N分别在直线AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.(1)如图1,当点M、N边AB、AC上,且DM=DN时,BM、NC、MN之间的数量关系是;此时=;(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,且当DM≠DN时,猜想(I)问的两个结论还成立吗?若成立请直接写出你的结论;若不成立请说明理由.(3)如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,探索BM、NC、MN之间的数量关系如何?并给出证明.任意角夹半角例5、已知,如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,AB=AD,E,F分别是线段BC,CD上的点,且BE+FD=EF.求证:∠EAF=∠BAD.练习(1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD.求证:EF=BE+FD;(2)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?(3)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=∠BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.例6、(1)如图1,已知正方形ABCD中,∠MAN=45°,猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系?并证明.(2)如图2,已知四边形ABCD中,AB⊥BC于点B,AD⊥CD于点D,AB=AD,∠BAD=120°,∠MAN=60°,(1)中线段BM与DN之间的关系还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.(3)张大爷有一块五边形的土地,如图3,已知AB=AE=6,BC=4,DE=3,∠BAE=2∠CAD,AB⊥BC于点B,AE⊥DE于点E,请你帮助张大爷计算这块土地的面积.课后练习1.如图,等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合,将此三角板绕点A旋转,使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F,连结EF.若EF=5,DF=2,则BE的长为.(第1题)(第2题)2.如图,△ABC为等边三角形,BD=CD,∠BDC=120°,BC=2,M、N分别在边AB,AC上,且∠MDN=60°,则△AMN的周长等于.3.在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD.以点C为顶点的∠ECF在四边形ABCD的内部绕点C旋转,角的两边分别与AB、AD交于点E、F,∠ECF=∠BCD.(1)若∠BCD=120°,①如图1,当∠B=90°,∠BCE=30时,求证:EF=BE+DF;②如图2,当∠B≠90时,①中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;③在∠ECF绕点C旋转的过程中,①中的结论是否仍然成立,请直接写出你的结论;(2)如图3,若∠BCD为任意的一个角(0°<∠BCD<180°),在∠ECF绕点C旋转的过程中,①中的三条线段BE,DF,EF之间的数量关系是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请直接写出你的结论.4.如图1,四边形ABCD,将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转,角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一边与CB的延长线交于点E,连接EF.(1)如果四边形ABCD为正方形,当∠EAF=45°时,有EF=DF﹣BE.请你思考如何证明这个结论(只需思考,不必写出证明过程);(2)如图2,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC=∠ADC=90°,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系?请写出它们之间的关系式(3)如图3,如果在四边形ABCD中,AB=AD,∠ABC与∠ADC互补,当∠EAF=∠BAD时,EF与DF、BE之间有怎样的数学关系?请写出它们之间的关系式并给予证明;(4)在(3)中,若BC=4,DC=7,CF=2,求△CEF的周长(直接写出结果即可).5.已知正方形ABCD,一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合,将此三角板绕A点旋转时,两边分别交直线BC、CD于M、N.(1)当M、N分别在边BC、CD上时(如图1),求证:BM+DN=MN;(2)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图2),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请直接写出结论;(不用证明)(3)当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时(如图3),线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系,请写出结论并写出证明过程.6.问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=60°,探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点G,使DG=BE.连结AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是;(2)探索延伸:如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍成立,并说明理由;(3)实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(点O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等.接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进,同时,舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/时的速度前进,2小时后,指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处,且两舰艇之间的夹角为70°,试求此时两舰艇之间的距离.7.如图,△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠BAC=∠DFE=90°,AB=AC,FD=FE
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