半角模型训练

半角模型半角模型：指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。条件：四边形ABCD中，E、F分别在BC、CD（或延长线上），具备下列三个条件：①AB=AD（共顶点等线段）；②∠BAD=2∠EAF；（共顶点的倍半角）③∠B+∠ADC=180°（或∠BAD+∠BCD=180°）（对角互补四边形）结论：EF=BE+DF（延长线上为EF=BE-DF）；AE平分∠BEF，AF平分∠EFD。情形一：角内含半角（补短）情形二：角外含半角（截长）模型一：90°夹45°例1、如图，点E、F分别是正方形BC、CD上的点，∠EAF=45°，求证：（1）DF+BE=EF；（2）AE平分∠BEF，AF平分∠EFD证明：延长CB至点G，使得BG=DF（在CD上补BE亦可）△ABG≌△ADF（SAS）△AEG≌△AEF（SAS）90°外夹45°例2、如图，在正方形ABCD中，E、F为CB、DC延长线上点，且∠EAF=45°，探究线段EF、BE、DF之间的数量关系，并证明。类型二、120°角夹60°例3、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，E，F分别为BC，CD上的点，∠EAF=∠C=60°，求证(1)EF=BE+DF；（2）点A在∠BCD的平分线上.练习：1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=60°，∠ADC=60°，AB=BC，E、F分别在AD、DC延长线上，且∠EBF=60°，求证：AE=EF+CF例4、在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．任意角夹半角例5、已知，如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，E，F分别是线段BC，CD上的点，且BE+FD＝EF．求证：∠EAF＝∠BAD．练习（1）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．例6、（1）如图1，已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系？并证明．（2）如图2，已知四边形ABCD中，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠MAN＝60°，（1）中线段BM与DN之间的关系还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）张大爷有一块五边形的土地，如图3，已知AB＝AE＝6，BC＝4，DE＝3，∠BAE＝2∠CAD，AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，请你帮助张大爷计算这块土地的面积．课后练习1．如图，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连结EF．若EF＝5，DF＝2，则BE的长为．(第1题)(第2题)2．如图，△ABC为等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，BC＝2，M、N分别在边AB，AC上，且∠MDN＝60°，则△AMN的周长等于．3．在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD．以点C为顶点的∠ECF在四边形ABCD的内部绕点C旋转，角的两边分别与AB、AD交于点E、F，∠ECF＝∠BCD．（1）若∠BCD＝120°，①如图1，当∠B＝90°，∠BCE＝30时，求证：EF＝BE+DF；②如图2，当∠B≠90时，①中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；③在∠ECF绕点C旋转的过程中，①中的结论是否仍然成立，请直接写出你的结论；（2）如图3，若∠BCD为任意的一个角（0°＜∠BCD＜180°），在∠ECF绕点C旋转的过程中，①中的三条线段BE，DF，EF之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出你的结论．4．如图1，四边形ABCD，将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转，角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一边与CB的延长线交于点E，连接EF．（1）如果四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，有EF＝DF﹣BE．请你思考如何证明这个结论（只需思考，不必写出证明过程）；（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，当∠EAF＝∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（3）如图3，如果在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．5．已知正方形ABCD，一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC、CD于M、N．（1）当M、N分别在边BC、CD上时（如图1），求证：BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图2），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3），线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系，请写出结论并写出证明过程．6.问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍成立，并说明理由；（3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（点O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进，同时，舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/时的速度前进，2小时后，指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．7．如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE