两个自由度体系的自由振动参考三

（1）主振型m1m2Y21Y11Y12Y22最小圆频率称为第一(基本)圆频率：——第二圆频率特征方程频率方程§14-4两自由度体系的自由振动一、刚度法1令主振型二、柔度法2三、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，则存在：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。第一主振型第二主振型3由功的互等定理：上式分别乘以ω12、ω22，则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。4§14-5两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平稳阶段，各质点也作简谐振动：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷载频率θ与任一个自振频率ω1、ω2重合，则D0=0,当D1、D2不全为零时，则出现共振现象....5m2m1k2k1例：质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m，k1=k2=k63.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况7l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是12k2211mkw--2212YY==－1当θ=ω2

，D0=0，也有：不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。

对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。

8kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:

Qst1=P动荷载产生的位移幅值和内力幅值θ2mY2θ2mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:9例14-9：m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2这说明在右图结构上，适当加以m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定，再确定10例：如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psinθt解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）由k2m2弹簧刚度系数为：N/m=102kg11§14-9近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T和应变能U

之和应等于常数。根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求频率

如梁上还有集中质量mi，位移幅值.Yi为集中质量mi处的位移幅值。12假设解位移轮幅值彻函数Y(x)必须睛注意旗以下求几点川：1、刻必须扁满足掩运动企边界烘条件昂：（铰松支端愚：Y=0药；固罩定端怕：Y=0膝，Y´=誉0）尽量村满足患弯矩乖边界怕条件请，以贼减小妙误差累。剪自力边瞎界条皆件可苏不计董。2、叹所设梢位移体幅值生函数么应与像实际狐振型舱形状红大致封接近其；如奏正好并与第n主振换型相俯似，称则可翁求的ωn的准芦确解温。但钓主振碗型通渔常是炒未知暴的，愧只能老假定柳一近验似的遮振型赢曲线异，得踏到频亏率的宵近似挽值。恰由于烟假定杯高频纯率的丢振型糟困难惹，计捞算高晋频率溉误差掩较大茄。故Ra电yl识ei崖gh法主葵要用胖于求ω1的近祥似解绪。3、刷相应逐于第迈一频多率所鸟设的朴振型处曲线串，应爹当是锤结构野比较装容易颠出现熊的变赴形形奔式。方曲率当小，舍拐点浪少。4、摆通常西可取置结构店在某龙个静士荷载q（x）（雹如自糊重）疤作用衣下的使弹性摔曲线高作为Y（x）的程近似猴表达具式。毕此时伶应变哪能可峡用相眠应荷纺载q（x）所穗作的则功来聪代替搅，即132）荒假设脆均布幅荷载q作用愿下的占挠度伏曲线攻作为Y(抗x)例1门2持试求获等截匀面简唤支梁疏的第趴一频爸率。1）贪假设毒位移鉴形状俱函数爪为抛坊物线lyx满足饭边界煮条件美且与怨第一国振型恼相近3）琴假设第一色振型演的精司确解朗。精确解14xh0l例1尽3早求楔岔形悬睛臂梁眠的自围振频遵率。篮设票梁截斧面宽李度为焦1戴，高凡度为h=执h0x/抗l。解：单位忽长度虹的质楚量：设位吗移形构状函香数：满足尘边界坐条件插：Ra轮yl临ei拥gh法所渣得频率运的近齐似解怒总是排比精甚确解山偏高。其原分因是求假设亿了一睁振型激曲线蔽代替库实际俱振型寄曲线夺，迫熟使梁启按照招这种界假设萌的形扇状振开动，现相当蹦于给武梁加东上了晨某种互约束系，增葱大了激梁的轮刚度阅，致朵使频仅率偏何高。当所蒙设振态型越和接近翼于真亩实，宋则相片当于沉对体贪系施解加的集约束业越小演，求扰得的枕频率现越接怖近于能真实塞，即识偏高符量越暑小。截面骨惯性耐矩：相比误差为3%与精确解151、缺假设勉多个码近似鹿振型都满第足前逢述两喊个条孙件。2、摆将它勇们进拒行线饶性组堪合（a1、a2、··雁··柏··那··差·、an是待梨定常峰数）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj3、钥确定遇待定屑常数仪的准策则是塑：获得绪最佳舰的线削性组慰合，这沃样的Y（x）代煎入频露率计除算公酿式中律得到着的ω2的值源虽仍顶比精敏确解天偏高少，但碧对所该有的育a1，a2，…买，an的可住能组乒合，严确实贸获得更了最萝小的畏ω2值。所选炕的a1，a2，…凳，an使ω2获得婆最小途值的婆条件引是这是蹦以a1，a2，…元，an为未屯知量栽的n猎个奇马次线嗓性代筛数方绝程。江令其士系数俊行列捧式等极于零稿，得灿到频旷率方舌程，创可以缝解出黄原体伍系最梢低n阶频啦率来皂。阶售次越羡低往鹊往越醒准。为了睬使假寄设的舰振型办尽可刚能的戴接近夺真实暑振型赞，尽疮可能族减小音假设纷振型狠对体苹系所伙附加临的约姓束，Ri绸tz提出真了改气进方并法：162w2w2w2w2w17例1轰4影用Ra抹yl镜ei宜gh滤—R欠it仔z法求责等截孟面悬筝臂梁当的最诉初几呆个频巩率。xl解：掩悬臂慨梁的洽位移教边界旱条件险为：（在左端）Y’=0Y=0只取君第一革项代入夺：代入蹦频率方饰程：其精慨确解牵：与精别确解迁相比避，误漠差为固27罢%。18例1瞎4御用Ra蝴yl质ei精gh壳—R梨it语z法求策等截害面悬军臂梁湿的最磨初几龟个频呢率。xl解：取两尺项代入药：代入己频率安方程置：求得kij，mij：求得麦最初两因个频率旱近似值锁：（0副.4县8%杠）（5背8%筹）说明说明：1睁)由墓于φ1、φ2均近题似于富第一抗振型惰，由还它们披组合劣的第桑二振怎型自割然很椅差，故第诞二频番率不粗准。2)Ra热yl工ei判gh念—R胳it夕z法所游得结绑果仍晒然偏氏高，舒其原纵因同油瑞利摆法。192、谨集中栏质量招法在计里算无天限自掌由度撞体系商的自咽振频奶率时践，可捡以用摩若干境个集类中质端量来托代替今连续稻分布票的质圈量。嗽关于扫质量长的集魄中方岩法有咱多种悉，最案简单痛的是鸡静力胸等效锹的集塑中质缴量法每。该法彼既可交求基续本频资率，结也可盘求较录高频膏率。威且适送用于姑各类激结构缘瑞。集中列质量煤的数弱目越朗多结虎果越杜精确雹，但累工作扬量也竞就越趟大。等效胆原则：使御集中弯后的吉重力朝与原衡重力鼠互为僵静力虽等效瓣，即拨两者户的合环力相初等。作希法坑：将杆沾分为税若干典段，距将每稀段质片量集累中于懒其质榨心或阴集中闲于两登端。l例1岛5下试用插集中孕质量饺法求颂简支晕梁