辽宁省沈阳市第九十七中学2021年高二数学文期末试卷含解析

辽宁省沈阳市第九十七中学2021年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为(

)A. B.C. D.参考答案：A【分析】求得f（x）的导数，可得切线l1的斜率k1，求得g（x）的导数，可得切线l2的斜率k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合正弦函数的值域和条件可得，?x1，?x2使得等式成立，即（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得a的范围即可．【详解】解：函数f（x）＝1n（x+1）+x2，∴f′（x）2x，（其中x＞﹣1），函数g（x）asincosxasinx﹣x，∴g′（x）acosx﹣1；要使过曲线f（x）上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则[2x1）（acosx2﹣1）＝﹣1，acosx2﹣1，∵2x12（x1+1）﹣2≥22∵?x1，?x2使得等式成立，∴（，0）?[﹣1|a|，﹣1|a|]，解得|a|，即a的取值范围为a或a．故选：A．【点睛】本题考查导数的应用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及转化思想的运用，区间的包含关系，考查运算能力，属于中档题．2.下列事件中，是随机事件的是（）①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；②某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；③异性电荷，相互吸引；④某人购买体育彩票中一等奖．A．②④ B．①②④ C．①②③④ D．②③④参考答案：B【考点】随机事件．【分析】由题意知①②③④所表示的事件，有可能发生，也有可能不发生，在事件没有发生之前，不能确定它的结果，只有第四个事件是不发生就知道结果的．【解答】解：由随机事件的意义知，本题所给的4个事件中，只有③是一个必然事件，其他的事件都是随机事件，故选：B．3.下列关于随机抽样的说法不正确的是（

）A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2008个零件，先用随机数表法剔除8个，再用系统抽样方法抽取抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样参考答案：C略4.若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则x的值等于（）A．1 B．0或32 C．32 D．log25参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意，可得lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质可得lg[2?（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解可得2x的值，由指数的运算性质可得答案．【解答】解：若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则lg2+lg（2x+3）=2lg（2x﹣1），由对数的运算性质可得lg[2?（2x+3）]=lg（2x﹣1）2，解得2x=5或2x=﹣1（不符合指数函数的性质，舍去）则x=log25故选D．【点评】本题考查指数、对数的运算性质以及等差数列的性质，解题时注意结合指数函数的性质，否则容易产生增根．5.设x、y满足，则目标函数z＝x＋y()

A．有最小值2，无最大值

B．有最小值2，最大值3

C．有最大值3，无最小值

D．既无最小值，也无最大值参考答案：A6.已知随机变量则使取得最大值的k值为（）A.2

B.3

C.4

D.5参考答案：A7.椭圆的两个焦点分别为F1、F2，P为椭圆上的一点，已知PF1PF2，则PF1F2的面积为（）A.9

B.12 C.10

D.8参考答案：A8.“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的（）A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分而不必要条件 D．必要而不充分条件参考答案：D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”?“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”即可判断出结论．【解答】解：“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”?“mn＜0”，反之不成立，可能是“方程mx2+ny2=1表示焦点在x轴上的双曲线”．∴“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的必要不充分条件．故选：D．9.在△ABC中，，，∠B=45°，则∠A为(

)．A.30°或150°

B.60°或120° C.60° D.30°参考答案：B10.设定点F1（0，－2）、F2（0，2），动点P满足条件，则点P的轨迹是（

） A．椭圆

B．线段

C．不存在

D．椭圆或线段参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数是定义在R上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则其中所有正确命题的序号是--------____________。

①2是函数的周期；②函数在上是减函数，在上是增函数；

③函数的最大值是1，最小值是0；④当时，。参考答案：①②④12.命题“，”是

命题(选填“真”或“假”).参考答案：真当时，成立，即命题“，”为真命题.

13.函数f（x）=x2在点（1，f（1））处的切线方程为

．参考答案：2x﹣y﹣1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求导函数，确定切线的斜率，确定切点坐标，利用点斜式，可得方程．解答：解：由题意，f′（x）=2x，∴f′（1）=2，∵f（1）=1∴函数f（x）=x2在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0故答案为：2x﹣y﹣1=0．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．14.过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若，则此直线的方程为_________．参考答案：

15.在四面体PABC中，PB＝PC＝AB＝AC，M是线段PA上一点，N是线段BC的中点，则∠MNB＝________.参考答案：16.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是由半球和长方体组成的组合体；V球=．【解答】解：该几何体是由半球和长方体组成的组合体；其中半球的体积为V1=×=；长方体的体积为V2=2×2×3=12，则该几何体的体积为V=V1+V2=．17.已知=（2，1，3），=（﹣4，2，x）且⊥，则|﹣|=．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【分析】由垂直可得数量积为0，进而可得x值，可得向量的坐标，由模长公式可得．【解答】解：∵，，且，∴=2×（﹣4）+1×2+3x=0，解得x=2，故=（2，1，3）﹣（﹣4，2，2）=（6，﹣1，1），∴==，故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的运算，涉及向量的垂直和模长的求解，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案：解：（Ⅰ），其定义域是

…………1分

令，得，（舍去）。

……………..

3分当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；即函数的单调区间为，。

………………..

6分（Ⅱ）设，则，

…………7分当时，，单调递增，不可能恒成立，

当时，令，得，（舍去）。当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减；

故在上的最大值是，依题意恒成立，……………9分

即，…又单调递减，且，………10分故成立的充要条件是，所以的取值范围是………12分19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知，若实数使得（为坐标原点）.(Ⅰ)求点的轨迹方程； (Ⅱ)当时，是否存在过点的直线与(Ⅰ)中点的轨迹交于不同的两点（在之间），且[.若存在,求出该直线的斜率的取值范围,若不存在,说明理由.参考答案：20.铁人中学高二学年某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主．）（1）根据茎叶图，帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯；（2）根据以上数据完成下列2×2的列联表：

主食蔬菜主食肉类合计50岁以下人数

50岁以上人数

合计人数

（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系？附：.0.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）能【分析】（1）根据茎叶图，得到30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．（2）根据茎叶图所给的数据，能够完成2×2列联表．（3），求出K2，能够求出结果．【详解】(1)在30位亲属中，50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉为主．(2)2×2的列联表如下：

主食蔬菜主食肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030

(3)）由（2）2×2的列联表算得：K210＞6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查了独立性检验的实际应用及卡方的运算，考查了数据分析整理的能力及运算能力，是基础题．21.已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．（1）证明：PF⊥FD；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PD﹣F的余弦值．参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（Ⅱ）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（Ⅲ）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角，解三角形MNF可得答案．【解答】解法一：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，AB=1，AD=2，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．不妨令P（0，0，t）∵，∴，即PF⊥FD．（Ⅱ）设平面PFD的法向量为，由，得，令z=1，解得：．∴．

设G点坐标为（0，0，m），，则，要使EG∥平面PFD，只需，即，得，从而满足的点G即为所求．（Ⅲ）∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为∴，故所求二面角A﹣PD﹣F的余弦值为．解法二：（Ⅰ）证明：连接AF，则，，又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，∴（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且，∴平面GEH∥平面PFD∴EG∥平面PFD．从而满足的点G即为所求．

（Ⅲ）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．∴PA=AB=1取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A﹣PD﹣F的平面角∵Rt△MND∽Rt△PAD，∴，∵，且∠FMN=90°∴，，∴22.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切.（1）求直线被圆C所截得的弦AB的长；（2）过点作两条与圆相切的直线，切点分别为，求直线的方