南京大学2021年《高等数学Ⅰ》期末考试试题及答案解析

一、填空题(本题24分，每小题3分)2atxt2atlim1设x0 0xsinx1则a .lim2设ysinf(x2)数f(u)则dy .13数f(x)xarctanx,x0则f(x)为 ，2, x01为 .4设f(sin2x)s2x则f(x)dx .23sinx5、21x2)0sx23sinx6线xas3t,yasin3t为 .7知ex2dx

分ex2xdx .x8设f(x)1(0x)为S(x)则S(3) .x共16分，其中第1小题8分，第2题8）n n nn11限li(n21n22n2n n nn1x4cosx2,ex,2数f(x)a,ln13x)bx

x0x0在(,)求a,b.x0（10分）设上证A股中某只股票历年来的走势指数曲线为x1C:f(x)x22x2，求1）f(x)的增减区间和极值（2）f(x)x1间及拐点（3）f(x)的渐近.四（8分）求幂级数2n1x2n的收敛区间，并在其收敛区间内求其和函数.n1!五（10分）求曲线yx22x，y0，x1，x3所围成的平面图形的面积S，并求该平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V.六（共12分，其中第1小题6分，第2题6）算1、 ；dx2x511x428x339x232x132x37x2算1、 ；dx2、 .dx1a2、 .dx1 x1x)2（8分）设{a}是单调增加且有界的数列（其中a0,n,2,3,，证n n 明级数1an n1 an1八（共12分，其中第1小题6分，第2题6）1设f(x)在[0]在(0)且f)0点(0)得f)2f)0.u02设xt(2u)2du求dy,d2y.u02y ntn1 dxdx22nn1参考答案一1.a4；2.dysf(x2)f(x2)2xdx；3.x0，第一类可去间断点；4.

f(x)dx1x31x2CxC；6 2 1 25.0；6.a；7.

1e4

；8.S(3)3.2 2n n n n n二、1.n2nn21n22n2n2 2n n n n nn1 nn且limn2,limn21，nn1 nnn n nn由夹逼原理可: li(n21n22n2n)n n nn1.依题意可知要使f(x)在(,)内连续，只要f(x)在x0处连续即可，即要f(00)f(00)f(0).而f(0)a，f(00)limx0

f(x)lim[ln13x)b]3b，x0 xf(00)limx0

f(x)limx0

x41x2ex1

mx310，x0 x2由3b0a可得，a0,b3.三、f(x)

x(x2) 2，f(x)(x)2 ，f(x)

.f(x)在(,0),(2,)上单调增加，在(0),,2)上单调减少；在x0处取极大值f(0)2，在x2处取极小值f(2)2；在(1)是凸的，在,)是凹的；渐近线有x,yx1.四limun1n un

(2n3)x2(n1) lim n (n)!(2nlim

n1limx201，nn1所以原级数的收敛区间为(,).设S(x)2n1x2n，则n1!xS(xdxx2n10 n1

x(x2)nn1

[(x2)nn0

]x(ex2)，所以S(x)[x(ex22x2ex2ex21.五、S2(2xx2)dx3(x22x)dx242；1 2 33V

3y2dx3(x22x)2dx46.1 1 15六、1.，x2x32x511x428x339x232x13 x22x42x37x28x322x37x，x2x3x22x4 x22x4 设2x37x28x3(x)2(2x3 设

A Bx1(x)2

D2x3，D由待定系数法可得：A2,B,D5，原式[x22x3

2 1x1(x)2

52x3dx51x3x23x2lnx13

15x12ln2x3C.152.

dx21arc dx21x1x)122

arsinxd1(x)2

x21arcsinxdarcsinx12(arcsinx)2112

2.16七、依题意，有01anan1

an1 n n1 na an1 1

，}故ma存在.n n n对于级数(aa)，有limSn1 n nnnn

lim(aa)a，n n1 1 1a由级数收敛的定义知，(aa)收敛，从而an1an收敛.n1 nan1 n1 1 由比较判别法知，级数1an n1 an1八、1．设F(x)x2f(x)，由罗尔定理可得结论.2.当2t2时，tydttn0n12