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文档简介
湖南省衡阳市衡东县莫井中学高一数学理上学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.下列函数中,是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是(
)A.y=logx B. C.y=﹣x3 D.y=tanx参考答案:C【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【专题】数形结合;数学模型法;函数的性质及应用.【分析】A.y=logx(x>0)为非奇非偶函数,即可判断出正误;B.在区间(0,1)内单调递增;C.y=﹣x3,满足题意;D.y=tanx在区间(0,1)内单调递增.【解答】解:A.y=logx(x>0)为非奇非偶函数,不正确;B.是奇函数,但是在区间(0,1)内单调递增,不正确;C.y=﹣x3,是奇函数且在区间(0,1)内单调递减,正确;D.y=tanx是奇函数,但是在区间(0,1)内单调递增,不正确.故选:C.【点评】本题考查了函数奇偶性与单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.已知函数是上的增函数,则a的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略3.函数是偶函数,则函数的单调递增区间为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:B略4.函数的一条对称轴方程是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:A略5.
如图:D、C、B三点在地面同一直线上,DC=,从C、D两点测得A点仰角分别β,α(α<β),则A点离地面的高度AB等于(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:A略6.如图,在中,,,是的中点,则().A.3 B.4 C.5 D.6参考答案:B∵是边的中点,∴,∴.故选.7.若且,则角是
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角参考答案:B8.如图所示,一个空间几何体的正视图和俯视图都是边长为2的正方形,侧视图是一个直径为2的圆,则该几何体的表面积是()A.4π B.6π C.8π D.16π参考答案:B【考点】由三视图求面积、体积.【专题】计算题;方程思想;综合法;立体几何.【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是圆柱体,根据数据求出它的表面积.【解答】解:根据几何体的三视图,知该几何体是底面直径为2,高为2的圆柱体;∴该圆柱体的表面积是S=2S底+S侧=2π×12+2π×1×2=6π.故选:B.【点评】本题考查了三视图的应用问题,解题时应根据三视图,得出几何体的形状与数据特征,从而求出答案,是基础题.9.设是定义在R上的奇函数,当时,,则=
。参考答案:-9略10.在四边形ABCD中,若·=-||·||,且·=||·||,则该四边形一定是A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形参考答案:A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数定义域是,则的定义域是
参考答案:12.已知实数x,y满足,则的取值范围是.参考答案:[,]【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,再由的几何意义,即可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率求解.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,联立方程组求得A(3,﹣1),B(3,2),又,.∴的取值范围是[,].故答案为:[,].13.已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,Sn为其前n项和,且满足an2=S2n﹣1(n∈N+).若不等式≤对任意的n∈N+恒成立,则实数λ的最大值为.参考答案:【考点】数列递推式.【分析】通过在an2=S2n﹣1中令n=1、2,计算可知数列的通项an=2n﹣1,进而问题转化为求f(n)=的最小值,对n的值分奇数、偶数两种情况讨论即可.【解答】解:∵an2=S2n﹣1,∴a12=S1=a1,又∵an≠0,∴a1=1,又∵a22=S3=3a2,∴a2=3或a2=0(舍),∴数列{an}的公差d=a2﹣a1=3﹣1=2,∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,∴不等式≤对任意的n∈N+恒成立,即不等式≤对任意的n∈N+恒成立,∴λ小于等于f(n)=的最小值,①当n为奇数时,f(n)==n﹣﹣随着n的增大而增大,∴此时f(n)min=f(1)=1﹣4﹣=;②当n为偶数时,f(n)==n++>,∴此时f(n)min>>;综合①、②可知λ≤,故答案为:.14.已知实数满足则实数的取值范围为__________。参考答案:15.已知函数,对于下列命题:①若,则;②若,则;③,则;④.其中正确的命题的序号是(写出所有正确命题的序号).
参考答案:①②略16.反函数是_____________________________。参考答案:17.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f(9)=
.参考答案:3【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用.【专题】计算题.【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式,代入点的坐标,求出幂函数的解析式,再求f(16)的值【解答】解:由题意令y=f(x)=xa,由于图象过点(2,),得=2a,a=∴y=f(x)=∴f(9)=3.故答案为:3.【点评】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用,解题的关键是熟练掌握幂函数的性质,能根据幂函数的性质求其解析式,求函数值.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知圆O:x2+y2=1和定点A(2,1),由圆O外一点P(a,b)向圆O引切线PQ,切点为Q,且满足|PQ|=|PA|.(1)求实数a、b间满足的等量关系;(2)求线段PQ长的最小值.参考答案:【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)因为Q是切点,由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2,列出等式即可;(2)点P在直线l:2x+y﹣3=0上.|PQ|min=|PA|min,即求点A到直线l的距离;【解答】解:(1)连OP,∵Q为切点,PQ⊥OQ,由勾股定理有|PQ|2=|OP|2﹣|OQ|2又由已知|PQ|=|PA|,故:(a2+b2)﹣12=(a﹣2)2+(b﹣1)2化简得实数a、b间满足的等量关系为:2a+b﹣3=0.(2)由(1)知,点P在直线l:2x+y﹣3=0上.∴|PQ|min=|PA|min,即求点A到直线l的距离.∴|PQ|min═=19.已知集合,若,求实数的值及。参考答案:,20.设(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的最小值。参考答案:21.如图,在三棱锥P—ABC中,△PBC为等边三角形,点O为BC的中点,AC⊥PB,平面PBC⊥平面ABC.(1)求直线PB和平面ABC所成的角的大小;(2)求证:平面PAC⊥平面PBC;(3)已知E为PO的中点,F是AB上的点,AF=AB.若EF∥平面PAC,求的值.参考答案:(1)60°;(2)证明见解析;(3)【分析】(1)先找到直线PB与平面ABC所成的角为,再求其大小;(2)先证明,再证明平面PAC⊥平面PBC;(3)取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,再求出的值.【详解】(1)因为平面PBC⊥平面ABC,PO⊥BC,平面PBC∩平面ABC=BC,,所以PO⊥平面ABC,所以直线PB与平面ABC所成的角为,因为,所以直线PB与平面ABC所成角为.(2)因为PO⊥平面ABC,所以,因为AC⊥PB,,所以AC⊥平面PBC,因为平面PAC,所以平面PAC⊥平面PBC.(3)取CO的中点G,连接EG,过点G作FG||AC,由题得EG||PC,所以EG||平面APC,因为FG||AC,所以FG||平面PAC,EG,FG平面EFO,EG∩FG=G,所以平面EFO||平面PAC,因为EF平面EFO,所以EF||平面PAC.此时AF=.【点睛】本题主要考查空间几何元素垂直关系的证明,考查线面角的求法,考查空间几何中的探究性问题,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.(1)已知tanα=,求的值.(2)已知<β<α<,cos(α﹣β)=,sin(α+β)=﹣,求sin2α的值.参考答案:【考点】GP:两角和与差的余弦函数;GI:三角函数的化简求值;GQ:两角和与差的正弦函数.【分析】(1)利用诱导公式化简,再“弦化切”思想可得答案;(2)根据<β<α<,cos(α﹣β)=,sin(α+β)=﹣,求出sin(α﹣β),cos(α+β),那么s
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