浙江省丽水市龙泉育才中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

浙江省丽水市龙泉育才中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若随机变量，且，则（

）A.0.6

B.0.5

C.0.4 D.0.3参考答案：A∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴对称轴是x=3．∵P（X≥5）=0.2，∴P（1＜X＜5）=1﹣2P（X≥5）=1﹣0.4=0.6．故选：A．

2.定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则()A．

B．

C．

D．参考答案：C依题意得：，∴，故可得，∴，，再由裂项求和法，可得，故应选C．3.已知，若是的最小值，则的取值范围为A．[-1,2]

B．[-1,0]

C．[1,2]

D．[0,2]参考答案：D略4.圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为（

）A．720

B．360

C．240

D．120参考答案：D略5.的定义域为

（

）

A．

B.

C.

D.参考答案：C6.圆与直线有公共点的充分不必要条件是

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（

）注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多参考答案：D【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的20%，所以该选项正确；对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，比80前多，所以该选项正确.对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.在四边形ABCD中，，，则（

）A．5

B．－5

C．－3

D．3参考答案：C9.若向量满足，则向量的夹角为A.30° B.45° C.60° D.90°参考答案：C略10.下列说法正确的是（

）A．若命题都是真命题，则命题“”为真命题B．命题：“若，则或”的否命题为“若，则或”C．命题“”的否定是“”D．“”是“”的必要不充分条件参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，=（﹣）×，…可推测当n≥3，n∈N*时，=．参考答案：（﹣）×略12.函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．参考答案：π考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可算出函数f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函数f（x）的最小正周期T==π故答案为：π点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．13.（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为．参考答案：20【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+y）5按照二项式定理展开，可得（x﹣2y）（x+y）5的展开式中x3y3的系数．【解答】解：根据根据（x+y）5=（?x5+?x4y+?x3y2+x2y3+?xy4+?y5），可得（2x﹣1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为2=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题14.如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．参考答案：－3600由题意可知，⊥，⊥，，所以＝15.己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为

。参考答案：(3，3．5)【知识点】函数利用导数研究函数的单调性因为

故答案为：(3，3．5)16.实数x，y满足不等式组：，若z=x2+y2，则z的最大值是

．参考答案：4【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由z=x2+y2的几何意义，即可行域内动点到原点距离的平方求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=x2+y2的几何意义为可行域内动点到原点距离的平方，∴当动点（x，y）为A（0，2）时，z有最大值为4．故答案为：4．17.复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点到原点的距离为．参考答案：【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简目的地复数的对应点，然后利用两点间距离公式求解即可．【解答】解：复数z==﹣i（1+i）=1﹣i，复数z=（i虚数单位）在复平面上对应的点（1，﹣1）到原点的距离为：．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为且满足（Ⅰ）若，求此三角形的面积;（Ⅱ）求的取值范围。参考答案：解(1)由正弦定理得：即，在三角形中，得：，

4分由得

6分(2)

10分

12分略19.已知函数（1） 求函数的单调区间；（2） 当时，试讨论是否存在，使得参考答案：解析：.令当即时，，所以的单增区间为.当即时，有两个不等的根，，当当当所以的单增区间为和，单减区间为.综上所述，当，的单增区间为.当，的单增区间为和，单减区间为..（2）当时，，，.因为，所以所以，.由（1）知在单减，在单增.当即时，在单减，故不存在，使得当即，在上单减，在上单增.当即此时在上单减，在上单增.故不存在，使得当时，此时，所以，而，所以存在使得.时，存在，使得.当时，此时，所以，而，即，所以存在使得.综上所述：当或时，不存在，使得，当或时，存在，使得.点评：与2011广东高考的19题或2012的21题相比，你会觉得第（1）问其实并不难！难度较大的是本题的第（2）问，综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力，可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多，将是一个很大的挑战和考验！20.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）当取得最小值时，求自变量的集合．参考答案：解：（1）∵，∴，

又∵，∴，∴，

∴；

（2）

，

∴当，，即，时，取得最小值，

此时自变量的集合为．略21.已知函数f（x）=（x﹣1）ex+ax2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．参考答案：【分析】（Ⅰ）求出f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a），通过（i）当a＞0时，判断函数的单调性，判断零点个数；（ii）若a=0，判断f（x）只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．（Ⅱ）不妨设x1＜x2．推出x1＜﹣x2．利用函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，证明f（﹣x2）＜0．令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex，x∈（0，+∞）．利用g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，转化证明即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）f'（x）=xex+2ax=x（ex+2a）（1分）（i）当a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．

（2分）∵f（0）=﹣1＜0，f（2）=e2+4a＞0，取实数b满足b＜﹣2且b＜lna，则f（b）＞a（b﹣1）+ab2=a（b2+b﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，（3分）所以f（x）有两个零点．

（4分）（ii）若a=0，则f（x）=（x﹣1）ex，故f（x）只有一个零点．

（iii）若a＜0，由（I）知，当，则f（x）在（0，+∞）单调递增，又当x≤0时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；当，则函数在（ln（﹣2a），+∞）单调递增；在（0，ln（﹣2a））单调递减．又当x≤1时，f（x）＜0，故不存在两个零点．

（6分）综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．

（7分）证明：（Ⅱ）不妨设x1＜x2．由（Ⅰ）知x1∈（﹣∞，0），x2∈（0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0），则x1+x2＜0等价于x1＜﹣x2．因为函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，所以x1＜﹣x2等价于f（x1）＞f（﹣x2），即证明f（﹣x2）＜0．（8分）由，得，，（9分）令g（x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）ex，x∈（0，+∞）．（10分）g'（x）=﹣x（e﹣x+ex）＜0，g（x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0，所以g（x）＜0，所以f（﹣x2）＜0，即原命题成立．（12分）【点评】本题考查函数的极值，函数的单调性以及函数的零点个数的问题，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．22.（本小题满分12分）

某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术