2022-2023学年北京市海淀区市级名校数学高一下期末考试模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为万元，则10时到11时的销售额为（）A．万元 B．万元 C．万元 D．万元2．过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是()A． B．C．或 D．或3．在边长为2的菱形中，，是的中点，则A． B． C． D．4．直线的倾斜角不可能为（）A． B． C． D．5．已知向量，，若，共线，则实数（）A． B． C． D．66．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．7．在中，，，，则=（）A． B．C． D．8．如果存在实数，使成立，那么实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或9．四棱锥中，平面，底面是正方形，且，则直线与平面所成角为（）A． B． C． D．10．设函数的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数的图象重合的最小值为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为使互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列四个命题：①②③④若；其中正确命题的序号为．12．用秦九韶算法求多项式当时的值的过程中：，__．13．已知，，是与的等比中项，则最小值为_________．14．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.15．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.16．正六棱柱各棱长均为，则一动点从出发沿表面移动到时的最短路程为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．18．（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数，的单调递减区间.19．已知，函数，，（1）证明：是奇函数；（2）如果方程只有一个实数解，求a的值.20．在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.21．已知直线和．（1）若与互相垂直，求实数的值；（2）若与互相平行，求与与间的距离，

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】分析：先根据12时到14时的销售额为万元求出总的销售额，再求10时到11时的销售额.详解：设总的销售额为x,则.10时到11时的销售额的频率为1-0.1-0.4-0.25-0.1=0.15.所以10时到11时的销售额为.故答案为C.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图求概率、频数和总数，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)在频率分布直方图中，所有小矩形的面积和为1，频率=.2、C【解析】

设过点A(4，1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0),令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=,∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.3、D【解析】

选取向量为基底，用基底表示，然后计算．【详解】由题意，，．故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，平面向量的线性运算，解题关键是选取基底，把向量用基底表示．4、D【解析】

根据直线方程，分类讨论求得直线的斜率的取值范围，进而根据倾斜角和斜率的关系，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得当时，直线方程为，此时倾斜角为；当时，直线方程化为，则斜率为：，即，又由，解得或，又由且，所以倾斜角的范围为，显然A，B都符合，只有D不符合，故选D.【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，以及直线的倾斜角和斜率的关系，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力.5、C【解析】

利用向量平行的性质直接求解．【详解】向量，，共线，，解得实数．故选：．【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6、B【解析】

利用余弦定理化简后可得，再利用正弦定理把边角关系化为角的三角函数的关系式，从而得到，因此，结合的范围可得所求的取值范围.【详解】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.7、C【解析】

根据正弦定理,代入即可求解.【详解】因为中,,,由正弦定理可知代入可得故选:C【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.8、A【解析】

根据，可得，再根据基本不等式取等的条件可得答案.【详解】因为，所以，即，即，又（当且仅当时等号成立）所以，所以.故选：A【点睛】本题考查了余弦函数的值域，考查了基本不等式取等的条件，属于中档题.9、A【解析】

连接交于点，连接，证明平面，进而可得到即是直线与平面所成角，根据题中数据即可求出结果.【详解】连接交于点，因为平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；连接，则即是直线与平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故选A【点睛】本题主要考查线面角的求法，在几何体中作出线面角，即可求解，属于常考题型.10、C【解析】

求出函数的图象分别向左平移个单位，向右平移个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数的图象重合，可分别得关于，的方程，解之即可．【详解】解：将函数的图象向左平移个单位，得函数，其图象与的图象重合，，，，故，，，当时，取得最小值为．将函数的图象向右平移个单位，得到函数，其图象与的图象重合，，，，故，，当时，取得最小值为，的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查诱导公式，函数的图象变换规律，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、④【解析】试题分析：根据线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，及面面垂直的性质定理，对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．解：当m∥n，n⊂α，，则m⊂α也可能成立，故①错误；当m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，m与n相交时，α∥β，但m与n平行时，α与β不一定平行，故②错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行也可能异面，故③错误；若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，由面面平行的性质，易得n⊥β，故④正确故答案为④考点：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，直线与平面之间的位置关系．点评：熟练掌握空间线与线，线与面，面与面之间的关系的判定方法及性质定理，是解答本题的关键，属于基础题．12、1【解析】

f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，进而得出．【详解】f（x）＝5x5+2x4+3x3﹣2x2+x﹣8＝（（（（5x+2）x+3）x﹣2）x+1）﹣8，当x＝2时，v0＝5，v1＝5×2+2＝12，v2＝12×2+3＝27，v3＝27×2﹣2＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13、1【解析】

根据等比中项定义得出的关系，然后用“1”的代换转化为可用基本不等式求最小值．【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．所以最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查等比中项的定义，考查用基本不等式求最值．解题关键是用“1”的代换找到定值，从而可用基本不等式求最值．14、【解析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．考点：正弦定理的应用．【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．15、1．98.【解析】

本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为，其中高铁个数为11+21+11=41，所以该站所有高铁平均正点率约为．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．16、【解析】

根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较.【详解】将所给的正六棱柱下图(2)表面按图(1)展开.，，，故从A沿正侧面和上表面到D1的路程最短为故答案为：.【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【详解】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．【点睛】本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．18、（1）；（2）.【解析】

（1）利用余弦函数的单调性列出不等式直接求的单调递增区间．（2）利用正弦函数的单调递减区间，直接求解，的单调递减区间．【详解】解：（1）由，，可得，，函数的单调递增区间：，．（2）因为，；可得，．时，．函数，的单调递减区间：．【点睛】本题考查三角函数的单调性的求法，考查学生的计算能力，属于基础题．19、（1）证明见解析（1）1【解析】

（1）运用函数的奇偶性的定义即可得证（1）由题意可得有且只有两个相等的实根，可得判别式为0，解方程可得所求值．【详解】（1）证明：由函数，，可得定义域为，且，可得为奇函数；（1）方程只有一个实数解，即为，即△，解得舍去），则的值为1．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断和二次方程有解的条件，考查方程思想和定义法，属于基础题．20、（1）（2）【解析】

（1）利用等差数列的性质可求出，进而可求出的通项公式；（2），由