山东省临沂市临沭县蛟龙镇中心中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析

山东省临沂市临沭县蛟龙镇中心中学2021年高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为

A．

B．C．

D．参考答案：A2.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有

A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知函数的最大值和最小值分别是，则为A．1

B．2

C．-1

D．-2

参考答案：A5.若展开式的常数项为（

）A.120

B.160

C.200

D.240参考答案：B6.对于下列命题：①在△ABC中，若,则△ABC为等腰三角形；②已知a，b，c是△ABC的三边长，若，，,则△ABC有两组解；③设，，,则；④将函数图象向左平移个单位，得到函数图象.其中正确命题的个数是A.

B.

C.

D.

参考答案：C略7.已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是A.4

B.2

C.8

D.1参考答案：A略8.函数的最小正周期为A． B． C．π D．2π参考答案：C解答：，∴的周期.故选C.

9.设满足约束条件则的最大值为（

）A．－1

B．3

C．9

D．12参考答案：C10.双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为、，抛物线的准线为，焦点为，与的一个交点为，线段的中点为，是坐标原点，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将连续整数1，2，…，25填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为，最大值为.

参考答案：12.△的三个内角、、所对边的长分别为、、，已知，则=

.参考答案：13.命题“，使得．”的否定是___________________．参考答案：14.已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为

．参考答案：由解得，即两曲线的交点为．15.若函数的反函数是，则__________。参考答案：116.等差数列各项为正,且,则公差

.参考答案：略17.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为

．参考答案：4【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出an、Sn，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知函数(m，n为常数，…是自然对数的底数)，曲线在点处的切线方程是．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设(其中为的导函数)，证明：对任意，参考答案：【知识点】导数，函数的单调性B3,B11【答案解析】(I)m=n=2(II)的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)(III)对任意，解析：解：(Ⅰ)由得()．由已知得，解得m=n．

又，即n=2，∴m=n=2．……………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ)得，令，，当x∈(0，1)时，；当x∈(1，+∞)时，，

又，所以当x∈(0，1)时，；

当x∈(1，+∞)时，，

∴的单调增区间是(0，1)，的单调减区间是(1，+∞)．……8分(Ⅲ)证明：由已知有，，于是对任意，等价于，由(Ⅱ)知，，∴，．易得当时，，即单调递增；当时，，即单调递减．所以的最大值为，故≤．设，则，因此，当时，单调递增，．故当时，，即．∴≤<．∴对任意，．……………14分【思路点拨】由题意可利用函数的导数对问题进行求解，应用导数与函数的关系可进行分析.19.已知函数（1）当时，求f（x）的单调递减区间；（2）若当x＞0时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围；（3）求证：．参考答案：考点：数列与不等式的综合；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导数，利用导数小于0，即可求f（x）的单调递减区间；（2）由得a＞（x+2）﹣（x+2）ln（x+1），记g（x）=（x+2），确定函数的最值，即可求a的取值范围；（3）先证明，取，即可证得结论．解答： （1）解：当时，（x＞﹣1）令f′（x）＜0，可得，∴f（x）的单调递减区间为…（2）解：由得a＞（x+2）﹣（x+2）ln（x+1）记g（x）=（x+2），则当x＞0时g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减又g（0）=2?=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2…（3）证明：由（Ⅱ）知（x＞0）∴取得，即∴…点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，属于中档题．20.已知不等式|x+|＜的解集为A，关于x的不等式（）2x＞π﹣a﹣x（a∈R）的解集为B，全集U=R，求使?UA∩B=B的实数a的取值范围．参考答案：【考点】交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】综合题；集合思想；定义法；集合．【分析】首先根据绝对值不等式，求出集合A；由指数函数的单调性，求出集合B，化简B，根据A∩B=A?A?B，求出a的取值范围【解答】解：由x+|＜解得﹣2＜x＜1，则A=（﹣2，1），∴?UA=（﹣∞．﹣2]∪[1，+∞），由（）2x＞π﹣a﹣x，得2x＜a+x，解得x＜a，∴B=（﹣∞，a），∵?UA∩B=B，∴B??UA，∴a≤2，即a的取值范围为（﹣∞，﹣2]【点评】本题主要考查集合的包含关系及判断，考查绝对值不等式和指数不等式的解法，考查基本的运算能力，是一道中档题．21.某高校从2016年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2016年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[90，100），[100，110）…[140，150），后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校2016年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数；（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[90，100）内的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图能求出a的值．（2）由频率分布直方图能估计该校招收的大一新生2016年高考数学成绩不低于120分的人数．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，则数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，由此利用对立事件概率计算公式能求出至少有1人在分数段[90，100）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图得：（0.005+0.01×2+0.02+0.025+a）×10=1，解得a=0.03（2）由频率分布直方图估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于1的人数为：（0.03+0.025+0.01）×10×960=624（人）．（3）用分层抽样的方法从数学成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，∵数学成绩在[90，100）分数段内的学生频率为0.005×10=0.05，数学成绩在[140，150]分数段内的学生频率为0.010×10=0.10，∴数学成绩在[90，100）分数段内的学生抽取2人，数学成绩在[140，150]分数段内的学生抽取4人，∴将该样本看成一个总体，从中任取2人，基本事件总数n=15，至少有1人在分数段[90，100）内的对立事件是抽到的2人都在分数段[140，150]内，∴至少有1人在分数段[90，100）内的概率：P=．22