同济大学第四版线性代数课后习题答案

第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)=-24+8+16-4=-4.(2)解=acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc=3abc-a3-b3-c3.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2(a-b)(b-c)(c-a).(4).解=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3=3xy(x+y)-y3-3x2y-x3-y3-x3=-2(x3+y3).2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数:(1)1234;解逆序数为0(2)4132;解逆序数为4:41,43,42,32.(3)3421;解逆序数为5:32,31,42,41,21.(4)2413;解逆序数为3:21,41,43.(5)13×××(2n-1)24×××(2n);解逆序数为:32(1个)52,54(2个)72,74,76(3个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)(6)13×××(2n-1)(2n)(2n-2)×××2.解逆序数为n(n-1):32(1个)52,54(2个)××××××(2n-1)2,(2n-1)4,(2n-1)6,×××,(2n-1)(2n-2)(n-1个)42(1个)62,64(2个)××××××(2n)2,(2n)4,(2n)6,×××,(2n)(2n-2)(n-1个)3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项.解含因子a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s,其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424.计算下列各行列式:(1);解.(2);解.(3);解(4).解abcd+ab+cd+ad+1.5.证明:(1)=(a-b)3;证明=(a-b)3.(2);证明.(3);证明(c4-c3,c3-c2,c2-c1得)(c4-c3,c3-c2得).(4)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d);证明=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).(5)=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.证明用数学归纳法证明当n=2时,,命题成立.假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即Dn-1=xn-1+a1xn-2+×××+an-2x+an-1,则Dn按第一列展开有=xDn-1+an=xn+a1xn-1+×××+an-1x+an.因此,对于n阶行列式命题成立.6.设n阶行列式D=det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依副对角线翻转,依次得,,,证明,D3=D.证明因为D=det(aij),所以同理可证..7.计算下列各行列式(Dk为k阶行列式):(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n-1.(3);解根据第6题结果有此行列式为范德蒙德行列式.(4);解(按第1行展开)再按最后一行展开得递推公式D2n=andnD2n-2-bncnD2n-2,即D2n=(andn-bncn)D2n-2于是.而所以(5)D=det(aij),其中aij=|i-j|;解aij=|i-j|,(-1)n-1(n-1)2n-2.(6),其中a1a2×××an¹0.解8.用克莱姆法则解下列方程组:(1)解因为所以,,,.(2)解因为所以,,,,.9.问l,m取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为令D=0,得m=0或l=1于是当m=0或l=1时该齐次线性方程组有非零解.10.问l取何值时,齐次线性方程组有非零解？解系数行列式为=(1-l)3+(l-3)-4(1-l)-2(1-l)(-3-l)=(1-l)3+2(1-l)2+l-3.令D=0,得l=0,l=2或l=3.于是当l=0,l=2或l=3时,该齐次线性方程组有非零解.第二章矩阵及其运算1.已知线性变换:求从变量x1x2x3到变量y1y2y3的线性变换.解由已知:故2.已知两个线性变换求从z1z2z3到x1x2x3的线性变换.解由已知所以有3.设,求3AB2A及ATB解4.计算下列乘积:(1);解(2);解(132231)(10)(3);解(4);解(5);解(a11x1a12x2a13x3a12x1a22x2a23x3a13x1a23x2a33x3)5.设,问:(1)ABBA吗?解ABBA因为所以ABBA(2)(AB)2A22ABB2吗?解(AB)2A22ABB2因为但所以(AB)2A22ABB2(3)(AB)(AB)A2B2吗?解(AB)(AB)A2B2因为而故(AB)(AB)A2B26.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A20则A0;解取则A20但A0(2)若A2A,则A0或AE;解取则A2A,但A0且AE(3)若AXAY,且A0,则XY.解取则AXAY,且A0,但XY.7.设,求A2A3Ak解8.设,求Ak.解首先观察用数学归纳法证明:当k2时,显然成立.假设k时成立，则k1时，由数学归纳法原理知:9.设AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵.10.设AB都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA证明充分性:因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵.必要性:因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.|A|=1,故A-1存在.因为,故.(2);解.|A|=1¹0,故A-1存在.因为,所以.(3);解.|A|=2¹0,故A-1存在.因为,所以.(4)(a1a2×××an¹0).解,由对角矩阵的性质知.12.解下列矩阵方程:(1);解(2);解(3);解(4).解13.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)解方程组可表示为故从而有(2)解方程组可表示为故故有14.设AkO(k为正整数),证明(EA)1EAA2Ak1证明因为AkO所以EAkE又因为EAk(EA)(EAA2Ak1)所以(EA)(EAA2Ak1)E由定理2推论知(EA)可逆且(EA)1EAA2Ak1证明一方面有E(EA)1(EA)另一方面由AkO有E(EA)(AA2)A2Ak1(Ak1Ak)(EAA2Ak1)(EA)故(EA)1(EA)(EAA2Ak1)(EA)两端同时右乘(EA)1就有(EA)1(EA)EAA2Ak115.设方阵A满足A2A2EO,证明A及A2E都可逆,并求A1及(A2E)1.证明由A2A2EO得A2A2E,即A(AE)2E或,由定理2推论知A可逆且由A2A2EO得A2A6E4E即(A2E)(A3E)4E或由定理2推论知(A2E)可逆且证明由A2A2EO得A2A2E两端同时取行列式得|A2A|2即|A||AE|2,故|A|0所以A可逆,而A2EA2|A2E||A2||A|20故A2E也可逆.由A2A2EOA(AE)2EA1A(AE)2A1E又由A2A2EO(A2E)A3(A2E)4E(A2E)(A3E)4E所以(A2E)1(A2E)(A3E)4(A2E)116.设A为3阶矩阵,,求|(2A)-1-5A*|.解因为,所以=|-2A-1|=(-2)3|A-1|=-8|A|-1=-8´2=-16.17.设矩阵A可逆,证明其伴随阵A*也可逆,且(A*)-1=(A-1)*.证明由,得A*=|A|A-1,所以当A可逆时有|A*|=|A|n|A-1|=|A|n-1¹0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A-1,所以(A*)1|A|1A又所以(A*)1|A|1A|A|1|A|(A1)*(A1)*18.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明:(1)若|A|0,则|A*|0;(2)|A*||A|n1证明(1)用反证法证明.假设|A*|0则有A*(A*)1E由此得AAA*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O这与|A*|0矛盾，故当|A|0时有|A*|0(2)由于,则AA*|A|E取行列式得到|A||A*||A|n若|A|0则|A*||A|n1若|A|0由(1)知|A*|0此时命题也成立因此|A*||A|n119.设,ABA2B求B.解由ABA2E可得(A2E)BA故20设且ABEA2B求B解由ABEA2B得(AE)BA2E即(AE)B(AE)(AE)因为所以(AE)可逆从而21设Adiag(121)A*BA2BA8E求B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]12diag(121)22已知矩阵A的伴随阵且ABA1BA13E求B解由|A*||A|38得|A|2由ABA1BA13E得ABB3AB3(AE)1A3[A(EA1)]1A23.设P1AP,其中,,求A11.解由P1AP,得APP1所以A11A=P11P1.|P|3而故24设APP其中求(A)A8(5E6AA2)解()8(5E62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100)(A)P()P125设矩阵A、B及AB都可逆证明A1B1也可逆并求其逆阵证明因为A1(AB)B1B1A1A1B1而A1(AB)B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆(A1B1)1[A1(AB)B1]1B(AB)1A26计算解设则而所以即27.取,验证解而故28.设,求|A8|及A4解令则故29.设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆,求(1)解设则由此得所以.(2)解设则由此得所以30求下列矩阵的逆阵(1)解设则于是(2)解设则.第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)解(下一步r2(2)r1r3(3)r1)~(下一步r2(1)r3(2))~(下一步r3r2)~(下一步r33)~(下一步r23r3)~(下一步r1(2)r2r1r3)~(2)解(下一步:r22(-3)r1,r3+(-2)r1.)~(下一步:r3+r2,r1+3r2.)~(下一步:r1¸2.)~(3)解(下一步:r2-3r1,r3-2r1,r4-3r1.)~(下一步:r2¸(-4),r3¸(-3),r4¸(-5).)~(下一步:r1-3r2,r3-r2,r4-r2.)~(4)解(下一步:r1-2r2,r3-3r2,r4-2r2.)~(下一步:r22r1,r3-8r1,r4-7r1.)~(下一步:r1r2,r2(1),r4-r3.)~(下一步:r2r3.)~2设求A解是初等矩阵E(12)其逆矩阵就是其本身是初等矩阵E(12(1))其逆矩阵是E(12(1))3试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)解~~~~故逆矩阵为(2)解~~~~~故逆矩阵为4(1)设求X使AXB解因为所以(2)设求X使XAB解考虑ATXTBT因为所以从而5设AX2XA求X解原方程化为(A2E)XA因为所以6在秩是r的矩阵中,有没有等于0的r1阶子式?有没有等于0的r阶子式?解在秩是r的矩阵中可能存在等于0的r1阶子式也可能存在等于0的r阶子式例如R(A)3是等于0的2阶子式是等于0的3阶子式7从矩阵A中划去一行得到矩阵B问AB的秩的关系怎样?解R(A)R(B)这是因为B的非零子式必是A的非零子式故A的秩不会小于B的秩8求作一个秩是4的方阵它的两个行向量是(10100)(11000)解用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵此矩阵的秩为4其第2行和第3行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1);解(下一步:r1r2.)~(下一步:r2-3r1,r3-r1.)~(下一步:r3-r2.)~矩阵的是一个最高阶非零子式(2)解(下一步:r1-r2,r2-2r1,r3-7r1.)~(下一步:r3-3r2.)~矩阵的秩是2是一个最高阶非零子式(3)解(下一步:r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4.)~(下一步:r23r1,r32r1.)~(下一步:r216r4,r3-16r2.)~~矩阵的秩为3是一个最高阶非零子式10设A、B都是mn矩阵证明A~B的充分必要条件是R(A)R(B)证明根据定理3必要性是成立的充分性设R(A)R(B)则A与B的标准形是相同的设A与B的标准形为D则有A~DD~B由等价关系的传递性有A~B11设问k为何值可使(1)R(A)1(2)R(A)2(3)R(A)3解(1)当k1时R(A)1(2)当k2且k1时R(A)2(3)当k1且k2时R(A)312求解下列齐次线性方程组:(1)解对系数矩阵A进行初等行变换有A~于是故方程组的解为(k为任意常数)(2)解对系数矩阵A进行初等行变换,有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数)(3)解对系数矩阵A进行初等行变换,有A~于是故方程组的解为(4)解对系数矩阵A进行初等行变换,有A~于是故方程组的解为(k1k2为任意常数)13求解下列非齐次线性方程组:(1)解对增广矩阵B进行初等行变换,有B~于是R(A)2而R(B)3故方程组无解(2)解对增广矩阵B进行初等行变换,有B~于是即(k为任意常数).(3)解对增广矩阵B进行初等行变换,有B~于是即(k1,k2为任意常数).(4)解对增广矩阵B进行初等行变换,有B~于是即(k1,k2为任意常数).14.写出一个以为通解的齐次线性方程组.解根据已知,可得,与此等价地可以写成,或,或这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组15取何值时非齐次线性方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多个解?解(1)要使方程组有唯一解必须R(A)3因此当1且2时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解必须R(A)R(B)故(1)(2)0(1)(1)20因此2时方程组无解(3)要使方程组有有无穷多个解必须R(A)R(B)3故(1)(2)0(1)(1)20因此当1时方程组有无穷多个解.16非齐次线性方程组当取何值时有解？并求出它的解解~要使方程组有解必须(1)(2)0即12当1时~方程组解为或即(k为任意常数)当2时~方程组解为或即(k为任意常数)17设问为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解时求解解B~要使方程组有唯一解必须R(A)R(B)3即必须(1)(10)0所以当1且10时方程组有唯一解.要使方程组无解必须R(A)R(B)即必须(1)(10)0且(1)(4)0所以当10时方程组无解.要使方程组有无穷多解必须R(A)R(B)3即必须(1)(10)0且(1)(4)0所以当1时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B~方程组的解为或(k1k2为任意常数)18证明R(A)1的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT使AabT证明必要性由R(A)1知A的标准形为即存在可逆矩阵P和Q使或令bT(100)Q1则a是非零列向量bT是非零行向量且AabT充分性因为a与bT是都是非零向量所以A是非零矩阵从而R(A)1因为1R(A)R(abT)min{R(a)R(bT)}min{11}1所以R(A)119设A为mn矩阵证明(1)方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m证明由定理7方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)R(AEm)而|Em|是矩阵(AEm)的最高阶非零子式故R(A)R(AEm)m因此方程AXEm有解的充分必要条件是R(A)m(2)方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)n证明注意方程YAEn有解的充分必要条件是ATYTEn有解由(1)ATYTEn有解的充分必要条件是R(AT)n因此，方程YAEn有解的充分必要条件是R(A)R(AT)n20设A为mn矩阵证明若AXAY且R(A)n则XY证明由AXAY得A(XY)O因为R(A)n由定理9方程A(XY)O只有零解即XYO也就是XY

第四章向量组的线性相关性1设v1(110)Tv2(011)Tv3(340)T求v1v2及3v12v2v3解v1v2(110)T(011)T(101101)T(101)T3v12v2v33(110)T2(011)T(340)T(312033121430210)T(012)T2设3(a1a)2(a2a)5(a3a)求a其中a1(2513)Ta2(101510)Ta3(4111)T解由3(a1a)2(a2a)5(a3a)整理得(1234)T3已知向量组Aa1(0123)Ta2(3012)Ta3(2301)TBb1(2112)Tb2(0211)Tb3(4413)T证明B组能由A组线性表示但A组不能由B组线性表示证明由知R(A)R(AB)3所以B组能由A组线性表示由知R(B)2因为R(B)R(BA)所以A组不能由B组线性表示4已知向量组Aa1(011)Ta2(110)TBb1(101)Tb2(121)Tb3(321)T证明A组与B组等价证明由知R(B)R(BA)2显然在A中有二阶非零子式故R(A)2又R(A)R(BA)2所以R(A)2从而R(A)R(B)R(AB)因此A组与B组等价5已知R(a1a2a3)2R(a2a3a4)3证明(1)a1能由a2a3线性表示(2)a4不能由a1a2a3线性表示证明(1)由R(a2a3a4)3知a2a3a4线性无关故a2a3也线性无关又由R(a1a2a3)2知a1a2a3线性相关故a1能由a2a3线性表示(2)假如a4能由a1a2a3线性表示则因为a1能由a2a3线性表示故a4能由a2a3线性表示从而a2a3a4线性相关矛盾因此a4不能由a1a2a3线性表示6判定下列向量组是线性相关还是线性无关(1)(131)T(210)T(141)T(2)(230)T(140)T(002)T解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A因为所以R(A)2小于向量的个数从而所给向量组线性相关(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B因为所以R(B)3等于向量的个数从而所给向量组线性相无关7问a取什么值时下列向量组线性相关？a1(a11)Ta2(1a1)Ta3(11a)T解以所给向量为列向量的矩阵记为A由知当a1、0、1时R(A)3此时向量组线性相关8设a1a2线性无关a1ba2b线性相关求向量b用a1a2线性表示的表示式解因为a1ba2b线性相关故存在不全为零的数12使1(a1b)2(a2b)0由此得设则bca1(1c)a2cR9设a1a2线性相关b1b2也线性相关问a1b1a2b2是否一定线性相关？试举例说明之解不一定例如当a1(12)T,a2(24)T,b1(11)T,b2(00)T时有a1b1(12)Tb1(01)T,a2b2(24)T(00)T(24)T而a1b1a2b2的对应分量不成比例是线性无关的10举例说明下列各命题是错误的(1)若向量组a1a2am是线性相关的则a1可由a2am线性表示解设a1e1(1000)a2a3am0则a1a2am线性相关但a1不能由a2am线性表示(2)若有不全为0的数12m使1a1mam1b1mbm0成立则a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关解有不全为零的数12m使1a1mam1b1mbm0原式可化为1(a1b1)m(ambm)0取a1e1b1a2e2b2amembm其中e1e2em为单位坐标向量则上式成立而a1a2am和b1b2bm均线性无关(3)若只有当12m全为0时等式1a1mam1b1mbm0才能成立则a1a2am线性无关,b1b2bm亦线性无关解由于只有当12m全为0时等式由1a1mam1b1mbm0成立所以只有当12m全为0时等式1(a1b1)2(a2b2)m(ambm)0成立因此a1b1a2b2ambm线性无关取a1a2am0取b1bm为线性无关组则它们满足以上条件但a1a2am线性相关(4)若a1a2am线性相关,b1b2bm亦线性相关则有不全为0的数12m使1a1mam01b1mbm0同时成立解a1(10)Ta2(20)Tb1(03)Tb2(04)T1a12a201221b12b201(3/4)2120与题设矛盾11设b1a1a2b2a2a3b3a3a4b4a4a1证明向量组b1b2b3b4线性相关证明由已知条件得a1b1a2a2b2a3a3b3a4a4b4a1于是a1b1b2a3b1b2b3a4b1b2b3b4a1从而b1b2b3b40这说明向量组b1b2b3b4线性相关12设b1a1b2a1a2bra1a2ar且向量组a1a2ar线性无关证明向量组b1b2br线性无关证明已知的r个等式可以写成上式记为BAK因为|K|10K可逆所以R(B)R(A)r从而向量组b1b2br线性无关13求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)a1(1214)Ta2(9100104)Ta3(2428)T解由知R(a1a2a3)2因为向量a1与a2的分量不成比例故a1a2线性无关所以a1a2是一个最大无关组(2)a1T(1213)a2T(4156)a3T(1347)解由知R(a1Ta2Ta3T)R(a1a2a3)2因为向量a1T与a2T的分量不成比例故a1Ta2T线性无关所以a1Ta2T是一个最大无关组14利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(1)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)解因为所以第1、2、3列构成一个最大无关组15设向量组(a31)T(2b3)T(121)T(231)T的秩为2求ab解设a1(a31)Ta2(2b3)Ta3(121)Ta4(231)T因为而R(a1a2a3a4)2所以a2b516设a1a2an是一组n维向量已知n维单位坐标向量e1e2en能由它们线性表示证明a1a2an线性无关证法一记A(a1a2an)E(e1e2en)由已知条件知存在矩阵K使EAK两边取行列式得|E||A||K|可见|A|0所以R(A)n从而a1a2an线性无关证法二因为e1e2en能由a1a2an线性表示所以R(e1e2en)R(a1a2an)而R(e1e2en)nR(a1a2an)n所以R(a1a2an)n从而a1a2an线性无关17设a1a2an是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示证明必要性设a为任一n维向量因为a1a2an线性无关而a1a2ana是n1个n维向量是线性相关的所以a能由a1a2an线性表示且表示式是唯一的充分性已知任一n维向量都可由a1a2an线性表示,故单位坐标向量组e1e2en能由a1a2an线性表示,于是有nR(e1e2en)R(a1a2an)n即R(a1a2an)n所以a1a2an线性无关18设向量组a1a2am线性相关且a10证明存在某个向量ak(2km)使ak能由a1a2ak1线性表示证明因为a1a2am线性相关所以存在不全为零的数12m使1a12a2mam0而且23m不全为零这是因为如若不然则1a10由a10知10矛盾因此存在k(2km)使k0k1k2m0于是1a12a2kak0ak(1/k)(1a12a2k1ak1)即ak能由a1a2ak1线性表示19设向量组Bb1br能由向量组Aa1as线性表示为(b1br)(a1as)K其中K为sr矩阵,且A组线性无关.证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)r证明令B(b1br)A(a1as)则有BAK必要性设向量组B线性无关.由向量组B线性无关及矩阵秩的性质有rR(B)R(AK)min{R(A)R(K)}R(K)及R(K)min{rs}r因此R(K)r充分性因为R(K)r所以存在可逆矩阵C使为K的标准形于是(b1br)C(a1as)KC(a1ar)因为C可逆所以R(b1br)R(a1ar)r从而b1br线性无关20设证明向量组12n与向量组12n等价证明将已知关系写成将上式记为BAK因为所以K可逆故有ABK1由BAK和ABK1可知向量组12n与向量组12n可相互线性表示因此向量组12n与向量组12n等价21已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x3AxA2x且向量组xAxA2x线性无关(1)记P(xAxA2x)求3阶矩阵B使APPB解因为APA(xAxA2x)(AxA2xA3x)(AxA2x3AxA2x)所以(2)求|A|解由A3x3AxA2x得A(3xAxA2x)0因为xAxA2x线性无关故3xAxA2x0即方程Ax0有非零解所以R(A)3|A|022求下列齐次线性方程组的基础解系(1)解对系数矩阵进行初等行变换有于是得取(x3x4)T(40)T得(x1x2)T(163)T取(x3x4)T(04)T得(x1x2)T(01)T因此方程组的基础解系为1(16340)T2(0104)T(2)解对系数矩阵进行初等行变换,有于是得取(x3x4)T(190)T得(x1x2)T(214)T取(x3x4)T(019)T得(x1x2)T(17)T因此方程组的基础解系为1(214190)T2(17019)T(3)nx1(n1)x22xn1xn0.解原方程组即为xnnx1(n1)x22xn1取x11x2x3xn10得xnn取x21x1x3x4xn10得xn(n1)n1取xn11x1x2xn20得xn2因此方程组的基础解系为1(1000n)T2(0100n1)Tn1(00012)T23设,求一个42矩阵B,使AB0,且R(B)2.解显然B的两个列向量应是方程组AB0的两个线性无关的解因为所以与方程组AB0同解方程组为取(x3x4)T(80)T得(x1x2)T(15)T取(x3x4)T(08)T得(x1x2)T(111)T方程组AB0的基础解系为1(1580)T2(11108)T因此所求矩阵为24求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为1(0123)T2(3210)T解显然原方程组的通解为,即(k1k2R)消去k1k2得此即所求的齐次线性方程组.25设四元齐次线性方程组III求(1)方程I与II的基础解系(2)I与II的公共解解(1)由方程I得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(00)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程I的基础解系为1(0010)T2(1101)T由方程II得取(x3x4)T(10)T得(x1x2)T(01)T取(x3x4)T(01)T得(x1x2)T(11)T因此方程II的基础解系为1(0110)T2(1101)T(2)I与II的公共解就是方程III的解因为方程组III的系数矩阵所以与方程组III同解的方程组为取x41得(x1x2x3)T(112)T方程组III的基础解系为(1121)T因此I与II的公共解为xc(1121)TcR26设n阶矩阵A满足A2AE为n阶单位矩阵,证明R(A)R(AE)n证明因为A(AE)A2AAA0所以R(A)R(AE)n又R(AE)R(EA)可知R(A)R(AE)R(A)R(EA)R(AEA)R(E)n由此R(A)R(AE)n27设A为n阶矩阵(n2)A*为A的伴随阵证明证明当R(A)n时|A|0故有|AA*|||A|E||A|0|A*|0所以R(A*)n当R(A)n1时|A|0故有AA*|A|E0即A*的列向量都是方程组Ax0的解因为R(A)n1所以方程组Ax0的基础解系中只含一个解向量即基础解系的秩为1因此R(A*)1当R(A)n2时A中每个元素的代数余子式都为0故A*O从而R(A*)028求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1)解对增广矩阵进行初等行变换,有与所给方程组同解的方程为当x30时得所给方程组的一个解(81302)T与对应的齐次方程组同解的方程为当x31时得对应的齐次方程组的基础解系(1110)T(2)解对增广矩阵进行初等行变换,有与所给方程组同解的方程为当x3x40时得所给方程组的一个解(1200)T与对应的齐次方程组同解的方程为分别取(x3x4)T(10)T(01)T得对应的齐次方程组的基础解系1(9170)T2(1102)T29设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知123是它的三个解向量.且1(2345)T23(1234)T求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于123均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得21(23)(12)(13)(3456)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:xk(3456)T(2345)T,(kR)30设有向量组Aa1(210)Ta2(215)Ta3(114)T及b(11)T问为何值时(1)向量b不能由向量组A线性表示(2)向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一并求一般表示式解(1)当40时R(A)R(Ab)此时向量b不能由向量组A线性表示(2)当4时R(A)R(Ab)3此时向量组a1a2a3线性无关而向量组a1a2a3b线性相关故向量b能由向量组A线性表示且表示式唯一(3)当40时R(A)R(Ab)2此时向量b能由向量组A线性表示且表示式不唯一当40时方程组(a3a2a1)xb的解为cR因此b(2c1)a3(3c1)a2ca1即bca1(3c1)a2(2c1)a3cR31设a(a1a2a3)Tb(b1b2b3)Tc(c1c2c3)T证明三直线l1a1xb1yc10l2a2xb2yc20(ai2bi20i123)l3a3xb3yc30相交于一点的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组即有唯一解上述方程组可写为xaybc因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由ab唯一线性表示而c能由ab唯一线性表示的充分必要条件为向量组ab线性无关且向量组abc线性相关32设矩阵A(a1a2a3a4)其中a2a3a4线性无关a12a2a3向量ba1a2a3a4求方程Axb的通解解由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一个解由a12a2a3得a12a2a30知(1210)T是Ax0的一个解由a2a3a4线性无关知R(A)3故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量因此(1210)T是方程Ax0的基础解系方程Axb的通解为xc(1210)T(1111)TcR33设*是非齐次线性方程组Axb的一个解,12nr是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明(1)*12nr线性无关;(2)**1*2*nr线性无关.证明(1)反证法,假设*12nr线性相关因为12nr线性无关而*12nr线性相关所以*可由12nr线性表示且表示式是唯一的这说明*也是齐次线性方程组的解矛盾(2)显然向量组**1*2*nr与向量组*12nr可以相互表示故这两个向量组等价而由(1)知向量组*12nr线性无关所以向量组**1*2*nr也线性无关34设12s是非齐次线性方程组Axb的s个解,k1k2ks为实数,满足k1k2ks1.证明xk11k22kss也是它的解.证明因为12s都是方程组Axb的解所以Aib(i12s)从而A(k11k22kss)k1A1k2A2ksAs(k1k2ks)bb因此xk11k22kss也是方程的解.35设非齐次线性方程组Axb的系数矩阵的秩为r,12nr1是它的nr1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为xk11k22knr1nr1(其中k1k2knr11).证明因为12nr1均为Axb的解所以121231nrnr11均为Axb的解.用反证法证:12nr线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数12nr使得1122nrnr0即1(21)2(31)nr(nr11)0亦即(12nr)11223nrnr10由12nr1线性无关知(12nr)12nr0矛盾.因此12nr线性无关12nr为Axb的一个基础解系.设x为Axb的任意解则x1为Ax0的解故x1可由12nr线性表出设x1k21k32knr1nrk2(21)k3(31)knr1(nr11)x1(1k2k3knr1)k22k33knr1nr1令k11k2k3knr1则k1k2k3knr11于是xk11k22knr1nr1.36设V1{x(x1x2xn)T|x1xnR满足x1x2xn0}V2{x(x1x2xn)T|x1xnR满足x1x2xn1}问V1V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1R有a1a2an0b1b2bn0从而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)0a1a2an(a1a2an)0所以(a1b1a2b2anbn)TV1(a1a2an)TV1V2不是向量空间,因为任取(a1a2an)TV1(b1b2bn)TV1有a1a2an1b1b2bn1从而(a1b1)(a2b2)(anbn)(a1a2an)(b1b2bn)2所以(a1b1a2b2anbn)TV137试证:由a1(011)Ta2(101)Ta3(110)T所生成的向量空间就是R3.证明设A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3线性无关所以a1a2a3是三维空间R3的一组基,因此由a1a2a3所生成的向量空间就是R3.38由a1(1100)Ta2(1011)T所生成的向量空间记作V1,由b1(2133)Tb2(0111)T所生成的向量空间记作V2,试证V1V2.证明设A(a1a2)B(b1b2)显然R(A)R(B)2又由知R(AB)2所以R(A)R(B)R(AB)从而向量组a1a2与向量组b1b2等价因为向量组a1a2与向量组b1b2等价所以这两个向量组所生成的向量空间相同即V1V2.39验证a1(110)Ta2(213)Ta3(312)T为R3的一个基,并把v1(507)Tv2(9813)T用这个基线性表示.解设A(a1a2a3)由知R(A)3故a1a2a3线性无关,所以a1a2a3为R3的一个基.设x1a1x2a2x3a3v1则解之得x12x23x31故线性表示为v12a13a2a3设x1a1x2a2x3a3v2,则解之得x13x23x32故线性表示为v23a13a22a340已知R3的两个基为a1(111)Ta2(101)Ta3(101)Tb1(121)Tb2(234)Tb3(343)T求由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵P解设e1e2e3是三维单位坐标向量组则于是由基a1a2a3到基b1b2b3的过渡矩阵为

第五章相似矩阵及二次型1.试用施密特法把下列向量组正交化:(1);解根据施密特正交化方法,,(2)解根据施密特正交化方法2.下列矩阵是不是正交阵:(1);解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵.(2).解该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵.3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4.设A与B都是n阶正交阵,证明AB也是正交阵.证明因为AB是n阶正交阵,故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交阵.5.求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值为1(三重).对于特征值1由得方程(AE)x0的基础解系p1(111)T向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值为102139.对于特征值10,由得方程Ax0的基础解系p1(111)T向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21,由得方程(AE)x0的基础解系p2(110)T向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39,由得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/21/21)T向量p3就是对应于特征值39的特征值向量.(3).解故A的特征值为121341.对于特征值121,由得方程(AE)x0的基础解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量.对于特征值341,由得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量.6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)从而是BA的特征值且Bx是BA的对应于的特征向量11已知3阶矩阵A的特征值为123求|A35A27A|解令()3527则(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)×(2)×(3)3231812已知3阶矩阵A的特征值为123求|A*3A2E|解因为|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2E令()61322则(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(A)|(1)×(2)×(3)15(5)2513设A、B都是n阶矩阵且A可逆证明AB与BA相似证明取PA则P1ABPA1ABABA即AB与BA相似14设矩阵可相似对角化求x解由,得A的特征值为l1=6,l2=l3=1.因为A可相似对角化,所以对于l2=l3=1,齐次线性方程组(A-E)x=0有两个线性无关的解,因此R(A-E)=1.由知当x=3时R(A-E)=1,即x=3为所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩阵的一个特征向量.(1)求参数a,b及特征向量p所对应的特征值;解设l是特征向量p所对应的特征值,则(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=0.(2)问A能不能相似对角化？并说明理由.解由得A的特征值为1231由知R(AE)2所以齐次线性方程组(AE)x0的基础解系只有一个解向量因此A不能相似对角化16.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称阵化为对角阵:(1);解将所给矩阵记为A由(1)(4)(2)得矩阵A的特征值为122134.对于12,解方程(A2E)x0即得特征向量(122)T单位化得对于21,解方程(AE)x0即得特征向量(212)T单位化得对于34,解方程(A4E)x0即得特征向量(221)T单位化得于是有正交阵P(p1p2p3)使P1APdiag(214)(2).解将所给矩阵记为A由(1)2(10),得矩阵A的特征值为121310.对于121,解方程(AE)x0即得线性无关特征向量(210)T和(201)T将它们正交化、单位化得对于310,解方程(A10E)x0即得特征向量(122)T单位化得于是有正交阵P(p1p2p3)使P1APdiag(1110)17设矩阵与相似求xy并求一个正交阵P使P1AP解已知相似矩阵有相同的特征值显然54y是的特征值故它们也是A的特征值因为4是A的特征值所以解之得x4已知相似矩阵的行列式相同因为所以20y100y5对于5解方程(A5E)x0得两个线性无关的特征向量(101)T(120)T将它们正交化、单位化得对于4解方程(A4E)x0得特征向量(212)T单位化得于是有正交矩阵使P1AP18.设3阶方阵A的特征值为122231;对应的特征向量依次为p1(011)Tp2(111)Tp3(110)T求A.解令P(p1p2p3)则P1APdiag(221)APP1因为所以19设3阶对称阵A的特征值为112130对应1、2的特征向量依次为p1(122)Tp2(212)T求A解设则Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性质有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20.设3阶对称矩阵A的特征值162333与特征值16对应的特征向量为p1(111)T求A.解设因为16对应的特征向量为p1(111)T所以有,即①233是A的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知R(A3E)1利用①可推出因为R(A3E)1所以x2x43x5且x3x5x63解之得x2x3x51x1x4x64因此.21设a(a1a2an)Ta10AaaT(1)证明0是A的n1重特征值证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa从而0或aTa设12n是A的所有特征值因为AaaT的主对角线性上的元素为a12a22