辽宁省大连市第一０四中学高三数学理期末试题含解析

辽宁省大连市第一０四中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M和m，则M-m=A．8

B.7

C.6

D.5参考答案：C2.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=a4

a5

，其中A的各位数中，出现0的概率为，出现1的概率为．记，当程序运行一次时，的数学期望

(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：C3.函数的最小值是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C4.已知集合，，若，则实数的值是（

）A．0

B．0或2

C．2

D．0或1或2参考答案：B试题分析：由得，所以．故选B．考点：集合的包含关系，集合的定义．5.在△ABC中，，点P是△ABC所在平面内一点，则当取得最小值时，(

)A.9 B.－9 C. D.参考答案：B【分析】等价于等价于等价于,以为坐标原点，直线AB，AC分别为轴,轴建立平面直角坐标系，则，设，则，所以最小，此时，，，;故选B.6.如图在△ABC中，在线段AB上任取一点P，恰好满足的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D7.下列坐标所表示的点不是函数y=tan（）的图象的对称中心的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】正切函数的奇偶性与对称性．

【专题】计算题．【分析】分别令x=，求出函数值为0，不满足题意的选项即可．【解答】解：分别把x=，代入y=tan（），可得y=tan（）=0，所以函数关于对称．A不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．B不正确．y=tan（）=0，所以函数关于对称．C不正确．y=tan（）≠0所以函数不关于对称．D正确．故选D．【点评】本题是基础题，考查正切函数的对称性，正确验证三角函数值是解题关键，考查基本知识的应用与计算能力．8.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线：在点处的切线方程为A.

B.

C.

D.参考答案：A略9.已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，1）∪（1，3） C．（0，1） D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B交集有4个子集，得到A与B交集有2个元素，确定出a的范围即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），∵B={1，a}，且A∩B有4个子集，即A∩B有两个元素，∴a的范围为（0，1）∪（1，3）．故选：B．10.（5分）（2015?嘉兴一模）已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）A．1或﹣1B．1C．﹣1D．0参考答案：D【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．故选：D．【点评】：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，且，则=___________.参考答案：略12.将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是_________________.参考答案：16,28,40,52略13.若等式对一切都成立，其中，，，…，为实常数，则＝

.参考答案：略14.已知α是第二象限的角，且sin（π+α）=﹣，则tan2α的值为．参考答案：﹣略15.设函数,观察:,,根据以上规律,由归纳推理可得:当且时,_________________________.参考答案：16.

若的展开式中各项系数的和为729，则展开式中项的系数是

参考答案：答案：

17.已知f＝，则f(x)的解析式为________．参考答案：f(x)＝(x≠－1)三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分)已知是函数的一个极值点.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围.参考答案：

略19.已知等差数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，等比数列{bn}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）数列{cn}满足cn=bn+（﹣1）nan，记数列{cn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n?2n．可得数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+=2n﹣1+．对n分类讨论即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d=q=2．∴an=2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1．（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n?2n．∴数列{cn}的前n项和为Tn=1+2+22+…+2n﹣1+=+=2n﹣1+．∴n为偶数时，Tn=2n﹣1+．=2n﹣1+n．n为奇数时，Tn=2n﹣1+﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴Tn=．20.已知定义在R上的奇函数，当时，.（1）求；（2）当时，求的解析式.（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由奇函数的定义得出的值；（2）设，可得，可计算出的表达式，再利用奇函数的定义可得出，即可得出的表达式；（3）分析函数在上的单调性，由奇函数的性质将不等式化为，利用函数的单调性得出，可得出，求出函数的最小值可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数定义在上的奇函数，；（2）当时，，，又函数是奇函数，，，故当时，；（3）由得，当时，，，此时，函数为减函数，则.由于函数是奇函数，则该函数在上也为减函数，当时，，又，函数在上是减函数，又，，即恒成立，即对任意恒成立，令，则，，故实数的取值范围为.【点睛】本题考查函数的奇偶性求值、奇函数的解析式以及函数不等式恒成立问题，对于这类问题的处理，要充分分析函数的单调性与奇偶性进行求解，对于含参数问题，可以利用参变量分离法进行求解，简化分类讨论，卡考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

21.（本题满分14分）设函数f(x)=ex－ax－2(1)求f(x)的单调区间(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值参考答案：I）函数f（x）=ex-ax-2的定义域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，则f′（x）=ex-a≥0，所以函数f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上单调递增．

若a＞0，则当x∈（-∞，lna）时，f′（x）=ex-a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．

（II）由于a=1，所以，（x-k）f′（x）+x+1=（x-k）（ex-1）+x+1

故当x＞0时，（x-k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜x+1ex-1+x（x＞0）①

令g（x）=x+1ex-1+x，则g′（x）=-xex-1(ex-1)2+1=ex(ex-x-2)(ex-1)2

由（I）知，函数h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=ex-x-2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）

当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）

由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2

略22.已知函数，(为自然对数的底数)（1）当时，求的单调区间；（2）对任意的恒成立，求的最小值；（3）若对任意给定的，使得成立，求的取值范围。参考答案：解：（1）当时，由，由故的单调减区间为单调增区间为 …………3分（2）即对恒成立。令，则再令在上为减函数，于是从而，，于是在上为增函数故