2022-2023学年北京市西城区第十三中学高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．已知函数则其在区间上的大致图象是（）A. B.C. D.2．在平面直角坐标系中，动点在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每分钟转动一周.若的初始位置坐标为，则运动到分钟时，的位置坐标是（）A B.C. D.3．函数f（x）=|x3|•ln的图象大致为（）A. B.C. D.4．在空间直角坐标系中，点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点坐标为（）A. B.C. D.5．（）A. B.C. D.6．函数的部分图象如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A. B.C. D.7．点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（）A.30° B.45°C.60° D.90°8．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆画，则该几何体的体积为（）A B.C. D.9．已知，且满足，则值A. B.C. D.10．将函数y=sin（2x+）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（）A. B.C. D.11．英国物理学家和数学家牛顿提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型，设物体的初始温度为，环境温度为，其中，经过后物体温度满足（其中k为正常数，与物体和空气的接触状况有关）.现有一个的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，则（）（参考数据：）A.1.17 B.0.85C.0.65 D.0.2312．已知，则的值等于（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．函数关于直线对称，设，则________.14．若函数（常数），对于任意两个不同的、，当、时，均有（为常数，）成立，如果满足条件的最小正整数为，则实数的取值范围是___________.15．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.16．如图，在直四棱柱中，当底面ABCD满足条件___________时，有.（只需填写一种正确条件即可）三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意（1）求；（2）判断并证明函数的奇偶性；（3）若，直接写出的所有零点（不需要证明）18．已知函数（，）为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为（1）当时，求的单调递减区间；（2）将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域19．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.（1）求出函数在上解析式；（2）若与有3个交点，求实数的取值范围.20．已知函数.（1）若，解不等式；（2）解关于x的不等式.21．已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数解析式；（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（3）解关于的不等式：.22．计算：（1）；（2）已知，求的值

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、D【解析】为奇函数，去掉A,B；当时,所以选D.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系2、A【解析】根据题意作出图形，结合图形求出3分钟转过角度，由此计算点的坐标.【详解】每分钟转动一周,则运动到分钟时，其转过的角为，如图，设与x轴正方向所成的角为，则与x轴正方向所成的角为，的初始位置坐标为，即，所以，即.故选：A3、A【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用特殊点的函数值是否对应进行排除即可【详解】f（-x）=|x3|•ln=-|x3|•ln=-f（x），则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，f（）=ln=ln＜0，排除C，故选A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和特殊值进行排除是解决本题的关键4、B【解析】先由题意设点的坐标为，根据空间中的两点间距离公式，列出等式，求出，即可得出结果.【详解】因为点在轴上，所以可设点的坐标为，依题意，得，解得，则点的坐标为故选：B.5、D【解析】根据诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可容易求得结果.【详解】因为.故选：D.6、D【解析】由图像知A="1,",,得，则图像向右移个单位后得到的图像解析式为，故选D7、C【解析】分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,所以（或其补角）就是PA与BD所成的角；因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=所以OD=OE=DE=,是正三角形，，故选C8、C【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，故体积为.9、C【解析】由可求得，然后将经三角变换后用表示，于是可得所求【详解】∵,∴,解得或∵,∴∴故选C【点睛】对于给值求值的问题，解答时注意将条件和所求值的式子进行适当的化简，然后合理地运用条件达到求解的目的，解题的关键进行三角恒等变换，考查变换转化能力和运算能力10、B【解析】直接利用函数图像变化原则：“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式【详解】函数图像向右平移个单位，由得，故选B【点睛】本题考查函数图像变换：“左加右减，上加下减”，需注意“左加右减”时平移量作用在x上，即将变成，是函数图像平移了个单位，而非个单位11、D【解析】根据所给公式，将所给条件中的温度相应代入，利用对数的运算求解即可.【详解】根据题意：的物体，放在的空气中冷却，后物体的温度是，有：，所以，故，即，故选：D.12、B【解析】由分段函数的定义计算【详解】，，所以故选：B二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、1【解析】根据正弦及余弦函数的对称性的性质可得的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心，即可求值.【详解】∵函数f（x）的图象关于x对称∵f（x）＝3sin（ωx+φ）的对称轴为函数g（x）＝3cos（ωx+φ）+1的对称中心故有则1故答案为1【点睛】本题考查了正弦及余弦函数的性质属于基础题14、【解析】分析可知对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，进而可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.详解】，因为，由可得，由题意可得对任意的、且恒成立，且对任意的、且有解，即，即恒成立，或有解，因为、且，则，若恒成立，则，解得；若或有解，则或，解得或；因此，实数的取值范围是.故答案为：.15、2【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以考点：向量的坐标运算与向量夹角16、(答案不唯一)【解析】直四棱柱，是在上底面的投影，当时，可得，当然底面ABCD满足的条件也就能写出来了.【详解】根据直四棱柱可得：∥，且，所以四边形是矩形，所以∥，同理可证：∥，当时，可得：，且底面，而底面，所以，而，从而平面，因为平面，所以，所以当满足题意.故答案为：.三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）（2）为偶函数，证明见解析（3）【解析】（1）令，化简可求出，（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，（3）利用赋值求解即可【小问1详解】令，则，，得或，因对任意，所以【小问2详解】为偶函数证明：令，则，得，所以为偶函数【小问3详解】令，则，因为，所以，当时，，当时，，当时，，当时，，……，所以即当时，，所以函数的零点为18、（1），]（2）值域为[，]【解析】（1）利用三角恒等变换化简的解析式，根据条件，可求出周期和，结合奇函数性质，求出，再用整体代入法求出内的递减区间；（2）利用函数的图象变换规律，求出的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出时的值域.【详解】解：（1）由题意得，因相邻两对称轴之间距离为，所以，又因为函数为奇函数，所以，∴，因为，所以故函数令.得.令得，因为，所以函数的单调递减区间为，]（2）由题意可得，因为，所以所以，.即函数的值域为[，]【点睛】本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可（2）与图象交点有3个，画出图象观察，求得实数的取值范围【详解】（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，因为是奇函数，所以.所以.综上：.（2）图象如下图所示：单调增区间：单调减区间：.因为方程有三个不同的解，由图象可知，，即20、（1）；（2）答案见解析【解析】（1）由抛物线开口向上，且其两个零点为，，可得不等式的解集.（2）由对应的二次方程的判别式，其两根为，.讨论时，时，时，其两根的大小，由此可得不等式的解集.【详解】解：（1）当时，不等式可化为，又由，得，.因为抛物线开口向上，且其两个零点为，，所以不等式的解集为.（2）对于二次函数，其对应的二次方程的判别式，其两根为，.当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为；综上，时，不等式的解集为；时，不等式无解；时，不等式的解集为.21、（1）；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.【解析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【小问1详