静力学和材料力学6 2圆轴扭转

工程力学课堂教学软件(6)返回总目录第6章工程力学第二篇 材料力学返回总目录第6章ABB'jgm

A'mgg：剪切角(剪应变)j：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行第6章圆轴扭转由几何关系知：g

=

fr

/

l杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。第6章第6章第6章请判断哪一杆件将发生扭转？当两只手用力相等时，拧紧螺母的工具杆将产生扭转。第6章传动轴请判断哪些零件将发生扭转？传动轴

将产生扭转第6章第6章第6章请判断哪一杆件将发生扭转？连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。第6章第6章第6章第6章连接汽轮机和发电机的传动轴将产生扭转。扭转的力偶矩？第6章传动轴上的外力偶矩转速：n(转/分)输入功率：P(kW)T1分钟输入功：W

=

60

·

P

·1000

=

60000

P1分钟me作功W

'

=

Mew

=

Me

·(2pn

·1)

=

2pnM

eW

=

W

'M

=

9550

P

(N

m)•e

nne(N

•

m)M

=

9550

Pe[N

m]nM

=

9549

Pe=7024

P[马力][N

m]n[r

/

min]M第6章nMeMeMxMeMx+第6章MeMeMeMx_nMx第6章第6章例题1圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。试：画出圆轴的扭矩图。第6章解：1．确定控制面外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面。2．应用截面法，由平衡方程M

x

=

0确定各段圆轴内的扭矩。第6章3．建立Mx－x坐标系，画出扭矩图建立Mx

－x

坐标系，其中x

轴平行于圆轴的轴线，

Mx轴垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭矩值，标在Mx

－x坐标系中，得到相应的点，过这些点作x

轴的平行线，即得到所需要的扭矩图。第6章δ<<R0---薄壁圆筒规定：矢量方向与横截面外法线方向一致的扭矩为正mmR0d薄壁圆筒的扭转纯剪切mT11扭矩切应力对应扭转实验前相邻截面绕轴线作相对转动横截面上各点的剪（切）应力的方向必与圆周线相切。纵向线圆周线扭转实验后平面假设成立结论

τdA

r

=t

2pr

d

r

=

MeA得：M

e2pr

2dτ

=Mer0x-tdA薄壁圆筒的扭转的切应力第6章tt¢第6章dtt¢哪微怎些元样力能才互不能相能平平衡衡？？第6章tt¢怎样才能平衡？t

=

t根据力偶平衡理论第6章tt¢剪应力成对定理第6章t

=

Gg剪切胡克定律第6章ABB'jgm

A'mgg：剪切角(剪应变)j：相对扭转角外力偶作用平面和杆件横截面平行由几何关系知：g

=

fr

/

lOmO剪切胡克定律第6章应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。第6章应力分布应力公式变

形应变分布平面假定物性关系静力方程确定横截面上剪应力的方法与过程第6章第6章第6章假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相互转过一角度。这一假定称为平面假定。第6章第6章第6章若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度dj，但半径不等的圆柱上产生的剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。第6章dxg(r)=

r

dj设到轴线任意远r处的剪应变为g（r），则从图中可得到如下几何关系：第6章第6章剪切胡克定律第6章第6章dxt

=

Gg

=

Gr

dj第6章第6章A

tdA)r＝M

x第6章第6章第6章第6章I

Pt(r)=

M

x

r第6章最大剪应力PPmaxWIM

r

M=

x

max

=

xtmaxI

PPrW

=Wp——扭转截面模量。第6章截面的极惯性矩与扭转截面模量d16d

Dπ

d

4

π

d

332I

P

=,

WP

=1632π

D3

1－a

4

)π

D

4

1－a

4

)I

P

=,

WP

=第6章受扭圆轴的强度设计准则maxp£

[t]WMt

=

x,max第6章maxp£

[t]WMt

=

x,max受扭圆轴的强度设计准则第6章例题2已知：P＝7.5kW,n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比a

=0.5。二轴长度相同。求:实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。第6章解：首先根据轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩实心轴xn

100M

=

T

=

9549

·

P

=

9549

·

7.5

=

716.2N

mmax1P1

1W

πd

3M

16M=

x

=

x=

40MPat616·716.2d1

=

3=

0.045m=45mmπ·40

·10第6章解：对于空心轴，则有算得d2＝0.5D2=23mm(

)max234P

22=

Mx

16M

xWt==

40MPaπD

1-a32D

=

16

·716.2

=

0.046m=46mmπ

(1-a

4

)·

40

·106第6章实心轴

d1=45

mm空心轴

D2＝46

mm

d2＝23

mm解：确定实心轴与空心轴的重量之比在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：2221＝1.2821

-

0.5·)

46

·10= 1

=-32

45

·10-3

1d

2A2

D

(1

-aA第6章已知：P1＝14kW,

n1=

n2=

120

r/min,

z1=36,z3=12;

d1=70mm,

d

2

=50mm,

d3=35mm.求:

各轴横截面上的最大切应力。3例题3第6章P1=14kW,

P2=

P3=

P1/2=7kWn1=n2=

120r/min360r/min313

1r/min

＝12

zz

36n

＝n

·

＝

120

·3解：计算各轴的功率与转速第6章解：计算各轴的扭矩Mx1=T1=1114

N.mMx2=T2=557

N.mMx3=T3=185.7

N.m3第6章3P1max-9

W

π

·

70

·10t

(E)=

M

x1

=

16

·1114

Pa

=

16.54MPa3P

2max-9

W

π

·50

·10t

(H)=

M

x

2

=

16

·557

Pa

=

22.69MPa3P3max-9

W

π

·35

·10t

(C)=

M

x3

=

16

·185.7

Pa

=

21.98MPa3解：计算各轴的横截面上的最大切应力第6章由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1＝2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的剪应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的？例题4第6章解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直线，但要相当于原来的位置转过一角度。例题4第6章解：因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的剪切弹性模量大于外层（圆环

截面）的剪切弹性模量（G1＝2G2），所以内层在二者交

界处的剪应力一定大于外层在二者交界处的剪应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。例题4第6章解：在答案（D）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。根据以上分析，正确答案是（C）。例题4第6章第6章受扭圆轴的相对扭转角GIPdj

=

Mx

dx第6章第6章受扭圆轴的相对扭转角单位长度的相对扭转角第6章受扭圆轴的刚度设计准则dxq＝dj

£

[q]GIPθ

=

Mx

£

[θ

]第6章第6章受扭圆轴的刚度设计准则需要注意的是：受扭圆轴的刚度设计准则第6章例题5解：1．确定轴所能承受的最大扭矩第6章例题5解：1．确定轴所能承受的最大扭矩第6章例题5第6章第6章第6章圆轴强度与刚度设计的一般过程第6章第6章圆轴强度与刚度设计的一般过程需要指出的是第6章圆轴强度与刚度设计的一般过程关于公式的应用条件dxg(r)=

r

dj第6章I

Pt(r)=

M

x

r关于公式的应用条件2.材料必须满足胡克定律，而且必须在弹性范围内加载，只有这样，剪应力和剪应变的正比关系才成立：dxg(r)=

r

dj二者结合才会得到剪应力沿半径方向线性分布的结论，才会得到反映作用力分布的剪应力公式，即t

=

Gg第6章1.变形特征——翘曲扭转后，横截面将不再保持平面。矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力第6章矩形截面杆扭转时横截面上的剪应力2.

由平衡直