《高等数学（第三版）》课后参考答案 崔信

《高等数学》参考答案第一章练习题和基础训练练习题1.11.（1)x2-2≥0,.定义域为）xlx≥\2或x≤-\2〉;(x+3≥0,（2)由题意知〈从而解得x≠0且x≥-3,（x≠0,故所求定义域为）xlx≥-3且x≠0〉;(1-x2≥0,（3)由题意知〈从而解得x≠0且-1≤x≤1,（x≠0,故所求定义域为）xl-1≤x≤1且x≠0〉;（4)〈解得定义域为）xlx>且x≠1〉;(1n（3x-2)≥0,(1n（3x-2)≥1n1,(3x-2≥1,（3x-2>0（3x-2>0（x>（3x-2>0（3x-2>0（x>3,（6)由y=arcsinu,u([-1,1],可知-1≤≤1,故所求定义域为）xl-1≤x≤3〉.2.将x=0,x=-x分别代人原式可得:f（0)=4,f（-x)=-x3+2x+4.3.将x=0,x=1,x=-2分别代人原式,可得f（0)可得f（0)=1,f（1)=,f（-2)=-12当a≠-时,f（a)=.4.f[f（x)]=x33.当a=-时,f（a)不存在;1-2x.练习题1.21.（1)偶函数;（2)偶函数;（31-2x.练习题1.22.此函数关于x=对称,任取x1<x2<,即x1+x2<3,f（x1)-f（x2)=x-3x1+2-（x-3x2+2)=（x1-x2)（x1+x2-3)>0,所以f（x)在（-o,)单调递减,同理可得f（x)在（,+o)单调递增.3.由此函数的性质可得f（x)在（0,1]上单调递减,当x→0时,f（x)→+o,所以此函数无界.4.（1)T=2r;（2)y=sin2x==-cos2x,T==r;（3)T==r.练习题1.3(1gx>0,(1gx>1g1,(x>1,1.（1)R;（2)〈→〈→〈故所求定义域为）xlx>1〉.（x>0（x>0（x>0,2.（1)y=tan2x;（2)y=esin（x2+1).3.（1)y=u10,u=3x+2;（2)y=\u,u=1-x2;（3)y=10u,u=-x;（4)y=2u,u=x2;（5)y=1og2u,u=x2+1;（6)y=sinu,u=5x;（7)y=sinu,u=x5;（8)y=u5,u=sinx;2.（9)y=1gu,u=1go,o=1gx;（10)y=arcsinu,u=2.4.（1)由y=2x+1可得x=,故其反函数为y=（x(R);（2)由y=x3+2可得x=\,故其反函数为y=\2（x(R).练习题1.41.作此函数图像如下:由此可知此函数定义域为R,值域为）-1,0,1〉.2.∵≤1,.f（)=\=\.又∵1<≤2,.f（)=1+=.3.9（)=sin=\,9（-)=sin（-)=,9（-3)=0.4.∵0≤≤1,.f（)=\2.当0<≤1时,f（)=2\;当>1时,f（)=1+.此函数定义域为[0,+o),值域为[0,+o).5.由题意可知．f（x)定义域为R,令x>0时,-x<0,f（-x)=1-（-x)=1+x=f（x);令x<0时,-x>0,f（-x)=1+（-x)=1-x=f（x),所以当x(R时,f（-x)=f（x),f（x)在R上为偶函数.6.设x表示新开设的营业点的数目,R表示该公司每日的总收人,则现有的营业点的数目为40+x,每个营业点的平均日收人为10000-200x,该公司每日总收人为R=（10000-200x)（40+x).练习题1.51.t年后的人口为y=10.3（1+2%)t,2000年底（18年)的人口为y=10.3×1.0218=14.71亿.设人口基数为p,人口增长率为r,则t年后人口y为y=p（1+r%)t.2.设售价上涨x元,获得的利润y元,由题意知y=（50+x-40)●（50-x)=-（x-20)2+900（0<x<50,x(N*),当x=20时,ymax=900元.基础训练一、1.B;2.A;3.A;4.C.1-x.二、1.6;2.x;3.x6+1;4.16x+7;5.x2+1;61-x.三、1.x([-1,2];2.x([-,];3.〈xlx≠kr（k(Z)〉;4.x(（2,4).四、f（0)=0,f（-1)=-,f（\)=,f（-\)=-.五、1.y=u3,u=4x+3;2.y=3u,u=o2,o=cos（2x+1);3.y=u2,u=arcsino,o=o,o=1-x2;4.y=1nu,u=1+\x1-\x.六、奇函数.七、1.单调递减﹔2.单调递减.八、1.周期函数T=﹔2.周期函数T=2r.第二章练习题和基础训练练习题2.11.（1）存在,an=10,当n→o,an→10﹔（2）存在,an=,当n→o,an→1﹔（3）存在,an=1-（）n,当n→o,an→1﹔（4）不存在,在奇数项中,当n→o,an→0,在偶数项中,当n→o,an→1﹔（5）存在,在奇数项中,当n→o,an→0,在偶数项中,当n→o,an→0.2.（1）极限为0﹔（2）极限为0﹔（3）极限为1﹔（4）极限为1﹔（5）当n无限增大时,1+（-1）n无休止地反复取0和2两个数,而不会无限接近于任何一个确定的常数,故该数列当n→o时没有极限﹔（6）数列〈（-即为-1,2,-3,4,-5,…,故该数列当n→o时没有极限﹔（7）极限为2.3.该数列的奇子数列为1,2,3,…,n,…没有极限,偶子数列为,,…,,…极限为0,所以该数列的极限不存在.练习题2.21.f（x）=l=〈9（x）==1,1imf（x）=-1,1imf（x）=1,.1imf（x）不存在﹔x→0+x→01im9（x）=1,1im9（x）=1,.1im9（x）=1.x→0x→011112.1imex=e0=1,1imex=0,1imex=+o,1111x→ox→0+x→03.中,当x→o,→0,所以=0.4.左极限1im（x-1)=-1,右极限1im（x+1)=1,左极限不等于右极限,所以此函x→0+数在x→0时极限不存在.5.根据极限四则运算:1im（2x+1)=1im2x+1im1=2×5+1=11.x→5x→5x→56.==（x+2)=4.7.由题意得=-o,=+o,所以不存在.8.1imf（x)=4,1imf（x)=9,所以1imf（x)不存在.x→2+x→2练习题2.31.（1)×;（2)√;（3)×;（4)×.2.（1)无穷小量;（2)无穷大量;（3)无穷小量;（4)无穷小量;（5)无穷大量;（6)无穷小量.3.（1)x→o时,函数是无穷小量;x→-8时,函数是无穷大量;（2)x→o时,函数是无穷小量;x→0时,函数是无穷大量.4.原式=1im1n（1+x)=1n1im（1+x)=1ne=1.x→0x→05.o.6.o.7.∵=0,.x3-x2比x2-2x高阶无穷小.练习题2.4（1)====0;（2)（2-+)=2-+=2-0+0=2;（3)====;（4)===;（5)===（2x+h)=2x;（7)0,利用无穷小的运算性质（有界函数与无穷小的乘积为无穷小);1（8)==2;1（9)==;（10)（1+)5x=[（1+)x]5=e5;（11)1im（1-x)=[1im（1-x)x]-3=e-3;x→0x→0（12)9;（13)o;（14);（15)0.基础训练一、1.B;2.A;3.C;4.A.2二、1.-9;2.2;3.0;4.;5.0;6.o;7.-2;8.2;9.0;10.6;211.;12.e2;13.e;14.e-.三、1.（1)×,如果函数f（x)在x→x0（或x→o)时的极限为零,则称函数f（x)为x→x0（或x→o)时的无穷小量;（2)×,如果函数f（x)在x→x0（或x→o)时,对应的函数值lf（x)l无限增大,则称函数f（x)为x→x0（或x→o)时的无穷大量;f（x)（4)×,自变量在同一变化过程中,如果f（x)为无穷大量,则1f（x)（4)×,自变量在同一变化过程中,如果f（x)为无穷大量,则1为无穷小量.f（x)2.1imf（x)=1,1imf（x)=-1,x→0+∵1imf（x)≠1imf（x),.当x→0时,f（x)的极限不存在.x→0+3.1imf（x)=1im（x2+1)=2,1imf（x)=1im（-1)=-1,x→1+x→1+∵1imf（x)≠1imf（x),.当x→1时,f（x)的极限不存在.x→1+图像如下:4第三章练习题和基础训练4练习题3.11.因为f（x)在x=0处有定义,x2sin=0=f（0),.f（x)在x=0处连续.2.（1)无穷间断点;（2)可去间断点.3.（1)=,所以当a=时函数连续;（2)1imf（x)=1imex=1,1imf（x)=1im（a+x)=a,f（0)=a,x→0+x→0+所以当a=1时函数连续.4.（1)x=-2为间断点,且为第二类无穷间断点;(xcos1（2)x=0为间断点,且为第一类可去间断点.补充定义y=〈x,（0,x≠0,x=0.练习题3.21.（1)连续区间为（-o,2),1imf（x)=f（-8)=1g10=1;x→-8（2)连续区间为[4,6],1imf（x)=f（5)=2.x→52.（1)1imf（x)=1im（x-1)=0,1imf（x)=1im（2-x)=1,x→1+x→1+当x→1时,f（x)的极限不存在;（2)f（x)在x=1处不连续;（3)函数的连续区间（0,1]U（1,3];（4)f（x)=f（2)=0,f（x)=f（)=-.43.（1)（sin2a)3=（sin2×)3=13=1;4（2)x（ex+arctanx)=0+（-)=-;（3)\\=)==2=2;（4)\5.4.f（x)在x=0处有定义. f（x)=e=0,f（x)=\1+2-1==0,所以f（x)在x=0处连续.5.令f（x)=x5-3x-1,f（x)在闭区间[1,2]上连续,并且f（1)=-3<0,f（2)=25>0,根据零点定理,在（1,2)内至少存在一点c,使f（c)=c5-3c-1=0,即c5-3c=1.所以方程x5-3x=1至少有一个根介于1和2之间.基础训练一、1.B;2.D;3.D;4.D;5.A.444二、1.===-\;4442.当x→o时,→0.令u=,则e=eu=1;3.1n=1n（)=1n1=0;4.1n（1+)=1n[（1+)]=1n1=0;5.xx[1n（x+1)-1nx]=x[1n（x+1)x-1n=x[1n（)x]=x[1n（1+)x]=1n[x（1+)x]=1ne=1.三、1.1imf（x)=1imex=1,1imf（x)=1im（2+x)=2.x→0+x→0+因为1imf（x)≠1imf（x),所以1imf（x)不存在.x→0x→02.f（x)=x4-3x2+7x-10,因为它在闭区间[1,2]上连续,并且f（1)=-5<0,f（2)=8>0,所以根据零点定理得:函数f（x)=x4-3x2+7x-10在（1,2)内至少有一点ξ（1<ξ<2)使得f（ξ)=0,即ξ4-3ξ2+7ξ-10=0（1<ξ<2).此等式说明曲线y=x4-3x2+7x-10在x=1与x=2之间至少与x轴有一个交点.3.设f（x)=x3-3x-1,因为它在闭区间[1,2]上连续,并且f（1)=-3<0,f（2)=1>0,所以根据零点定理得:函数f（x)=x3-3x-1在（1,2)内至少有一点ξ（1<ξ<2)使得f（ξ)=0,即ξ3-3ξ=1（1<ξ<2).此等式说明方程x3-3x=1至少有一个根介于1和2之间.4.设f（x)=x·2x-1,因为它在闭区间[0,1]上连续,并且f（0)=-1<0,f（1)=1>0,所以根据零点定理得:函数f（x)=x·2x-1在（0,1)内至少有一点ξ（0<ξ<1)使得f（ξ)=0,即ξ·2ξ=1（0<ξ<1).此等式说明方程x·2x=1至少有一个小于1的正根.5.设f（x)=x-asinx-b（a>0,b>0),因为它在闭区间[0,a+b]上连续,并且f（0)=-b<0,f（a+b)=a[1-sin（a+b)]>0,所以根据零点定理得:函数f（x)=x-asinx-b在（0,a+b)内至少有一点ξ（0<ξ<a+b)使得f（ξ)=0,即ξ=asinξ+b（0<ξ<a+b).此等式说明方程x=asinx+b（a>0,b>0)至少有一个不超过a+b的正根.第四章练习题和基础训练练习题4.11.C.2.B.3.（1)1.6x0.6;（2)x-;（3)x2;（4)-2x-3.31na.5.（1)-f'31na.5.（1)-f'（x0);（2)2f'（x0).6.y'=2x-1,.k切=y'lx=1=2×1-1=1,k法=-1.所以切线方程为y-2=1（x-1),即y=x+1;法线方程为y-2=-1（x-1),即y=-x+3.7.（1)f（x)在x=1处不可导但连续,理由如下:f'-（1)===1,f'+（1)===（1-x)=0,f'-（1)≠f'+（1),.f（x)在x=1处不可导.1imf（x)=1imx=1,1imf（x)=1=f（1),x→1+.f（x)在x=1处连续.（2)f（x)在x=0处不可导但连续,理由如下:f'（0)==xs=sin不存在,.f（x)在0处不可导.f（x)=xsin=0,.f（x)在x=0处连续.（3)f（x)在x=0处可导且连续,理由如下:f'（0)==x2s=xsin=0,.f（x)在x=0处可导,可导必定连续.练习题4.21.（1)y'=10x9-10x1n10;（2)y'=ex+xex;（3)y'=tanx1nx+xsec2x1nx+tanx;（4)y'=sec2x-csc2x.2.（1)y'=-42x-2;（2)y'=;（3)y'=exe-1-ex;（4)y'=3x21nx+x2.3.（1)y'=cosx+sinx,.y'lx==\y'lx==\2.（2)f'（x)=+,.f'（0)=,f'（2)=.练习题4.3（1)y'=-20（1-2x)9;（2)y'=12sin6xcos6x;（3)y'=;（4)y'=3sin（4-3x);（5)y'=arctanx+x·-·=arctanx;（6)y'=-6xe-3x2;（7)y'=);（8)y'=2snox;（9)y'=+;（10)y'=1-=.练习题4.41.y"=-2-12x2,y"=-24x.2.y"=120（x+10)3,y"lx=2=120×123=207360.3.（1)y'=ex2+2x2ex2,y"=2xex2+4xex2+4x3ex2=6xex2+4x3ex2.（2)y'=3e3x-2,y"=9e3x-2.（3)y'=5x4+12x2+2,y"=20x3+24x.（4)y'=1nx+x·=1+1nx,y"=.4.y=exsinx,y'==2excosx,.y"-2y'+2y=0.练习题4.51.（1)对函数两边直接取对数,有y1ny=1nx2x=2x1nx,y等式两边分别对x求导（注意y是x的函数),有（1ny)'=（2x1nx)',=2（1+1nx).于是y'=2y（1+1nx)=+1nx).（2)对函数两边直接取对数,有1ny=1n（)x=x1n=x[1nx-1n（1+x)],等式两边分别对x求导（注意y是x的函数),有（1ny)'=）x[1nx-1n（1+x)]〉',=[1nx-1n（1+x)]+x·（-)=1n+,2.（1)='==-tan9;（2)==.3.（1)这里y和y3可看成是x的复合函数,将方程两边对x求导得3x2+3y2y'-3a（y+xy')=0,所以y'=;（2)这里y2可看成是x的复合函数,将方程两边对x求导得2x+2y·y'=0,.所以y'=-x.练习题4.61.（1)y'=-,y'lx=1=（-)lx=1=-1,dylx=1=y'lx=1dx=-dx;（2)y'=,y'lx=1=lx=1=1,dylx=1=y'lx=1dx=dx;（3)y'=-sinx,y'lx=0=（-sinx)lx=0=0,dylx=0=y'lx=0dx=0;（4)y'=2cos2x,y'lx==2cos2xlx==0,dylx==y'lx=dx=0.2.（1)dy=-2nx（1;（2)dy=6xdx;（3)dy=（1-2x)dx.3.（1)2x;（2)x2;（3)sint;（4)-;（5)1n（1+x);（6)-;（7)2\x;（8).基础训练一、1.A;2.A;3.B;4.D;5.D;6.B,A;7.B.二、1.√;2.×;3.√.三、1.2f'（x0);2.-1,1;3.0;4.3+3e3.四、1.y'=1og2x+x·=1og2x+;2.y'=·=.五、1.y'==exsinx+excosx+excosx-exsinx=2excosx;2.='===.第五章练习题和基础训练练习题5.11.函数f（x)在区间[-2,2]上连续,在（-2,2)内可导,又又f（-2)=f（2)=,故f（x)在[-2,2]上满足罗尔定理条件,5由罗尔定理知至少存在一点ξ([-2,2]使得f'（ξ)=0,又因为f'（ξ)==0,.ξ=0([-2,2],因此罗尔定理对函数f（x)=在区间[-2,2]上是正确的.2.函数f（x)=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上连续,在（0,1)内可导,故f（x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件,从而至少存在一点ξ(（0,1),使f'（ξ)===0, 又f'（ξ)=12ξ2-10ξ+1=0可知ξ=5±113(（0,1),因此拉格朗日中值定理对函数f（x)=4x3-5x2+x-2在区间[0,1]上是正确的.3.函数f（x)分别在[1,2],[2,3],[3,4]上连续,分别在（1,2),（2,3),（3,4)内可导,且f（1)=f（2)=f（3)=f（4)=0由罗尔定理知至少存在ξ1(（1,2),ξ2(（2,3),ξ3(（3,4)使f'（ξ1)=f'（ξ2)=f'（ξ3)=0即方程f'（x)=0至少有三个实根,又方程f'（x)=0为三次方程,故它至多有三个实根,因此方程f'（x)=0有且仅有三个实根,它们分别位于区间（1,2),（2,3),（3,4)内.练习题5.2（1)a==cosa;（2)===2=2;（3)（-)======;（4)（-)===-;x→0+（5)1imxsinx==x·x==e0=1;x→0+（6)x=x=x=0.基础训练一、1.A;2.C;3.D;4.D;5.C;6.B;7.D;8.A.2,2二、1.（0,2);2.-39;3.（-1,0),（0,+o);4.-8;5.2,2三、1.×;2.√;3.×;4.×;5.√.四、1.（1)=（ex-1)=0;（2)（-)=====;（3)x（-arctanx)=0;（4)===.2.f'（x)=+2bx+1,因为函数在点x1和x2处有极值,所以1,2为方程+2bx+1=0的根,代人得a=-,b=-,x23x2-3.f"（x)=-ax23x2-3.13f"（2)=-<0,所以在x=2取极大值.13f"（2)=-<0,所以在x=2取极大值.163.y'=e-x-xe-x=（1-x)e-x,y"=-e-x+（1-x)（-e-x)=e-x（x-2),令y"=0得x=2.当-o<x<2时,y"<0,因此曲线在（-o,2]上是凸的,当2<x<+o时,y">0,因此曲线在（2,+o)上是凹的,（2,)为拐点.4.设半圆的半径为r,则窗户的截面面积为r2c-2r-rs=2r2c-2r-rs'=c-r-4r,令s'=0,r+45.设生产x台电视机,才能使利润最大,则利润Lr+45.设生产x台电视机,才能使利润最大,则利润L（x)为:L（x)=R（x)-C（x)=400x-2x2-5000-250x+1x2=-1x2+100100100150x-5000,则则L'（x)=-2x+150,令L'（x)=0,即-2x+150=0,解得驻点x=7500.所以当生产7500台100电视机时才能获利最大100电视机时才能获利最大.练习题6.11.（1)+C;（2)2x;（3)sin2x+x+C;（4)-sin2x.2.设曲线方程为y=f（x),则点（x,y)处的切线斜率为f'（x),由条件得f'（x)=,因此f（x)为的一个原函数,故有f（x)=Idx=1nlxl+C,又根据条件曲线过点（e2,3),有f（e2)=3解得C=1,即得所求曲线方程为y=1nlxl+1.练习题6.2（1)Ix7dx=+C;（2)I3xdx=x2+C;（3)Idx=I（x-6x+9x-)dx=Ixdx-6Ixdx+9Ix-dx=x-4x+18x+C;（4)I（2x+ex)dx=I2xdx+Iexdx=+ex+C;（5)Idx=I（)xdx=x)+C=1-10+C=+C;（6)Ixdx=Idx=I（cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C.练习题6.31111122332.1.（1)-;（2);（3)2;（4)-2;1111122332.2.（1)Icos4xdx=Icos4xd（4x)Icosudu=sinu+Csisin4x+C;4（2)I（x2-3x+2)3（2x-3)dx=I（x2-3x+2)3d（x2-3x+2)Iu3du=+C（x2-3x+2)4+C;（3)I（2x-1)5dx=I（2x-1)5d（2x-1)Iu5du=u6+C（2x-1)6+C;（4)I=-Id（1-2x)-Idu=-1nlul+C-1nl1-2xl+C;（5)I=Id（1nx)Idu=-+C-+C;（6)Ix2sin（3x3)dx=Isin（3x3)d（3x3)Isinudu=-cosu+C-cos（3x3)+C;（7)Iesinxcosxdx=Iesinxd（sinx)Ieudu=eu+Cesinx+C;（8)I=-I)=-Isec2（a-bx)d（a-bx)-Isec2udu=-tanu+C-tan（a-bx)+C;（9)令x=sint（-<t<),则\=cost,dx=costdt,Idx=I.costdt=I（2sint-1)dt=2Isintdt-Idt=-2cost-t+C=-2\-arcsinx+C;（10)I=Idx=Id（)Idu=u=xarctanu+Carctan+C;（11)设x=t6,则\x=t3,\3=t2,dx=6t5dt.所以I61（12)令t=\,即x=t2,从而dx=2tdt,I1xdx=It2tdt=2Itdt=2I1dt=2I（t-1+1)dt=2（-t+1n（t+1))+C=t2-2t+21n（t+1)+C.练习题6.41.（1)I1n（x2+1)dx=x1n（x2+1)-Ixd1n（x2+1)=x1n（x2+1)-Idx=x1n（x2+1)-2I1dx=x1n（x2+1)-2I（1-1)dx=x1n（x2+1)-2x+2arctanx+C;（2)Iarctanxdx=xarctanx-Idx=xarctanx-I)==xarctanx-1n（1+x2)+C;2（3)I1n2xdx=x1n2x-I21nxdx=x1n2x-2x1nx+I2dx=x1n2x-2x1nx+2x+C;（4)Ixcosdx=2Ixd（sin)=2xsin-2Isindx=2xsin+4cos+C;（5)Ix1n（x-1)dx=I1n（x-1)d（x2-1)=（x2-1)1n（x-1)-I（x+1)dx=（x21)dx=（x2-1)1n（x-1)-x2-x+C;242（6)Idx=-I1nxd（)=-[1nx-Idx]=-1nx-+C.2.因为是f（x)的原函数,所以f（x)=,Ixf'（x)dx=Ixdf（x)=Ixd（)=-I=1n+C,故I=-+1n+C;cosx--+C=c1n+C,故I=-+1n+C;基础训练一、1.f（x);2.3ex;3.2tanx-cotx+C;4.-x4+x3-3x2+x+C;5.x+4x+C;6.x+x+3x+C;7.x1n2x-2x1nx+2x+C;8.;9.x+sin2x+C;10.-;11.xarccosx-\1-x2;12.sin2x+C;13.2e2x;14.y=-+2x+3.二、1.C;2.A;3.A;4.D;5.C;6.A;7.C;8.A;9.D.三、1.I=-Isec2（2-3x)d（2-3x)=-tan（2-3x)+C;2.I=-I（2-3x)-d（2-3x)=-（2-3x)+C;3.Idx=I（3x2+)dx=x3+arctanx+C;4.Idx=Idx=Icsc2xdx=-cotx+C;5.Idx=-Iarcsinxd=-+I,令x=sint,则dx=costdt,从而1-costtsinI=It=Icsctdt=1ntan+C=1n+1-costtsin1-\1-x2x1-\1-x2x6.Idx=Id（1+x2)I1tdt2=Itdt=I1dt=I（1-t)dt=t-1n（1+t)+C=\1+x2- 1n（1+\1+x2)+C;7.令u=\1+ex,则x=1n（u2-1)得I=I=1n+C=1n+C;8.Idx=I=I-3I=1n（x2+2x+3)-3I=1n（x2+2x+3)-arctan+C;9.Idx=Idx=1nlx-1+\l+C（积分表的使用);10.Idx==Idx+I)=+1nlsinx+cosxl+C;11.I\x1n2xdx=x1n2x-I\x1nxdx=x1n2x-（·x1nx-I\dx)=x1n2x-x1nx+I\xdx3927=2x1n2x-8x1nx+16x+392712.Ix1n（9+x2)dx=x21n（9+x2)-Idx=x21n（9+x2)-I（x-)dx=-x2+Id（x2+9)=-x2+1n（9+x2)+C.四、o（t)=I（3t2-sint)dt=t3+cost+C1,因为o（0)=2,所以C1=1,即o（t)=t3+cost+1,s（t)=I（t3+cost+1)dt=+sint+t+C2,又因为s（0)=1,所以C2=1,即s（t)=+sint+t+1.五、设F（x)=1n（x+\,则f（x)=,Ixf'（x)dx=Ixdf（x)=xf（x)-If（x)dx=-1n（x+\1).第七章练习题和基础训练练习题7.11.（1)根据定积分的几何意义,定积分I2xdx表示由直线y=2x、x=1及x轴围成的图形的面积,该图形是三角形,底边长为1,高为2,因此面积为1,即I2xdx=1.（2)由于函数y=sinx在区间[0,r]上非负,在区间[-r,0]上非正,根据定积分的几何意义,定积分Irsinxdx表示曲线y=sinx（x([0,r])与x轴所围成的图形D1的面积减去曲线y=sinx（x([-r,0])与x轴所围成的图形D2的面积.显然图形D1与D2的面积是相等的,因此有Irsinxdx=0.2.（1)在区间[1,4]上,2≤x2+1≤17.因此有6=I2dx≤I（x2+1)dx≤I17dx=51.（2)因为在[0,1]上,1=e0≤ex2≤e1=e,且函数ex2不恒等于1和e,所以有1=（3)因[I1I因此有=Idx≤Idx≤Idx=21Idx=122.3.（1)在区间[0,1]上x2≥x3,因此Ix2dx比Ix3dx大.（2)在区间[0,1]上,x2≤x,所以ex2≤ex且除了x=0,x=1外,处处有ex2<ex,因此Iexdx比I大.（3)由于当x>0时1n（x+1)<x,故此时有x+1<ex,因此Iexdx比I（x+1)dx大.r（4)在区间[0,]上,sinx≤x,且除x=0外处处有sinx<x,因此Ixdx比rIrIsisinxdx大.0练习题7.21.y'=sinx,因此y'（0)=0,y'（)=\.2.（1)Itf（t)dt=xf（x);（2)sin（I2f（t)dt)=2xf（x)cos（I2f（t)dt);（3)I2\dt=2x\;（4)I=（I3-I2)3x22x\1+x12\1+x12\1+x8.3.（1)I=1;（2)I==.4.（1)I（x2+)dx=[x3-]=;（2)I\（1+\)dx=I（\+x)dx=[x+]=;（3)If（x)dx=I（x+1)dx+I2x2dx=[+x]+[]=;（4)Ilcosxldx=Icosxdx-Icosxdx=[sinx]-[sinx]=2;（5)I=l=（-)=.练习题7.31.（1)Isin（x+)dx=Isin（x+)d（x+)=[-cos（x+)]=0;（2)I2=I2=[-]2=;（3)Isin9cos39d9=-Icos39d（cos9)=[-cos49]=;（4)Icos2udu=I（1+cos2u)du=[u+sin2u]=-\;（5)Ite-dt=-Ie-d（-)=[-e-]=1-e-;（6)I\02a=-I\02a)=-[\]\02a=（\3-1)a;（7)I2I=[2\]=2\3-2.2.（1)Ixe-xdx=-Ixd（e-x)=-[xe-x]+Ie-xdx=-e-1+[-e-x]=1-;（2)Ix1nxdx=Id（x2)=[x21nx]-Idx=;（3)Ixarctanxdx=Iarctanxd（x2)=[x2arctanx]-Idx=-[x-arctanx]=-;（4)Idx=I21nxd\=[2\x1nx]-Idx=81n2-[4\x]=4（21n2-1);（5)Irxcos2xdx=Irx=Ir（x+xcos2x)dx=x2lr+Irxd（sin2x)=r2+（xsin2x+cos2x)r==r;（6)Irxsin2xdx=Ixd（-cos2x)=-cos2x+Icos2xdx=+sin2x=;（7)Ie2xcosxdx=Icos=[e2xcosx]+Ie2xsinxdx=-+Isin=-+[e2xsinx]-Ie2xcosxdx,因此有Ie2xcosxdx=（er-2).3.（1)由于被积函数为奇函数,因此Irx4sinxdx=0;（2)由于被积函数为偶函数,因此I3larctanxldx=2I\03arctanxdx=2[xarctanx-1n（1+x2)]\03=\r-1n4.练习题7.41.（1)S=I（y-)dy=（-1ny)=-1n2;（2)S=-I.11gxdx+I01gxdx=（-x1gx+x1ge).1+（x1gx-x1ge)0=9.9-8.11ge;（3)S=Icosxdx+I（-cosx)dx+Icosxdx022=sinx+（-sinx)+sin40222.（1)Vx=Iry2dx=rIxdx=r·=r,Vy=I2rxf（x)dx=I2rx\dx=2r·x=r;（2)V（2)V=Ir[（cosx)2-（sinx)2]dx+I[（sinx)2-（cosx)2]dx=1.3.取r为积分变量r([a,b],取任一小区间[r,r+dr],功元素dw=dr,所求功为w=Idr=kq（-)=kq（-).4.假如钉子钉人木板的深度为xcm,则木板对铁钉的阻力F（x)=kx,第一次锤击时所做的功W1=Ikxdx=.设n次击人的总深度为hcm,n次锤击所做的总功:Wn=Ikxdx=,而每次锤击所做的功相等Wn=nW1→=n·,所以n次击人的总深度h=\n,第n次击人的深度\n-\.5.建立坐标系如下图:面积微元2（a-x)dx,dp=pg·（x+2a)·2（a-x)dx,P=I2pg（x+2a)（a-x)dx=pga3.6.建立坐标系如下图:半圆的方程为y=\（0≤x≤R),利用对称性,侧压力元素dF=2rx\dx,端面所受侧压力为F=I2rx\dx=R3.7.（1)建立如下图的坐标系,确定积分变量和积分区间.设线密度为p,取9为积分变量,则9([0,r].（2)求微元:对9([0,r],[9,9+d9]([0,r],将[9,9+d9]对应的弧长质量看成一个质点,则[9,9+d9]对应的弧长质量为dm=prd9=rd9=d9.8.建立坐标系如下图:任取一小区间[x,x+dx],这薄层水的体积元素do=ry2dx=r32dx,这薄层水吸出桶外所做的功（功元素)为dw=pgxdo=9rgpxdx,故所求功为w=I9rgpxdx=112.5rgp（kJ).9.将15年租金总值的现值与购进费用相比较,即可做出选择.由于每月租金为1500元,所以每年租金为18000元,故f（t)=18000,于是租金流总量的现值为y=If（t)e-rtdt=I18000e-0.06tdt=-e-0.06tl=300000（1-e-0.9)=178029.1（元)因此与购进费用120000元相比,购进机器比较合算.10.建立坐标系如下图:椭圆的方程+=1,由题设,h>b,在y轴任取区间[y,y+dy],则椭圆板上对应窄条的面积的近似值为2xdy.于是窄条所受的水压力约为dF=2pg（h-y)·\dy,则所求水压力为F=Ib2pg（h-y)·\dy=pgabhr.11.建立坐标系如下图:因为温度不变,PV=10·r102×80=80000r是定值.当圆柱体的高减少xcm时的压强为P（x)=)==,.dW=.dW=P（x)Sdx=（80-x)·r·102dx,则W=I0·r·102dx=80000r1n2（N·cm)=800r1n2（J).12.（1)RT（Q)=I（200-)dQ=（200Q-0)=10000-12.5=9987.5;（2)总收益的增量为（200-)dQ=（200Q-=19850.13.因为CM（Q)=2,故CT（Q)=I2dQ=2Q+C,又∵CT（Q)lQ=0=0,得总成本函数为CT（Q)=2Q,边际收人RM（Q)=7-2Q,故总收人RT（Q)=IRM（Q)dQ=I（7-2Q)dQ=7Q-Q2+C.又∵RT（Q)lQ=0=0,得C=0,故总收人函数为RT（Q)=7Q-Q2,设总利润为L（Q)则L（Q)=RT（Q)-CT（Q)=7Q-Q2-2Q=5Q-Q2.（1)求利润函数的导数得L'（Q)=5-2Q,令L'（Q)=0得5-2Q=0即Q=2.5（百台),因本例是一个实际问题,最大利润是存在的,而极大值点又唯一,则在Q=2.5（百台)时,利润最大,其值为L（2.5)=5×2.5-2.52=12.5-6.25=6.25（万元).（2)从2.5百台增加到3百台,总利润减少了即L5从的（5产-0.25（万元)基础训练一、1.A;2.A;3.C;4.A.二、1.√;2.×;3.√;4.×;5.√.三、1.I（1-x2)dx;2.sinx2;3.;4.0;5.[r,2r];6.2.四、1.I\03a=I\03a)22=arctan\03a=;2.I\02\dxI2cos2udu=2·=;3.Irsinkxsinlxdx=-Ir[cos（k+l)x-cos（k-l)x]dx=-Ircos（k+l)xdx+Ircos（k-l)xdx=0;4.I\13Idu=[-\]=\2-23;5.Isin（1nx)dxIeusinudu=[eusinu]-I=-Ieusinudu=e（sin1-cos1)+1-Ieusinudu,所以Isin(1nx)dx=(sin1-cos1)+;6.I=I=[arcsin1nx]=.五、1.由y=x2与y=2-x得两曲线的交点为(-2,4)和(1,1),所以面积S=2.容易求得y=x2与x2+y2=8的交点为(-2,2)和(2,2),因此有2.容易求得y=x2与x2+y2=8的交点为(-2,2)和(2,2),因此有2A1=I2(\-x2)dx=2I(\-x2)dx=2[\+4arcsin-x3]==2r+3.A2=r(2\2)2-(2r+)=6r-.六、1.y2=x与y=x-2的交点为(1,-1),(4,2),V=rI1(y+2)2dy-rI1(y2)2dy=r(+2y2+4y)1-r()1=r=r;52.(x-5)2+y2=16是以(5,0)为圆心,4为半径的圆,由圆的方程得x=±\+5,故绕y轴旋转体的体积为V=rI4[(\+5)2-(-\+5)2]dy=rI4(20\)dy=20rI4\dy=40rI\dy=40r×4r=160r2.第八章练习题和基础训练练习题8.11.（1)要使函数有意义,必须y2-2x+1>0,即y2>2x-1;(x+y>0,(x>-y,（2)要使函数有意义,必须〈即〈（x-y>0,（x>y;(4x-y2≥0,(4x≥y2,（3)要使函数有意义,必须〈1-x2-y2>0,即〈x2+y2<1,（1-x2-y2≠1,（x2+y2≠0;(y≥0,(y≥0,（4)要使函数有意义,必须〈即〈（x-\y≥0,（x≥\y.草图略.2.（1)2-\x==-;（2)=o;y→02sin2x+y（3)==;y→0y→0（4)不存在.练习题8.21.1.（1);5（2)0;（3)=-e-xsin（x+2y)+e-xcos（x+2y)=-sin+cos=-1;（4)x'xl+x'yl=+==.2.（1)dx=1dx-\xdy;（2)dx=abxdy-abydx2\xy2y（ax-by)\a2x2-b2y2.3.x=f（u,o),u=xy,o=x2+y2,=y2+4xy+4x2,=+xy+（2x2+2y2)+4xy.练习题8.3（1)原式=IdxIex+ydy=I（ex+1-=（e-1)2;（2)原式=IdxIdy=I（x3-x)dx=;（3)原式=Idx（x2+y)dy=I（x-x4+x)dx=;（4)原式=IdxIdy=Isinxdx=1.基础训练(x-1≥0,(x≥1,1.（1)要使函数有意义,必须使〈即〈（y(R,（y(R;(1-x2≥0,(x2≤1,（2)要使函数有意义,必须使〈即〈（y2-1≥0,（y2≥1;（3)要使函数有意义,必须使x2+y2-1>0,即x2+y2>1;（4)要使函数有意义,必须使-x-y>0,即x+y<0.2.（1)=2xy2,=2yx2;（2)=-,=;（3)=xexy+x2,=yexy+2xy;（4)=,=;（5)=,=;（6)=-esinx·siny,=esinx·cosy·cosx;（8)=,=;（9)=,=,=;（10)=y3x5exy3x5,=3y2xx5exy3x5,=5xy3x4exy3x5.3.（1)=-y4sin（xy2),=2xcos（xy2)-2222xysin（xy),==2ycos（xy2)-2xy3sin（xy2);（2)=-,=,=,=-,=;（y2+x2;（y2+x2)2（3)=,=-,==;（4)=-,=-,==.4.（1)dx=ex2+y2（2xdx+2ydy);（2)dx=;x2+y2+x2.（3)du=x2+y2+x2.5.（1)=·+·=1n（3x-2y)+,=·+·=-1n（3x-2y)-;（2)=,=;（3)=e（2x-y2)sin（x2y)[2sin（x2y)=e（2x-y2)sin（x2y)[-2ysin（x2y)（4)=-12x+5y,=·+·=3x-y-（y-2x)=5x-2y;（5)x=t=-et,=--et;（6)=.(x=1,(F'x=(x=1,（y=1;6.（1)F（x,y)=xy+入（x+y-2),〈F'y=x+入=（y=1;（F'入=x+y-2=0(F'x=1-入x-2=0,（2)F（x,y)=x+y+入（+),〈F'y=1-入y-2=0,→不存在条件极值.（F'入=+=07.令u=x+y+x,o=x2+y2+x2;即:F（u,o)=0,得出=+2y·,=+2x·,=+2x·,ax=-aFaF+2x·aFay=-aFaF+2x·aF所以ax=-aFaF+2x·aFay=-aFaF+2x·aFaxauaoaxauao(Q'x=4.5-x-0.25y=0,(x=4,8.〈→〈（Q'y=5-2y-0.25x=0（y=2.(F'x=-6x+2y+1800=0,(x=360,9.F（x,y)=R（x,y)-C（x,y),〈→〈（F'y=-4y+2x=0（y=180.10.F（P1,P2)=P1Q1+P2Q2-C=-+32P1-+30P2-1395,〈(F'P=-P1+32=0,→〈(P1=80,（F'P=-P2+30=0（P2=30,Fmax=335.(F'x=8-0.06x-0.01y=0,(x=120,11.F（x,y)=10x+9y-C（x,y),〈→〈（F'y=6-0.01x-0.06y=0（y=80,F（x,y)=10x+9y-C（x,y)=310.12.F（x,y)=0.005x2y+入（x+2y-150),(x=100,（F'入=x+2y(x=100,（F'入=x+2y-150=0〈F'y=0.005x2+2入=0,→〈（y=25.13.①〈(R'x=14-8y-4x=0,→〈(x=,（R'y=32-8x-20y=0（y=1;(F'x=14-8y-4x+入=0,(x=0,②F（x,y)=R+入（x+y-1.5),x+y=1.5,〈F'y(F'x=14-8y-4x+入=0,（y=1.5.（F'入=x+y-1.5=014.需要在产出量2xayβ=12的条件下,求总费用P1x1+P2y的最小值,为此作拉格数F（x,y)=P1x+P2y+入（12-2xayβ),(F'x=P1-2入axa-1yβ=0,（1)〈F'y=P2-2入βxayβ-1=0,（2)（2xayβ=12.（3)P2ay,=y,代人（3P2ay,=y,代人（3),y=6（)a.x=6（)β.（)a时,投人总费用最少.15.①F（Q1,Q2)=P1Q1+P2Q2-C=16Q1-2Q21+10Q2-Q22-5,(F'Q=16-4Q1=0,(Q1=4,〈→〈P=10,P=7;（F'Q=10-2Q2=0（Q2=5,F（4,5)=52万元②由于价格统一,设P1=P2=P,F=PQ1+PQ2-C=（P-2)（Q1+Q2)-5=（P-2)（+12-P)-5=-P2+24P-47,F'=-3P+24=0,P=8,Q1=5,Q2=4,此时F=49万元.所以实行价格差别策略总利润大.16.y=2.2337x+95.3524.17.（1)Idxf（x,y)dy=I1dyI+1f（x,y)dx+IdyI-yf（x,y)dx;（2)IdxIf（x,y)dy=Idyf（x,y)dx+IdyI\-yf（x,y)dx;（3)I2dxI\32f（x,y)dy=I3dyI\23\9f（x,y)dx;（4)IdxIf（x,y)dy=IdyIf（x,y)dx.18.（1)IdyIyf（x,y)dx=IdxI2f（x,y)dy;（2)IdxIxf（x,y)dy=IdyIxf（x,y)dx+IdyIxf（x,y)dx;（3)I1dxI0\1-x2f（x,y)dy=I1dyI0\1-y2f（x,y)dx+IdyI0\1-y2f（x,y)dx;（4)IdxI2f（x,y)dy+IdxIxf（x,y)dy=Idyf（x,y)dx+IdyI-2yf（x,y)dx.19.图略.Id9IRsin9f（rcos9,r应用训练1.利润=总收人-总成本=40x-（x2+12x+100),整理后利润函数是:L（x)=-x2+28x-100.2.设每天生产x只手表,则:总成本=2000+20x.要不亏本,需要满足:40x≥2000+20x,20x≥2000,x≥100,所以每天至少生产100块,才不会亏本.3.要不亏本,需要满足:25x≥3000+20x-0.1x2,即x≥150.生产者不亏本时（销售收人不小于总成本)的最低产量为150台.4.Q=S,即14.5-1.5p=-7.5+4p,则p=4.5.E=df（x)/dx+x/f（x)=Aaxa-1·x/Axa=a.6.设每日生产产品x个单位,则每日的总成本函数:C（x)=130+6x（x≤100),平均单位成本函数:AC（x)=130/x+6（x≤100).7.当p=0时,即Q=b;当Q=0时,即-ap+b=0,则p=b/a.8.总成本函数:C（x)=0.01x2+10x+1000,边际成本