高中数学- 两角差的余弦公式教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计本节课的教学过程分六个环节。1复习回顾，提出问题引入新课[设计意图]数学源于生活，引导学生从生活中发现数学，体会数学就在身边，同时，数学也是服务于生活与实践的。它是要解决我们遇到的问题。2．明确任务，探索归纳⑴对于、、等特殊角的三角函数值可以直接写出，利用诱导公式还可以进一步求、、等角的三角函数值，我们希望再引进一些公式，能够求更多的非特殊角的三角函数值，同时也为三角恒等变换提供理论依据。⑵若已知、的三角函数值，那么的值能否确定？它与、的三角函数值有什么关系？这是我们本课时需要探索的问题。[设计意图]新知识的产生与形成离不开发散思维与联想，对已学知识的深入思考一定会引出新的矛盾，这些矛盾是激励学生成长的重要因素，也是激发学生数学兴趣的途径。为了引导好学生探索归纳，我设计了8个思考。思考1：设、为两个任意角，你能判断恒成立吗？思考2：我们设想的值与、的三角函数值有一定关系，观几组数据数据，你能有什么猜想？①cos45°cos45°＋sin45°sin45°＝________；②cos60°cos30°＋sin60°sin30°＝________；③cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝________；④cos150°cos210°＋sin150°sin210°＝________.猜想：cosαcosβ＋sinαsinβ＝________，思考3：一般地，你能猜想出等于什么吗？思考4：如图1，设、为锐角，且，角的终边与单位圆的交点为，，那么表示哪条线段长？思考5：如何用线段分别表示和？思考6：，它表示哪条线段长？，它表示哪条线段长？思考7：利用可得什么结论？思考8：上述推理能说明对任意角、都有成立吗？[设计意图]循序渐进，尊重知识的形成规律，让学生感受知识的产生是自然而然的、水到渠成的。3．自主探究，证明公式为了帮助学生突破难点，我设计了4个思考。思考1：根据的结构特征，你能联想到一个相关的计算原理吗？思考2：如图2，设角、的终边与单位圆的交点分别为、，则、的坐标分别是什么？其数量积是什么呢？思考3：向量的夹角与、有什么关系？根据数量积的定义，等于什么？由此可得什么结论？思考4：公式称为两差角的余弦公式，记作，该公式有什么特点？如何记忆？教师强调公式中、的任意性。[设计意图]由于学生对向量的工具性作用的体会还很浅，所以既要给学生思考的空间，又要加强引导；同时既要让学生体会向量法证明的简捷性，又要培养学生思维的灵活性和发散性。教师让学生用自已的语言描述公式的特点。4．巩固新知，理论迁移例1．利用两角差的余弦公式求的值。接着例1设计了3个变式训练。变式：利用化简：⑴；⑵；⑶还有一个思考：你会求吗？学生自主完成。[设计意图]例1是公式的正向运用，同时让学生体会把非特殊角转化为特殊角的思想；变式属于公式的逆向运用，培养学生的逆向思维和化归能力。例2．已知，，，是第三象限角，求的值。[设计意图]例2既是对公式的正向运用，同时要为运用公式扫清障碍；再次让学生体会由、的任意性赋予公式的强大功能，探索三角公式之间的内在联系。接着例2设计了3个练习：⑴利用可得等于什么？⑵若已知和的三角函数值，如何求的值？⑶若，，则等于什么？[设计意图]本练习对公式的理解提出了进一步的要求，同时遵循了循序渐进的教学原则。5．小结反思，任务后延教师引导学生围绕以下方面进行小结：⑴知识层面用三角函数探究公式；用向量方法证明公式——感受向量的工具性作用。⑵数学思想层面联想、类比、换元；特殊与一般；数形结合、分类讨论。[设计意图]让学生通过小结，反思学习过程，加深对公式及其推导过程的理解，领会数学研究的有关基本方法和途径，学习并能应用数学思想与方法解决有关问题。学情分析1、学生在初中接触过正弦、余弦，第一章对三角函数也做了相应的研究，所以《两角差的余弦公式》也会好理解。2、学生有相应的基础知识，证明《两角差的余弦公式》有两种方法，学生可以自己做选择，选出适当的方法，证明本节的结论。3、三角函数主要是一些记忆性的知识，学生们对于本章的内容还是比较喜欢的，学习上相应的也会更认真。效果分析学生通过本节课的学习，基本掌握了两角差的余弦公式的推导过程，能够自我总结形成公式探究的一般方法。激发了学生的探究欲望，能够独立或合作提出推导其它三角恒等式的方案，加深了对灵活运用公式的理解。学生在探索过程中学会将“知识问题化”，大胆、合理地提出猜想，通过证明】完善，最终达到将“问题知识化”的目的，收到了良好的效果。教材分析1．教材的地位和作用本节课的内容具有承上、启下和辐射的作用。它是前面所学的任意角的三角函数和诱导公式等知识的延伸，同时又是两角和余弦、两角和与差正弦、正切及二倍角公式的基础。对于三角变换、三角函数式的化简、求值和恒等式证明等问题的解决有重要的支撑作用。2．教学重点与难点⑴教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式及其应用。⑵教学难点：两角差的余弦公式的探索过程的组织和适当引导。这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题等。设计依据：由于“两角差的余弦公式的推导及应用”对后几节内容能否掌握具有决定意义，因此它是本节课的一个重点。由于“两角差的余弦公式的推导”需要构造单位圆中的三角函数线和构造向量来解决，所以它是本节课的一个难点。评测练习1.计算coseq\f(5π,12)coseq\f(π,6)＋coseq\f(π,12)sineq\f(π,6)的值是()A.0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)2.若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b等于()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D.－eq\f(1,2)3.设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，若sinα＝eq\f(3,5)，则eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))等于_______4.已知sinα＋sinβ＝eq\f(3,5)，cosα＋cosβ＝eq\f(4,5)，求cos(α－β)的值.5.已知sinα＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(5,13)，且180°<α<270°，90°<β<180°，求cos(α－β)的值.课后反思本节课始终贯彻在教师的有效指导下，学生主动参与公式的发现、推导和应用，在活动中体会数学思想方法、领悟数学本质的理念。同时还有几点思考：⑴用向量方法证明公式有其特有的优越性，但是向量方法学生很难想到，这就需要教师给学生思维恰当的引导，这样做不是降低学生的思维层次，反而能够提高思维的有效性，从而体现教师主导作用和学生主体作用的和谐统一；⑵教材的引入中，易造成误会两向量夹角即为，教学设计时一定要把与的关系澄清；⑶不管先证明哪个公式，用哪种方法证明公式，教师都应该从学生的最近发展区入手，最符合学生认知规律的设计才是最好的。课标分析1.使学生理解两角差的余弦公式的推导，并能初步应用它们进行简单的三角函数式的化简、求值、求角。2经历用三角函数线和向量的数量积推导