吉林省吉林市普通中学2022届高三下学期第三次调研考试数学（理）试卷（含答案）

吉林省吉林市普通中学2022届高三下学期第三次调研考试数学

（理）试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、设集合A={X-2<x<4},8={%|-1cx<5},则4B=()

A.{M-l<x<5}B.|x|-2<x<5jC.{x[-2<x<4}D.{x|-l<x<4}

2、下列函数在其定义域上单调递增的是()

A.y=2"-2-*B.>=厂3C.y=tanxD.y=log,x

3、已知数列｛可｝的首项q=1,若向量。=（4,+1,。,田）,向量6=（1,1），且满足a〃b,

则数列｛4｝的通项公式为（）

_1,〃是奇数

C.a=-nD.a=n

='一2,〃是偶数nn

4、二进制数100%）转化为十进制数是（）

A.8B.9C.16D.18

5、已知两圆方程分别为一+：/=4和。-3）2+。-4/=9,则两圆的公切线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

6、在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直，水平，倾斜放置时，圆

柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有:①矩形②圆③椭圆④

部分抛物线⑤部分椭圆（）

A.②③⑤B.①②③④⑤C.①②③⑤D.①②③④

7、若函数/（x）=x3+x2+ax-l是R上的单调函数，则实数。的取值范围（）

A.。2—B.a<—C.a>—D.a<一

3333

8、位于灯塔A处正西方向相距（56-5）mile的8处有一艘甲船需要海上救援，位于灯

塔A处北偏东45。相距5&mile的。处的一艘乙船前往营救,则乙船的目标方向线（由观

测点看目标的视线）的方向是南偏西（）

A.30°B.60°C.750D.45°

9、若椭圆C的方程为三+丁=1,则“加=4”是“椭圆。的离心率为且”的（）

m2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10、已知函数_/(x)=sin(s+已］侬>0)在［0,2可上有且仅有4个零点，则。的取值范

围是()

,「2329］-「2329、<111111in

A.—,—B.—,—C.—,—30'24J

L1212J|_1212)(3024

11、半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形

围成的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体.如图，棱长为

V2的正方体截去八个一样的四面体,就得到二十四等边体，则下列说法错误的是()

A.该几何体外接球的表面积为4兀

B.该几何体外接球的体积为竺

3

C.该几何体的体积与原正方体的体积比为2:3

D.该几何体的表面积比原正方体的表面积小

12、已知。=e°」-l,0=sin0.1,c=lnL141j()

X.a<b<cB.b<c<aC,c<a<bD.c<b<a

二、填空题

4

13、已知x>2,贝!J——+x的最小值是.

x—2

14、抛物线f=4y的焦点/关于其准线的对称点坐标是.

15、中国于2022年2月在北京成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会.共赴冰

雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”已从愿景

变为现实,中国各地滑雪场的数量也由2015年的1255家增加到2021年的3100家.下面

是2016年至2021年中国滑雪场新增数量和滑雪场类型统计图，下列说法中正确的序号

是.

2016-2021年全国滑雪场新增数量:趋势图■数居：家2020年冷当场类型图

C业联技型

业业余余玩玩家家型型

201620172018201920202021

①2021年中国滑雪场产业中大众娱乐型滑雪场占比最高

②2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升

③2016年至2021年中国滑雪场新增数量逐年增加

@2021年业余玩家型滑雪场比2020年大众娱乐型滑雪场数量多

16、已知复数z=l+i,对于数列｛43定义匕=%+2。2+-・+2=4为｛4｝的“优值”.若

某数列｛g｝的“优值"匕=|z『",则数列｛q｝的通项公式q=；若不等式

aj—4+42(-1)"也对于VneN*恒成立，则攵的取值范围是.

三、解答题

17、如图,在平面四边形APBC中,AC=BC=3,"=BP,NACB=90。,ZAPB=60°.将

△PAB沿AB折起得到三棱锥P-ABC,使得P'C1AC.

(1)求证:PC_L平面ABC;

(2)点E在棱PA上,。E=2£4,求二面角E-BC-A的余弦值.

18、在△ABC中，内角A,民C所对的边分别为a,b,c且asin8=/?sin(A+1).

(1)求角A的大小；

(2)若AB=3,AC=1,N84C的内角平分线交边3c于点。，求A»AC.

19、“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色

社会主义思想和党的十九大精神为主要内容,立足全体党员，面向全社会的优质平台.

“学习强国”中有“双人对战”和“四人赛”两项竞赛答题活动，活动规则如下：“

双人对战”每日首局胜利积2分,失败积1分，每日仅首局得分；“四人赛”每日首局第一名积3分

，第二、三名积2分，第四名积1分，第二局第一名积2分，其余名次积1分，每日

仅前两局得分.

已知周老师参加“双人对战”答题时，每局比赛获胜的概率为白；参加“四人赛”答题

3

(每日两局)时，第一局得3分,2分的概率分别为第二局得2分的概率为L周老师每

424

天参加一局“双人对战”，两局“四人赛”，各局比赛互不影响.

(1)求周老师每天参加答题活动总得分为6分的概率；

(2)求周老师连续三天参加“双人对战”答题总得分X的分布列和期望.

22

20、已知点A,B分别为椭圆E:=+与=1(。＞人＞0)的左，右顶点,耳,F,为椭圆的左，右焦

ao

点,AF2=34耳,P为椭圆上异于A,B的一个动点,APF\F]的周长为12.

(1)求椭圆£的方程；

(2)已知点M(3,0)，直线PM与椭圆另外一个公共点为。，直线AP与BQ交于

点N,求证:当点P变化时，点N恒在一条定直线上.

21、已知函数/(x)=lnx+3的极小值为1.

X

(1)求实数。的值；

(2)设函数g(x)=/(x)-」+m

X\xJ

①证明:当0＜加＜，时,Vxejo,』—1,g(x)＞0恒成立；

2I\-rnJ

②若函数g(x)有两个零点，求实数机的取值范围.

v*—2COSzy

22、在直角坐标系X。)，中，曲线。的参数方程"(a为参数)

y=sina

以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C的普通方程和极坐标方程；

(2)设AB是曲线。上的两点，且Q4_LQ3,求一^+―^的值.

|OA|\OB[

23、已知函数/(同=k一1|+卜+3卜

(1)解不等式/(x)W6;

(2)设xeR时，函数〃x)的最小值为M.若实数44c满足a+2"3c="，求

02+6+。2的最小值.

参考答案

1、答案：B

解析:集合A={x|-2cx<4},8={x[-1<x<5}

则AB={x[—2<x<4}{x[—l<x<5}={-2<x<5},故选:B.

2、答案：A

解析:根据题意,依次分析选项:对于人广=2"-2-"其定义域为R,导数y'=(2"+27)ln2,

则有y'=(2、+2v)ln2>0,则该函数在其定义域为增函数，符合题意，对于B,y=x”为暴

函数，在其定义域上不是单调函数,不符合题意，

对于C,y=tanx,是正切函数，在其定义域上不是单调函数,不符合题意，

对于D,y=log/，是对数函数，在其定义域上为减函数，不符合题意，故选:A.

2

3、答案：D

解析：向量a=(«„+1,%+]),向量。=(1,1)，且满足向区,；.a„+l=a„+1,

，%+「。”=1，，数列{4,}是首项4=1，公差为1的等差数列,•,•%=1+(〃-1)x1=〃，故

选:D.

4、答案：B

解析:1001(2)=1x23+0x22+0x3+1x2°=9,故选:B.

5、答案：C

解析:根据题意，圆f+y2=4,其圆心为(0,0),半径H=2,圆(x-3)2+(y-4)2=9,其圆心

为(3,4),半径「=3,两圆的圆心距d=J9+16=5,有d=R+r,即两圆外切,则两圆的公切

线有3条,故选:C.

6、答案：C

解析:当圆柱筒竖直放置时，液面形状为圆形;当圆柱筒水平放置时，液面为矩形;当圆柱筒

倾斜放置时，若液面经过底面，则液面为椭圆的一部分，若液面不经过底面，则液面为椭圆.

故选:C.

7、答案：A

解析:由题意得/'(x)=3f+2x+a»0在R上恒成立或/'(x)=3d+2x+a«0在R上恒

成立，但/'（x）=3/+2x+aW0在R上不恒成立，故△=4-12aW0,解得a>|.故选:A.

8、答案：B

解析:依题意，过点。作CD_LBA的延长线交于点。，如图，

则=50—5,AC=5及,ZACD=45°，在RtAADC中,AD=OC=5,

在RtABDC中,B。=,OC=5,tan/BCD=—=^3,

DC

又•NBCDeNBCD=|,

则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60。,故选:B.

9、答案：A

解析:椭圆。的离心率为g,可得年^=走,或，^币=且，解得加=4或m」,所

2Vm224

以椭圆。的方程为《+丁=1,则=4”是“椭圆C的离心率为也”的充分不必要条件.

m2

故选:A.

10、答案：B

lai--/、

解析:令s+=E，则x=---^,左£2,由函数/（尤）=5宿［8+13〉0）在［0,2可上有

)兀

471—

6

<2兀

CD日n2329痂也

且仅有4个零点，则，即—<①<—，故ji：B.

_兀1212

5兀——

6

>2兀

co

11、答案：C

解析油题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1,外接球的表

面积为4兀，体积为可，故A,B正确；

对于C,该几何体的体积V=/方体-8%而体=（正）18xgx；x；x[¥]=乎，

\7

正方体体积为2行,故该几何体的体积与原正方体的体积比为5:6,故C错误;对于D,该

几何体有6个面为正方形,8个面为等边三角形,S表=6xE+8X邛X1=6+26<，故

衣412D

正确.故选:C.

12、答案：D

解析:略

13、答案：6

44I~4-

解析：x>2,.*.x-2>0,X，----+x=----+x-2+2>2J-----（x-2）+2=6,

x-2x-2Vx-2

当且仅当上一=X-2时等号成立，即x=4时等号成立;故答案为6

X-2

14、答案:（0,-3）

解析:抛物线f=4y的焦点尸（（）,）准线方程为y=-1,•.焦点/关于准线的对称点坐标

为（0,-3）.故答案为:（0,-3）.

15、答案：①②④

解析:由扇形统计图可各,2021年中国滑雪场中大众娱乐型滑雪场占有比最高，故①正确;

由柱状图可知,2016年至2021年中国滑雪场数量逐年上升，故②正确；

由柱状图可知,2020年比2019年下降了,故③不正确;由图知,2021年业余玩家型滑雪场

比2020年大众娱乐型滑雪场数量多，故④正确.故选:①②④.

16、答案：n+1;——,5

解析油z=1+i得|z『=（闾筋=2"，所以4+2匕+2"%=2“，

进而可得6+2々+…+2"Tan=〃2",当n>2时,a,+2/+...+2"-2a㈢=（〃,

两式相减得2"一%=九2"-（〃一1）2〃一=%=〃+1,当"=1时，4=2也符合，故%=〃+1;因

为一+42（-1）"如,

即（〃+1）2_（〃+1）+42（―1）7〃力（-1）“的4/+〃+4=（_1）Z<-----------,

n

当“为偶数时,%4/+〃+4=“+&+1,〃+±24（当/=2时等号成立），故心5,

nnn

当n为奇数时,_氏”+〃+4=〃+3+],〃+3212（当〃=3时等号成立）,故女之_”,故

nnn33

对于V〃eN*恒成立，则-3〈心5,故答案为:〃+1;--,5.

33

17、答案：（1）见解析

⑵拽

5

解析：（1）证明:•APMBP-.AP^BPJ^*AC=3C,CP=CP,.・.z\ACP'MZk5CP,即

ZACP1=ZBCP'.PC1AC,PCIBC.ACQ8C=C,ACu平面ABC,BCu平面

ABC.'P'C,平面ABC.

（2）•,ZACB=90°,:.AC±BC.-PCLBC,PCu平面P'AC,ACu平面P'AC,

PCAC=C,BC_L平面P'AC,BCLCE,:.ZACE是二面角E-3C-A的平面

角.：AC=BC=3,P'A-PA-AB-3V5,PC=3,AE—V2,

CE=V9+2-2X3XV2COS45°=6；.cosZACE=""向=*,

2x3x<55

即二面角E-BC-A的余弦值为詈.

18、答案:（1）:.A=-

3

9

（2）

8

解析：（1）asinB=8sin（A+；）,由正弦定理得.sinAsinB=sin3sin（A+1

sinBHO,；.sinA=sinIA+-|sinA=-sinA+—cosA=—cosA,

2222

tanA=V3,•AG（O,TC）,.\A=

（2）

..Q=q+q

°AA/?C一°AABDT，

：.-ABAC-sinZBAC=-ABAD-sinZBAD+-AD-AC-sinZDAC,

222

—Ixr3ix1xsin.兀—=—1xr3xA“cDxs.i兀n—4-1-x4AcDlx1xs.i兀n—,ACD=3-V-3-

2326264

/.AD-AC=|AD|-|AC|COS—=^^-xlx—.

INI6428

19、答案：（1）周老师每天答题活动总得分为6分的概率U.

48

（2）5

解析：（1）设每天答题活动总得分为6分的事件为A,事件A包含三种情况：

参加“双人对战”得2分，第一局“四人赛”得3分，第二局“四人赛”得1分，概率

，参加“双人对战”得2分，第一局“四人赛”得2分,第二局“四人赛”

34I478

得2分,概率鸟渗加“双人对战”得1分，第一局“四人赛”得3分,第二局

“四人赛”得2分，概率A=（l-g）x；x；=*,则P（A）=[+£+G=g,所以周老师每天

答题活动总得分为6分的概率

48

（2）连续三天参加“双人对战”答题总得分X的可能取值为3,4,5,6,

2/262

C1,

P（X=3）=C“-■!）=',P（X=---==-

33I39

27

4/2\8

月XC3■m3

-=-3|_-一

P（X=5X©（咱喏=9\7_

_27

3-

X的分布列为：

X3456

P1248

279927

I748

则E（X）=3x—+4x-+5x—+6x—5.

\）279927

22

20、答案：（1）—+^-=1

1612

(2)见解析

解析：⑴设椭圆的焦距为2G则耳(一。,0),6(c,O),A(-a,O),B(a,O),

AF.,=(a+c,O),A耳=(a—c,0)，由AF-,=3AFt得a+c=3(a—c),即a=2c,

由△Pf；鸟的周长为16,得2a+2c=16,所以a=4,c=2,〃=12,故椭圆E的方程

为:工+匚1.

1612

x=my+3

(2)设直线P。的方程:工=〃少+3,。(尤1，苗),。5,必)，联立方程组,x2y2得

—+—=1

.1612

-18m

y+%=»2:7

3加2+4)V+18m)，-21=0,△>()恒成立<'北，即2/孙％=鼻(X+%)①，直

线AP的方程:y=-X[(X+4),直线BQ的方程:y=—^-(x-4)②，

myl+7my2-1

7428、

4l—yH----%I

由①②得x=q———=3,所以，当点。运动时，点N恒在定直线上.

M+7y233

21、答案：(1)a=l

(2)见解析

解析:(1)/⑺的定义域为(0,.)，灯(x)=?:

当心0时,/'(x)>0恒成立,7(x)在(0,+oo)上单调递增，无极小值;当a>0时，令

/1X)>(),x>a;令r(x)<0,0<x<a.所以/(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+oo)上单调

递增.所以“X)的极小值为〃a)=lna+l=l,即a=l.综上,a=l.

(2)g(x)=hLr+"j-^_l],g'(x)=一]丁”,

2c(fn\„m

x—2m<-----2m--,<0,

1k1-m)(1-m)

.•・g，(x)<0,即g(x)在0,“上单调递减,

mm、I-2m.m\-m.

，g(x)>g|j=In+-----=In+------1.

-m1-mJm1-mm

由⑴知,/(x)的最小值为"1)=1,即InxNl—(当且仅当x=l时,等号成立)，