小学数学-鸽巢问题教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》教学设计平阴县实验小学张强教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级（下册）第五单元数学广角“鸽巢问题”第68、69页的内容。教学目标：1.通过操作、观察、比较、推理等活动,让学生经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。2.会用“抽屉原理”解决生活中的简单问题,培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力,并能用精炼准确的语言表述自己的思考和推理过程。3.使学生经历将具体问题“数学化”的过程,培养学生建构数学“模型”的思想。4.通过“抽屉原理”的灵活应用,让学生感受到数学的魅力,并培养学生对数学的学习兴趣。教学重点:抽屉原理的理解和运用。教学难点:理解“抽屉原理”,并对些简单实际问题加以“模型化”。教学过程:一、创设情境，揭示课题师:扑克牌大家都玩过吧!除去大小王，还有几种不同的花色?师:我们就用剩下的牌来做个游戏，在扑克牌中任意抽出5张(指一名学生上台帮忙),我敢肯定的说，至少有2张同花色的。你们信吗?那就请5位同学上来各抽一张，我们来验证下。(预设:抽出3或3张以上同花色的牌提问“是至少有2张是同花色的吗?")师:我们再来一次。我还敢这样肯定地说，你们相信吗?师:两次我都猜对了，这可不是魔术，我只不过是运用了一个简单的数学原理。在今天的“数学广角”里(板书课题:数学广角)，我们就一起来研究这个原理。[设计意图：充分利用课本资源，从学生熟悉的扑克牌游戏入手，激发学生的探究兴趣，由于抽牌的情况是不可预知的，所以预设了“3张同花色的,是至少有2张是同花色的吗?”的提问。这样的设计，也为下一环节,学生理解“总有一个文具盒里至少放入2枝铅笔”的含义做铺垫。]二、经历“抽屉原理”的探究过程,理解原理(一)呈现问题，引出探究课件呈现:把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔。师:“总有”和“至少”这两个词是什么意思?预设：“总有”就是一定有，至少就是“最少，最起码”。师:你觉得这句话说得对吗?请你静静思考一下。（二）自主探究，初步感知1.学生探究。师:老师给大家提供了学具,你们可以利用这些学具来摆一摆，验证你的想法。2.反馈交流，（1）枚举法。预设：我们通过用学具摆一摆，发现一共有四种情况。这四种情况中，不管哪一种，都有一个笔筒里至少有2支铅笔。师：我们来看这些摆法，凭什么说“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”？预设:第一种摆法有一个笔筒是4支，第二种摆法有一个笔筒是3支，第三种摆法有一个笔筒是2支，第四种摆法有两个笔前都地2支，所以“总有一个笔筒里至少放进2支铅笔”师:比2支多也可以吗?预设：至少放进2支笔就是最少是2支，比2支多也可以的，3支、4支都是符合更求的。再次引导学生观察四种摆法，圈出符合要求的笔筒予以“检验”，理解“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”，对学生的方法给予肯定。师：刚才我们通过枚举各种情况，发现每一种情况“总有一个笔筒里至少有2支铅笔”。（板书：枚举法）（2）假设法。初步感受，极端思考。师：看看所有的方法中，铅笔放的较多的笔筒里，最多放入了几枝铅笔？我们研究的是放的较多的笔筒里总有一个笔筒里“至少”放进几枝铅笔，怎样才能使放的较多的笔筒里尽量少放铅笔呢?独立思考，同桌交流想法。预设:我们研究的是放的较多的文具盒里总有一个文具盒里“至少”放进几枝铅笔，要使这个放得较多的文具盒里尽量少放铅笔。我们要将铅笔尽可能平均分就算每一文具盒里放一枝铅笔，也会多出一枝，一定有一个文具盒里还要多放人一枝铅笔所以不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔。预设问题：师:你为什么要先在每个笔筒中放1支呢?预设:因为总共只有4支，平均分，每个笔筒只能分到1支。师:你为什么要一开始就要去平均分呢?(板书:平均分)预设：平均分，就可以使每个笔筒的笔尽可能少一点，也就有可能找到和题意思不一样的情况。师:刚才我们先是将所有的放法列举出来进行观察，然后从“尽量平均分”的方法入手开始思考，虽然方法不同，通过探究后发现，不管怎么放，总有一个文具盒里至少要放进2枝铅笔。再遇到这类问题时，就不用将所有的放法列举出来，可以从“尽量平均分”的方法开始思考。[设计意图:关于“至少”的字面含义，学生理解并不困难而真正难以理解的是,这里的“至少几枝”是针对所有放法中，放的较多的文具盒里至少放入了几枝铅笔。没有枚举做基础的假设思考是不能得出“总有一个文具盒‘至少’放进2枝铅笔”的结论的。因此必须是将所有放法列举出来后，再进行观察，才能说明将物体尽量平均分后，放的较多的文具盒里的铅笔枝数是最少的，也就是“至少2枝铅笔”。所以，让学生通过摆一摆，列举所有的放法，然后再观察。充分体现了枚举法与假设法之间的内在逻辑联系。3.教师小结,介绍“抽屉原理”。师:铅笔放进笔筒我们会解释了，那么下面这两句话你能得出什么结论呢?课件呈现:8只鸽子飞回7个鴿巢，10个苹果放进9个抽屉里。师:像这样的数学问题，我们就叫做“鸽巢问题”或“抽屉问题”，它们里面蕴含的数学原理，我们就叫做“鸽巢原理”或“抽屉原理”。(揭題)4.加深原理理解,优化思考方式。(1)课件呈现:把6枚棋子放人下图中四个小角形内。那么至少有几枚棋子放人同一个小三角形内?独立思考。(2)集中反馈，指名到黑板上操作。预设提问:如果把剩下的两枚棋子放人同一个小三角形内，就至少有3枚棋子放人同一个小三角形内。将棋子尽量平均分后，剩下的两枚棋子应该怎么放的?为什么要分别放进两个小三角形内?(3)师:(小结)刚才我们运用抽屉原理解决放棋子的问题。我们可以把棋子看作物体，把小三角形看作抽屉，将物体尽量平均分后，剩下就不止1个物体，我们应该将利余的物体再尽量平均分。[设计意图:借助直观操作，加强学生的数学建模思考方法的训练，用数学的语言和方法，通过抽象,简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型。]三、进一步认识和理解“抽屉原理”1.数量积累，发现方法。(1)课件出示例2：把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？为什么？师:好好想想。和同桌说说你的想法。(2)指名回答师:能用算式表示出你的想法吗?根据学生回答情况，板书7÷3＝2……1师:能解释一下你的算式吗?请一位学生结合算式再说说(3)师:如果一共有8本书，至少有几本书要放进同一个抽屉里？指名回答。根据学生回答，适时板书:8÷3＝2……2师:10本呢?根据学生回答，适时板10÷3＝3……12.深人理解，寻找现律。师:在刚才的研究中，借用的是物体和抽屉。数学研究是无国界的，还有一些国家是用鸽子和鸽巢来研究物体和抽屉的关系的。我们一起来看看。出示第69页做一做:11只鸽子飞进了4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么？根据学生回答，适时板书：11÷4＝2……3师：像几只枝笔、几本书、几只鸽子我们称之为物体数，笔筒数、抽屉数、鸽笼数称为抽屉数。通过刚才的学习，你发现怎么求总有一个抽屉的至少数呢?把你的发现在4人小组内交流交流。3.小结：如果物体数除以抽屉数有余数,用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1个物体”。字母表示：a÷n＝b……c至少数b+1[设计意图:逐步由具象到抽象，由形到数，由计算到发现规律。旨在让学生在学习过程中，运用其中蕴含着多种数学思考方法，这也正是本节课的教学目标。基于这样的教学目标定位，在发现规律的预设中，并不要求学生如准确的说出“商+1”。只需联系所学，理解“尽量平均分后，如果有剩余的物体，一定有一个文具盒里还要多放入一个物体”。]四、应用“抽屉原理”，感受数学的魅力其实在我国古代文献中，就有运用抽屉原理来分析问题的例子。我们一起来看看。1.看有关抽屉原理资料。让学生感受古代数学文化。(如图5)课件展示:我国宋代的学者费衮在《(梁溪漫志》一书中就运用抽屉原理来批驳“算命”。书中写道：民间是以一个人出生的年、月、日、时辰作算命的根据，你的命将由你的出生时辰决定，这可真是荒谬绝伦!费衮认为，把人出生的时辰看作“抽屉”，把世上的所有的人看作物体，物体数远远大于抽屉数。根据抽屉原理，一定有人会进人同一个“抽屉”。如果“算命”是可信的，那么这些进人同一个抽屉的人应该具有完全相同的“命”，但事实并非如此，看来“算命”完全是无稽之谈。在我国其他的古代文献中也有很多利用“抽屉原理”来分析问题的例子。直到19世纪，德国数学家狄里克雷明确提出这一原理，因此“抽屉原理”又被称之为“狄里克雷原理”。[设计意图:通过让学生了解“抽屉原理”发展的过程，来引导学生了解数学与人类社会发展之间的相互作用，开阔视野，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，从而有效地提高学生的科学素养和文化素养。]2.师;还记上课时做的游戏吗?我们从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有2张是同花色的。你们现在能说明其中的道理吗?[设计意图:前后联系，首尾呼应，学以致用。满足学生学习的成就感，为学习教学提供了持续的动力。]3.师:我来做个调查，咱们班有多少名同学?那我们班至少有几个人是同一个月过生日呢?五、全课小结今天我们初步认识了鸽巢原理，“鸽巢原理”的应用是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，我们还会继续学习!学情分析“抽屉原理”的变式很多,在生活中运用广泛,学生在生活中常常遇到此类问题。教学时,要引导学生先判断某个问题是否属于“抽屉原理”可以解决的范畴。能不能将这个问题同“抽屉原理”结合起来,是本次教学能否成功的关键。所以,在教学中,应有意识地让学生理解“抽屉原理”的“一般化模型”。六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。教材选取的是学生熟悉的,易于理解的生活实例,将具体实际与数学原理结合起来,有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。效果分析通过本节课的学习，学生对鸽巢问题有了初步的认识，主要表现在以下几个方面：1.通过操作、观察、比较、推理等活动，学生经历了“抽屉原理”的探究过程,初步了解了“抽屉原理”。2.学生会用“抽屉原理”解决生活中的简单问题，能够有根据、有条理地进行思考和推理,并能用精炼准确的语言表述自己的思考和推理过程。3.学生经历了将具体问题“数学化”的过程,树立了建构数学“模型”的思想。4.通过“抽屉原理”的灵活应用，学生感受到了数学的魅力,激发了对数学的学习兴趣。教材分析【教材中的地位和作用】“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。它也被广泛地应用于现实生活中，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，这是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的重要要求，也是本单元的编排意图和价值取向。教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。那么，这里的“一定有一个抽屉”是什么意思？“至少两个物体”是什么意思？“一定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。【教材内容分析】例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于（是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，在解决具体问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。评测练习1.1001只鸽子飞进50个鸽舍,无论怎么飞,我们一定能找到一个鸽子最多的鸽舍,它里面至少有()只鸽子。2.从8个抽屉中拿出17个苹果,无论怎么拿,我们一定能找到一个拿出苹果最多的抽屉,从它里面至少拿出了()个苹果。3.从()(填最大数)个抽屉中拿出25个苹果,才能保证一定能找到一个抽屉,从它当中至少拿了7个苹果。4.你能证明在任意的37人中,至少有4人的属相相同吗?说明理由。《鸽巢问题》教学反思“鸽巢问题”是小学阶段最后一个“数学广角”单元的教学内容。本节课的设计意图是把重要的数学思想方法通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来，激发学生探索数学问题的兴趣和解决问题的意识，发展思维能力，让学生在活动中感悟数学思想方法，促进学生数学素养的提升。一、创设情境，揭示课题充分利用课本资源，从学生熟悉的扑克牌游戏入手，激发学生的探究兴趣，由于抽牌的情况是不可预知的，所以预设了“3张同花色的,是至少有2张是同花色的吗?”的提问。这样的设计，也为下一环节,学生理解“总有一个文具盒里至少放入2枝铅笔”的含义做铺垫。二、经历“抽屉原理”的探究过程,理解原理关于“至少”的字面含义，学生理解并不困难而真正难以理解的是,这里的“至少几枝”是针对所有放法中，放的较多的文具盒里至少放入了几枝铅笔。没有枚举做基础的假设思考是不能得出“总有一个文具盒‘至少’放进2枝铅笔”的结论的。因此必须是将所有放法列举出来后，再进行观察，才能说明将物体尽量平均分后，放的较多的文具盒里的铅笔枝数是最少的，也就是“至少2枝铅笔”。所以，让学生通过摆一摆，列举所有的放法，然后再观察。充分体现了枚举法与假设法之间的内在逻辑联系。借助直观操作，加强学生的数学建模思考方法的训练，用数学的语言和方法，通过抽象,简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型。三、进一步认识和理解“抽屉原理”逐步由具象到抽象，由形到数，由计算到发现规律。旨在让学生在学习过程中，运用其中蕴含着多种数学思考方法，这也正是本节课的教学目标。基于这样的教学目标定位，在发现规律的预设中，并不要求学生如准确的说出“商+1”。只需联系所学，理解“尽量平均分后，如果有剩余的物体，一定有一个文具盒里还要多放入一个物体”。四、应用“抽屉原理”，感受数学的魅力通过让学生了解“抽屉原理”发展的过程，来引导学生了解数学与人类社会发展之间的相互作用，开阔视野，体会数学的科学价值、应用价值和人文价值，从而有效地提高学生的科学素养和文化素养。本课教学还存在不足之处:在教学中要再大胆放手一些；练习的设计稍显不够；提问应再多关注全体学生；对于一些学生的精彩回答，还是表扬激励的不够。课标分析【课标要求】《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“第二学段”中提出：“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。【课标解读】（一）让学生初步经历“数学证明”的过程在数学上，一般是用反证法对“抽屉原理”进行严格证明。在小学阶段，虽然并不需要学生对涉及“抽屉原理”的相关现象给出严格的、形式化的证明，但仍可引导学生用直观的方式对某一具体现象进行“就事论事”式的解释。教学的过程就是教师鼓励学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。实际上，通过“说理”的方式来理解“抽屉原理”的过程就是一种数学证明的雏形。通过这样的方式，有助于逐步提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较为严密的数学证明做准备。（二）要有意识地培养学生的“模型思想”本单元讲的“鸽巢问题”，实际就是一个“抽屉原理”问题。“抽屉问题”的变式很多，应用更具灵活性。当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题与“抽屉问题”联系起来，能否找到该问题中的具体情境和“抽屉问题”的一般化模型之间的内在关系，能否找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“抽屉”，是能否