直线与圆的方程专题

直线与圆的方程专题一．选择题（共3小题）1．（2022秋•合肥期末）已知⊙O：x2+y2＝r2，直线l：2x+3y＝r2，若l与⊙O相离，则（）A．点P（2，3）在l上 B．点P（2，3）在⊙O上 C．点P（2，3）在⊙O内 D．点P（2，3）在⊙O外2．（2022秋•宁波期末）若过点A（0，4）的直线l与曲线x2+（y﹣2）2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．3．（2022秋•六安期末）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，点P在直线l：2x﹣y+3＝0上，过点P作圆C的切线，切点分别为A、B，则切线段|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C． D．3二．多选题（共4小题）（多选）4．（2022秋•辽宁期末）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（）A．a+b＞1 B． C． D．（多选）5．（2022秋•淮安期末）已知α∈（0，π），关于曲线C：x2sinα+y2cosα＝1，下列说法正确的是（）A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可能是双曲线（多选）6．（2022秋•平江县期末）在平面直角坐标系中，A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝2上的两个动点，P点坐标为（0，2），则下列判断正确的有（）A．△ABC面积的最大值为1 B．∠APB的取值范围为 C．若AB为直径，则|+|＝2 D．若直线l过点P．则点A到直线l距离的最大值为（多选）7．（2022秋•温江区校级期末）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为，设P（x，0），A（0，2），B（4，﹣2），则f（x）＝|PA|+|PB|．下列关于函数f（x）的描述正确的是（）A．f（x）的图象是轴对称图形 B．f（x）的图象是中心对称图形 C．方程f（f（x））＝2+2无实数解 D．函数f（x）的值域为三．填空题（共3小题）8．（2022秋•思明区校级期末）已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0，点M（3，1），若A，B分别是C1，C2上的动点，则|AM|+|AB|的最小值为．9．（2023秋•湖北期末）P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，若圆C的半径为2，直线PF1的斜率为．10．（2022•渝水区校级开学）已知变量满足则的最小值为．四．解答题（共20小题）11．（2022秋•南山区期末）已知圆C1的圆心为（﹣1，0），且经过坐标原点O．（1）求C1的标准方程；（2）设圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），若C1与C2相交，求r的取值范围．12．（2022秋•丰台区校级期末）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．13．（2022秋•湖北期末）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．14．（2022秋•秦安县期末）已知圆O：x2+y2＝1，点A（0，2），动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的倍．（1）求点P的轨迹；（2）过点Q（1，﹣1）的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．15．（2022秋•喀什市校级期末）已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（2，0），B（6，0），（1）求此圆的标准方程；（2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求P（x，y）到直线x﹣y+1＝0的距离的最大值和最小值．16．（2022秋•衢州期末）已知过点A（1，1）的直线被圆C：x2+y2+mx﹣5＝0（m∈R）截得的弦长的最大值为6，且点A在圆C内．（1）求实数m的值及圆C的标准方程；（2）若点P为直线l：x﹣y+3＝0上一动点，点Q是圆C上的动点，求PQ长度的最小值．17．（2022秋•灌南县期末）已知圆O：x2+y2＝1，抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F（2，0）．（1）过圆O外一点P作直线PQ与圆O相切于点Q，且，求点P的轨迹方程；（2）过点F与圆O相切的直线交抛物线C于A，B两点，求|AB|．18．（2022秋•津南区校级期末）（Ⅰ）已知圆M经过A（0，0），B（1，1），C（4，2）三点，求圆M的标准方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求过P（﹣1，3）作圆M的切线l，求切线l的方程．19．（2022秋•内江期末）已知圆C经过A（6，1），B（3，﹣2）两点，且圆心C在直线x+2y﹣3＝0上．（Ⅰ）求经过点A，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（Ⅱ）求圆C的标准方程；（Ⅲ）斜率为的直线l过点B且与圆C相交于E，F两点，求|EF|．20．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知点M（1，3），圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，l：x+y+4＝0．（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程．（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．21．（2022秋•河南月考）求满足下列条件的圆的方程．（1）若圆C1经过点（6，6），且圆心与点（2，3）关于直线y＝x对称，求圆C1的标准方程；（2）若圆C2与直线和直线都相切，且圆心在x轴上，求圆C2的标准方程．22．（2022秋•浦东新区校级月考）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．23．（2022秋•道里区校级期中）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，点P（0，4）．（1）求过点P的C的切线方程；（2）过点P的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程．24．（2022秋•宝山区校级期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；（2）求△AOB面积的最小值；（3）如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．25．（2022秋•东兴区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）求当满足时对应的直线l的方程；（3）若点P（﹣5，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为k1，k2，求证：为定值．26．（2022秋•河池月考）已知圆C经过点A（，﹣），B（，），且圆心在直线x﹣y＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若过点（4，0）的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．27．（2022秋•顺庆区校级期中）已知动点M（x，y）到原点O（0，0）的距离与它到点H（﹣3，0）的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）直线x﹣y+m＝0与曲线Ω交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）；（3）点P是直线l：x+y+2＝0上一动点，过点P作曲线Ω的两条切线，切点分别为A、B．试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点；若否，请说明理由．28．（2022秋•烟台期中）如图，经过原点O的直线与圆M：（x+1）2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（1，0）且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D．（1）当点B坐标为（﹣1，﹣2）时，求直线CD的方程；（2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；（3）求四边形ABCD的面积S的取值范围．29．（2022春•鼓楼区校级月考）在直角平面坐标系中，O是坐标原点，点F的坐标为（2，0），点P是圆E：（x+2）2+y2＝4上的动点，线段PF的中垂线与直线EP交于点M，点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l曲线C交于A，B两点，且•＝0，O到直线l的距离是否为定值？若是求出这个定值，若不是请说明理由．30．（2022•雨花区校级开学）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG•BA＝48，FG＝，DF＝2BF，求AH的值．

直线与圆的方程专题参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2022秋•合肥期末）已知⊙O：x2+y2＝r2，直线l：2x+3y＝r2，若l与⊙O相离，则（）A．点P（2，3）在l上 B．点P（2，3）在⊙O上 C．点P（2，3）在⊙O内 D．点P（2，3）在⊙O外【答案】C【解答】解：由已知l与圆O相离，可知圆心到直线的距离大于半径，不妨设r为⊙O：x2+y2＝r2的半径，即有＞r，故r＞，由于P（2，3），则|OP|＝，所以r＞|OP|，则点P（2，3）在圆O内．故选：C．2．（2022秋•宁波期末）若过点A（0，4）的直线l与曲线x2+（y﹣2）2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：依题意直线l的斜率存在，设斜率为k，则直线方程为y＝kx+4，即kx﹣y+4＝0，所以圆心（0，2）到直线的距离小于等于半径1，即≤1，解得k或k，即．故选：A．3．（2022秋•六安期末）已知圆C：（x﹣1）2+y2＝1，点P在直线l：2x﹣y+3＝0上，过点P作圆C的切线，切点分别为A、B，则切线段|PA|的最小值为（）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【解答】解：由题意得，，所以当PC最小时，PA最小，即PC⊥l时，PA的长最小，C到l的距离为，所以．故选：B．二．多选题（共4小题）（多选）4．（2022秋•辽宁期末）已知直线l：ax+by+1＝0（a＞0，b＞0）与圆C：x2+y2＝1相切，则下列说法正确的是（）A．a+b＞1 B． C． D．【答案】ABC【解答】解：因为直线l：ax+by+1＝0与圆C：x2+y2＝1相切，则＝1，即a2+b2＝1，a＞0，b＞0，对于A，因为2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a+b）2﹣1＞0，解得a+b＞1，A正确；对于B，＝（a2+b2）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，B正确；对于C，（）2﹣＝（）2﹣＝﹣≤0，当且仅当a＝b＝时取等号，C正确；对于D，因为0＜ab＜＝，当且仅当a＝b＝时取等号，则≥2，因此＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，D不正确．故选：ABC．（多选）5．（2022秋•淮安期末）已知α∈（0，π），关于曲线C：x2sinα+y2cosα＝1，下列说法正确的是（）A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可能是双曲线【答案】BD【解答】解：A．当时，sin＝cos＝，方程化简为，即为圆的方程，故A错误；B．曲线方程整理为，当α∈（0，）时，＞，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故B正确；C．当α∈（，）时，＞＞0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故C错误；D．当α∈（，π）时，＜0，＞0，曲线C表示双曲线，故D正确．故选：BD．（多选）6．（2022秋•平江县期末）在平面直角坐标系中，A，B是圆C：（x﹣2）2+y2＝2上的两个动点，P点坐标为（0，2），则下列判断正确的有（）A．△ABC面积的最大值为1 B．∠APB的取值范围为 C．若AB为直径，则|+|＝2 D．若直线l过点P．则点A到直线l距离的最大值为【答案】ABD【解答】解：由题意得圆C：（x﹣2）2+y2＝2的圆心C（2，0），半径r＝，对于A：S△ABC＝|CA|•|CB|sin∠ACB＝r2•sin∠ACB＝sin∠ACB≤1，当且仅当∠ACB＝90°时，等号成立，∴△ABC面积的最大值为1，故A正确；对于B：作出圆C，如图所示：图①图②由图象①可得当P，A，B三点共线时，此时∠APB最小，且为0°，由图象②可得当PA，PB分别与圆C相切时，此时∠APB最大，由题意得|PC|＝＝2，|CA|＝r＝，在Rt△ACP中，sin∠APC＝＝，则∠APC＝，由圆的性质可得∠APB＝2∠APC＝，∴∠APB的取值范围为，故B正确；对于C：若AB为直径，且C是AB的中点，由平行四边形法则得+＝2，|PC|＝＝2，∴|+|＝2||＝4，故C错误；对于D：作图，如图所示：由图象可得当AP⊥l，垂足为P时，此时点A到直线l的距离最大，设最大距离为d，则d＝|PC|+r＝2+＝3，故D正确，故选：ABD．（多选）7．（2022秋•温江区校级期末）某同学在研究函数的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为，设P（x，0），A（0，2），B（4，﹣2），则f（x）＝|PA|+|PB|．下列关于函数f（x）的描述正确的是（）A．f（x）的图象是轴对称图形 B．f（x）的图象是中心对称图形 C．方程f（f（x））＝2+2无实数解 D．函数f（x）的值域为【答案】ACD【解答】解：＝+，对于A，f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（x）的对称轴为x＝2，故A正确；对于B，f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），则f（x）不是奇函数也不是偶函数，则f（x）的图象不是中心对称图形，故B错误；对于D，由题意可得A（0，2），B（4，﹣2），∴|AB|＝＝4，∵f（x）＝|PA|+|PB|，∴f（x）≥|AB|＝4，故函数的值域为[4，+∞），故D正确，对于C，设f（x）＝t，方程f（f（x））＝2+2，等价于f（t）＝2+2，即+＝2+2，解得t＝0或t＝4，即f（x）＝0或f（x）＝4，∵f（x）≥4，∴当t＝0或t＝3时，不成立，所以方程无解，故C正确，故选：ACD．三．填空题（共3小题）8．（2022秋•思明区校级期末）已知抛物线C1：y2＝8x，圆C2：x2+y2﹣4x+3＝0，点M（3，1），若A，B分别是C1，C2上的动点，则|AM|+|AB|的最小值为4．【答案】4．【解答】解：由抛物线得焦点F（2，0），准线为x＝﹣2，圆，即（x﹣2）2+y2＝1，故圆C2的圆心为F（2，0），半径r＝1，∴|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1，∴当|AM|+|AF|取得最小值时，|AM|+|AB|取得最小值，由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线x＝﹣2的距离，∴过点M作准线x＝﹣2的垂线，垂足为N，且与抛物线相交，当点A为此交点时，|AM|+|AF|取得最小值，最小值为|3﹣（﹣2）|＝5，如图所示：∴此时|AM|+|AB|≥|AM|+|AF|﹣1≥5﹣1＝4，故|AM|+|AB|的最小值为4．故答案为：4．9．（2023秋•湖北期末）P是双曲线右支在第一象限内一点，F1，F2分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是△PF1F2的内切圆，设圆与PF1，PF2分别切于点D，E，若圆C的半径为2，直线PF1的斜率为．【答案】．【解答】解：设圆C与x轴相切于点Q（t，0），则|PF1|﹣|PF2|＝|F1D|﹣|F2E|＝|QF1|﹣|QF2|＝t+c﹣（c﹣t）＝2t＝2a，解得Q（2，0），∴C（2，2），设直线PF1的斜率为k，则方程为y＝k（x+3），即kx﹣y+3k＝0，由题意可得：＝2，k＞0，解得k＝，故答案为：．10．（2022•渝水区校级开学）已知变量满足则的最小值为．【答案】．【解答】解：根据作出可行域（阴影部分包括边界）如图所示，目标函数表示向量与向量＝（x，y）（P是可行域内的点）的夹角α的余弦值，易知当P与点M重合时，α最大，此时cosα最小，由，解得M（﹣1，2），故此时，所以zmin＝cos＜，＞＝＝＝．故答案为：．四．解答题（共20小题）11．（2022秋•南山区期末）已知圆C1的圆心为（﹣1，0），且经过坐标原点O．（1）求C1的标准方程；（2）设圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0），若C1与C2相交，求r的取值范围．【答案】（1）（x+1）2+y2＝1；（2）（4，6）．【解答】解：（1）由题意可设圆C1的方程为：（x+1）2+y2＝R2，由于C1经过坐标原点O，则R2＝1，故C1的标准方程为：（x+1）2+y2＝1；（2）圆C2：（x﹣2）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）的圆心坐标为（2，4），设C1与C2的圆心距为d，则，若C1与C2相交，则|r﹣1|＜5＜r+1，即，即，解得4＜r＜6，故r的取值范围为：（4，6）．12．（2022秋•丰台区校级期末）已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．【答案】（1）（x+2）2+（y﹣6）2＝10．（2）x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则3（﹣）+＝0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，联立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝6，∴圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4．（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x﹣2＝0，则2＝2，满足|MN|＝2．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圆心C（1，3）到直线l的距离d＝＝，由题意可得4﹣＝，解得k＝﹣，直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即3x+4y﹣10＝0．综上可得直线l的方程为：x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．13．（2022秋•湖北期末）已知线段AB的端点B（4，3），端点A在圆C：（x+1）2+y2＝4上运动．（1）点M在线段AB上，且，求点M的轨迹方程；（2）若直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，求实数k的取值范围．【答案】（1）（x﹣）2+（y﹣1）2＝；（2）k∈（﹣∞，）．【解答】解：（1）设点A（x0，y0）、M（x，y），由题意可得＝，即，可得，因为点A在圆C上，所以，即（）2+（）2＝4，化简可得（x﹣）2+（y﹣1）2＝，故点M的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣1）2＝．（2）由（1）得点M的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣1）2＝，此圆圆心坐标为（，1），半径为，由直线y＝k（x﹣2）与点M的轨迹相交，可得，解之得k＜，则实数k的取值范围为k∈（﹣∞，）．14．（2022秋•秦安县期末）已知圆O：x2+y2＝1，点A（0，2），动点P与点A的距离等于过点P所作圆O切线的长的倍．（1）求点P的轨迹；（2）过点Q（1，﹣1）的直线交点P的轨迹于B，C两点，且弦BC被Q点平分，求直线BC的方程．【答案】（1）点P的轨迹为以（0，﹣2）为圆心，半径为的圆，且方程为x2+（y+2）2＝10；（2）直线BC的方程为x+y＝0．【解答】解：（1）设P（x，y），A（0，2），则|PA|2＝x2+（y﹣2）2，又过点P的直线与圆O相切，设切点为M，则|PO|2＝|OM|2+|MP|2，即x2+y2＝1+|MP|2，∴切线长为|MP|2＝x2+y2﹣1，由题意得x2+（y﹣2）2＝2（x2+y2﹣1），即x2+（y+2）2＝10，故点P的轨迹为以（0，﹣2）为圆心，半径为的圆，且方程为x2+（y+2）2＝10；（2）由（1）得点P的轨迹方程为x2+（y+2）2＝10，圆心（0，﹣2），半径为，当直线BC的斜率不存在时，此时直线BC的方程为x＝1，当x＝1时，y＝1或﹣5，则B（1，1），C（1，﹣5），此时BC的中点坐标为（1，﹣2），与Q（1，﹣1）矛盾，不符合题意；则直线BC的斜率存在，此时圆心（0，﹣2）与点Q（1，﹣1）所在直线的斜率k＝＝1，则直线BC的斜率为﹣1，∴直线BC的方程为y+1＝﹣（x﹣1），即x+y＝0．15．（2022秋•喀什市校级期末）已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A（2，0），B（6，0），（1）求此圆的标准方程；（2）设P（x，y）为圆C上任意一点，求P（x，y）到直线x﹣y+1＝0的距离的最大值和最小值．【答案】（1）（x﹣4）2+y2＝4．（2）P（x，y）到直线x﹣y+1＝0的距离的最大值为+2；最小值为﹣2．【解答】解：（1）此圆的圆心为C（4，0），半径r＝＝2，∴此圆的标准方程为（x﹣4）2+y2＝4．（2）圆心C（4，0）到直线x﹣y+1＝0的距离d＝＝，则P（x，y）到直线x﹣y+1＝0的距离的最大值为d+r＝+2；最小值为d﹣r＝﹣2．16．（2022秋•衢州期末）已知过点A（1，1）的直线被圆C：x2+y2+mx﹣5＝0（m∈R）截得的弦长的最大值为6，且点A在圆C内．（1）求实数m的值及圆C的标准方程；（2）若点P为直线l：x﹣y+3＝0上一动点，点Q是圆C上的动点，求PQ长度的最小值．【答案】（1）﹣4；（2）．【解答】解：（1）由圆的方程可得：圆心C（﹣，0），半径r＝，∵过点A的最长弦为直径，∴2r＝，解得：m＝±4；又点A在圆C内，∴12+12+m﹣5＜0，即m＜3，∴m＝﹣4，此时圆心C（2，0），半径r＝3，∴圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2＝9．（2）∵圆心C（2，0）到直线l的距离d＝＝，∴|PQ|min＝d﹣r＝．17．（2022秋•灌南县期末）已知圆O：x2+y2＝1，抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F（2，0）．（1）过圆O外一点P作直线PQ与圆O相切于点Q，且，求点P的轨迹方程；（2）过点F与圆O相切的直线交抛物线C于A，B两点，求|AB|．【答案】32【解答】解：（1）设点P（x，y），由|PQ|＝|PF|，得|PQ|2＝|PO|2﹣1＝2|PF|2，所以x2+y2﹣1＝2[（x﹣2）2+y2]，即x2+y2﹣8x+9＝0．（2）因为抛物线C：y2＝2px的焦点坐标为F（2，0），所以p＝4，由题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：x＝ty+2，（t≠0），即x﹣ty﹣2＝0，因为直线AB与圆O相切，所以＝1，即t＝，由于对称性，不妨取直线AB：x＝y+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y2﹣8x﹣16＝0，所以y1+y2＝8，所以x1+x2＝+4＝28，所以|AB|＝x1+x2+p＝28+4＝32．18．（2022秋•津南区校级期末）（Ⅰ）已知圆M经过A（0，0），B（1，1），C（4，2）三点，求圆M的标准方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求过P（﹣1，3）作圆M的切线l，求切线l的方程．【答案】（Ⅰ）（x﹣4）2+（y+3）2＝25；（Ⅱ）x＝﹣1或11x+60y﹣169＝0．【解答】解：（Ⅰ）由已知设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，由已知得，解得D＝﹣8，E＝6，F＝0，故圆的方程为：x2+y2﹣8x+6y＝0，即（x﹣4）2+（y+3）2＝25；（Ⅱ）设切线方程为y﹣3＝k（x+1），即kx﹣y+k+3＝0，又圆心为（4，﹣3），半径r＝5，故＝5，解得k＝，故切线方程为11x+60y﹣169＝0，经验证，x＝﹣1也是该圆的切线，故所求切线方程为：x＝﹣1或11x+60y﹣169＝0．19．（2022秋•内江期末）已知圆C经过A（6，1），B（3，﹣2）两点，且圆心C在直线x+2y﹣3＝0上．（Ⅰ）求经过点A，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（Ⅱ）求圆C的标准方程；（Ⅲ）斜率为的直线l过点B且与圆C相交于E，F两点，求|EF|．【答案】（Ⅰ）x﹣6y＝0或x+y﹣7＝0；（Ⅱ）（x﹣5）2+（y+1）2＝5；（Ⅲ）2．【解答】解：（Ⅰ）①当直线过原点时，直线的方程为x﹣6y＝0满足题意；②当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，将点A（6，1），代入解得a＝7，∴直线的方程为x+y﹣7＝0，综合得所求直线的方程为x﹣6y＝0或x+y﹣7＝0；（Ⅱ）∵A（6，1），B（3，﹣2）两点的中点M为（，），又AB直线的斜率为＝1，∴AB直线的垂直平分线方程为y+＝﹣（x﹣），即x+y﹣4＝0，又圆心C在直线x+2y﹣3＝0上，联立，解得，∴圆心C为（5，﹣1），∴r＝|AC|＝＝，∴圆C的标准方程为（x﹣5）2+（y+1）2＝5；（Ⅲ）由题意可知直线l的方程为y+2＝（x﹣3），即3x+4y﹣1＝0，∴圆心（5，﹣1）到直线的距离为d＝＝2，∴|EF|＝＝＝2．20．（2022秋•水磨沟区校级期末）已知点M（1，3），圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝4，l：x+y+4＝0．（1）若直线过点M，且被圆C截得的弦长为，求该直线的方程．（2）设P为已知直线l上的动点，过点P向圆C作一条切线，切点为Q，求|PQ|的最小值．【答案】（1）x＝1或15x+8y﹣39＝0；（2）|PQ|的最小值为．【解答】解：（1）由题意可知：圆C的圆心到直线的距离为＝1．①当直线斜率不存在时，圆C的圆心到直线距离为1，满足题意；②当直线斜率存在时，设过M（1，3）的直线方程为：y﹣3＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+3＝0，则由点到直线距离公式列方程得：，解得．综上，过M（1，3）的直线方程为x＝1或15x+8y﹣39＝0．（2）由题意可知当|PQ|最小时，CP连线与已知直线l垂直，所以|CP|＝＝，由勾股定理知：|PQ|＝＝＝，所以|PQ|的最小值为．21．（2022秋•河南月考）求满足下列条件的圆的方程．（1）若圆C1经过点（6，6），且圆心与点（2，3）关于直线y＝x对称，求圆C1的标准方程；（2）若圆C2与直线和直线都相切，且圆心在x轴上，求圆C2的标准方程．【答案】（1）（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25；（2）（x﹣2）2+y2＝4．【解答】解：（1）∵点（2，3）关于直线y＝x对称的点为（3，2），∴圆C1的圆心坐标为（3，2），又圆C1经过点（6，6），∴半径＝5，∴圆C1的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝25；（2）设圆心C2（a，0），∵圆C2与直线和直线都相切，∴，∴或，解得a＝2，∴圆心C2（2，0），又半径＝2，∴圆C2的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4．22．（2022秋•浦东新区校级月考）已知圆和圆（r＞0）．（1）若圆C1与圆C2相交，求r的取值范围；（2）若直线l：y＝kx+1与圆C1交于P、Q两点，且，求实数k的值；（3）若r＝2，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．【答案】（1）（﹣2，+2）；（2）k＝；（3）（，）或（，）．【解答】解：（1）由题意得，圆C1的圆心C1（﹣3，1），r1＝2，圆C2的圆心C2（4，5），半径为r，|C1C2|＝＝，∵圆C1与圆C2相交，∴|r﹣2|＜|C1C2|＜r+2，即|r﹣2|＜＜r+2，解得：﹣2＜r＜+2，∴r∈（﹣2，+2）．（2）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），直线与圆C1联立，得（1+k2）x2+6x+5＝0，由Δ＞0得k2＜，x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝（kx1+1）（kx2+1）＝k2x1x2+k（x1+x2）+1，∵，∴x1x2+y1y2＝（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1＝4，∴5+﹣3＝0，解得：k＝，∵k2＜，∴k＝．（3）由题意得C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝4，设P（m，n），直线l1和l2的方程分别为y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m），即kx﹣y+n﹣kn＝0，﹣x﹣y+n+＝0，由题意可知，圆心C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离，则＝，化简得（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，则有或，故P（，）或（，）．23．（2022秋•道里区校级期中）已知圆C的方程为：x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0，点P（0，4）．（1）求过点P的C的切线方程；（2）过点P的直线l被圆C所截得的弦长为，求直线l的方程．【答案】（1）y＝4或；（2）或x＝0．【解答】解：（1）将P（0，4）代入（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4，得1+4＞4，所以P在圆外，当切线斜率不存在时，则切线为x＝0，圆心（1，2）到切线x＝0的距离为1≠2，不符合条件．当切线的斜率存在时，设切线为y＝kx+4，则，解得k＝0或．所以切线为：y＝4或．（2）设圆心到l2的距离为d，因为过点P的直线l2被圆C所截得的弦长为2，所以，当直线l2斜率不存在时，直线l2为x＝0，圆心（1，2）到x＝0的距离为1，符合题意．当直线l2斜率存在时，设l2：y＝kx+4，则，解得，即．综上：或x＝0．24．（2022秋•宝山区校级期中）直线l过点P（3，2）且与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（1）若直线l与2x+3y﹣2＝0法向量平行，写出直线l的方程；（2）求△AOB面积的最小值；（3）如图，若点P分向量AB所成的比的值为2，过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M，动点E、F分别在线段MP和OA上，若直线EF平分直角梯形OAPM的面积，求证：直线EF必过一定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）3x﹣2y﹣5＝0；（2）12；（3）证明见解析，定点为（3，1）．【解答】解：（1）由题设直线l：3x﹣2y+C＝0，将点（3，2）代入得9﹣4+C＝0，C＝﹣5，故直线l：3x﹣2y﹣5＝0；（2）设直线l的方程为，将点（3，2）代入得，则ab≥24，则，当且仅当，结合，即a＝6，b＝4时等号成立，故△AOB的面积最小值为12；（3）证明：点P分向量所成的比的值为2，即为，设A（a，0），B（0，b），由P（3，2），，即有（3﹣a，2）＝2（﹣3，b﹣2），可得a＝9，b＝3，M（0，2），|OM|＝2，|PM|＝3，梯形AOMP的面积为，由题意可得梯形FOMP的面积为6，设E（m，2），F（n，0），可得，即m+n＝6，由直线EF的方程为，将n＝6﹣m代入上式可得2m（y﹣1）﹣（2x+6y﹣12）＝0，由解得x＝3，y＝1，则直线EF经过定点（3，1）．25．（2022秋•东兴区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上的圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为．经过坐标原点O的直线l与圆C交于M，N两点．（1）求圆C的方程；（2）求当满足时对应的直线l的方程；（3）若点P（﹣5，0），直线PM与圆C的另一个交点为R，直线PN与圆C的另一个交点为S，分别记直线l、直线RS的斜率为k1，k2，求证：为定值．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）；（3）证明见解析．【解答】解：（1）由已知圆C的圆心在x轴上，设圆C：（x﹣a）2+y2＝r2（r＞0），又圆C经过点A（3，0），且被y轴截得的弦长为．∴，解得，∴圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4；（2）过点C作CD⊥MN于D，由D是MN中点，由得到，|DN|＝3|DO|，所以，即，所以，设直线l的方程为x﹣my＝0（直线l与x轴重合时不符题意），由圆心到直线距离公式得，，所以直线l的方程为；（3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），R（x3，y3），T（x4，y4），直线PM的方程为，其中．与（x﹣1）2+y2＝4联立得，由韦达定理得，所以，，所以，同理，所以＝＝＝，所以．26．（2022秋•河池月考）已知圆C经过点A（，﹣），B（，），且圆心在直线x﹣y＝0上．（1）求圆C的方程；（2）若过点（4，0）的直线l交圆C于E，F两点，问是否存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）圆C的方程为x2+y2＝4．（2）x2+y2＝4，+＝．【解答】解：（1）由A（，﹣），B（，），可得线段AB的垂直平分线方程为：y＝0，又圆心在直线x﹣y＝0上，∴圆心满足，解得x＝y＝0，即圆心C（0，0），半径r＝＝2，∴圆C的方程为x2+y2＝4．（2）①假设存在以EF为直径且过点P（0，2）的圆，kl＝0时，∵点P在圆C上，∴PE⊥PF，因此EF必为圆C的直径，∴存在以EF为直径且过点（0，2）的圆，即为圆C．②kl≠0时，此时点（0，2）为直径的一个端点．可得直线l的方程为+＝1，化为x+2y＝4，联立，5y2﹣16y+12＝0，解得y＝2，，∴，，可得线段EF的中点G（，），|EF|＝＝，可得此时以EF为直径且过点（0，2）的圆的方程为：+＝．此时点（0，2）为直径的一个端点．综上可得：x2+y2＝4，+＝．27．（2022秋•顺庆区校级期中）已知动点M（x，y）到原点O（0，0）的距离与它到点H（﹣3，0）的距离之比为，记动点M的轨迹为曲线Ω．（1）求曲线Ω的方程；（2）直线x﹣y+m＝0与曲线Ω交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）；（3）点P是直线l：x+y+2＝0上一动点，过点P作曲线Ω的两条切线，切点分别为A、B．试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点；若否，请说明理由．【答案】（1）（x﹣1）2+y2＝4；（2）；（3），理由见解析．【解答】解：（1）由已知，化简得x2+y2﹣2x﹣3＝0，化为（x﹣1）2+y2＝4，所以曲线Ω的方程为：（x﹣1）2+y2＝4；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），联立直线与圆的方程，，消去y，得2x2+（2m﹣2）x+m2﹣3＝0，所以x1+x2＝1﹣m，，则，所以，因为直线x﹣y+m＝0与曲线Ω相交，所以圆心（1，0）到直线x﹣y+m＝0的距离小于半径，即，解得，所以，所以，，所以的取值范围；（3）直线AB恒过定点．理由如下：设N（1，0），则PA2＝PN2﹣AN2＝（a﹣1）2+（a+2）2﹣4＝2a2+2a+1，设以点P为圆心，PA为半径的圆为圆P，则圆P的方程为：（x﹣a）2+（y+a+2）2＝2a2+2a+1，化简得：x2+y2﹣2ax+2（a+2）y+2a＝0，联立圆P、圆N两方程，消去x2+y2，得（a﹣1）x﹣（a+2）y﹣a﹣3＝0，所以直线AB的方程为（a﹣1）x﹣（a+2）y﹣a﹣3＝0，整理得a（x﹣y﹣1）﹣（x+2y+3）＝0，令，解得，所以直线AB经过的定点为．28．（2022秋•烟台期中）如图，经过原点O的直线与圆M：（x+1）2+y2＝4相交于A，B两点，过点C（1，0）且与AB垂直的直线与圆M的另一个交点为D．（1）当点B坐标为（﹣1，﹣2）时，求直线CD的方程；（2）记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线BF恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；（3）求四边形ABCD的面积S的