高中数学-向量数乘运算及其几何意义教学设计学情分析教材分析课后反思

向量的数乘运算及其几何意义课堂教学设计一教学目标知识与能力：掌握数乘运算的定义和运算律。了解其几何意义。理解向量共线定理。能解决简单的共线问题。过程与方法：通过观看微课视频，利用任务单自主学习定义和运算律，小组交流探讨，展示学习成果。反思探究向量共线定理及应用。情感与态度：培养自主学习，主动思考的学习习惯。初步体会作图验证结论的方法，增强数形结合的意识。二教学重点难点重点：向量数乘运算的定义和运算律。向量共线的条件。难点：向量数乘运算的定义。向量共线定理的应用。三教学方法1通过观看视频，自主学习数乘的定义及运算律，小组交流讨论，培养学生的自学能力和分析解决问题的能力。2通过探究、启发、当堂训练的教学程序，采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评价的授课方式，借助多媒体辅助教学，达到增加课堂效率的目的，营造生动活泼的课堂教学。四教学流程通过实例，引出数乘定义通过实例，引出数乘定义由数乘定义，得出几何意义引导学生归纳运算律巩固掌握运算律探究向量共线定理尝试应用当堂检测课堂小结五教学情境设计教学环节教学内容教师活动学生活动设计意图复习回顾复习回顾：向量的加法、向量的减法教师提问学生回答复习回顾，引发新知探究1：向量的数乘运算定义极其几何意义想一想：它们的大小和方向有什么变化？学生作图，观察并思考认识和理解向量数乘的几何意义必须从几何直观入手，即通过让学生自己作图，以及独立观察、思考，让学生对向量的伸缩有一个初步的感性认识，进而为下一步对向量的数乘的定义及其几何意义的理性认识作好铺垫。得出新知问题1：请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？学生思考并单作答通过引出向量的数乘的定义，让学生体会从特殊到一般的思想方法问题2：你能说明它的几何意义吗？学生思考交流并作答从从直观入手，从具体开始，逐步抽象。通过师生互动，得到向量数乘的几何意义。学生单独作答从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固学生单独作答及时练习，及时巩固，反馈学生的学习情况探究2：运算律教师启发学生思考学生作图并总结规律通过具体的计算初步感知向量数乘的运算律，体会从特殊到一般的归纳的数学思想问题3：数的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效地简化运算。类比数的乘法的运算律，你能说出数乘的运算律吗？小组交流探讨数学中引进一个新的量自然要看看它的运算及其运算律的问题。向量运算可以与学生熟悉的数的运算进行类比，从中得到启发。而书的运算和运算律是紧密相连的，运算律可以有效的简化运算。类比数的乘法的运算律引出数乘向量的运算律。问题4：你能解释上述运算律的几何意义吗？小组交流探讨提问、及时评价独立完成，单独回答从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固，通过例2加深学生对数乘向量运算律的理解。学生单独作答及时练习，及时巩固，反馈学生的学习情况本节作为向量线性运算的最后一节，有必要综合认识向量线性运算。问题5：引入数乘向量后，你能发现数乘向量与原向量的位置关系吗？思考:1)为什么要是非零向量?2)可以是零向量吗?3)怎样理解向量平行？与两直线平行有什么异同？合作交流，独立作答.师生共同活动引出向量共线的定理；引导学生理解向量共线只需看这两个向量的方向相同或是相反，在向量的前提下，向量、共线，当且仅当有一个实数，使得；且实数的唯一性是由向量和的模和方向同时决定.通过学生合作交流，促进学生合作的集体意识；通过学生独立作答，提高学生分析问题、解决问题的能力.练一练教材P90练习题4题学生单独作答从心理学认为：概念一旦形成，必须及时巩固让学生完成作图学生上黑板上作图这道例题是先让学生猜想，再证明；利用向量共线证明点共线，具体方法是先证明向量共线，再证明向量有公共点；进而引出利用向量共线证明直线平行.引导学生思考学生思考作答共线向量定理的应用：判断三点共线引导学生思考学生思考作答共线向量定理的应用：判断三点共线引导学生思考学生思考作答综合运用向量的加、减、数乘等向量的线性运算.使学生明确：有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示，这是利用向量解决几何问题的重要步骤.课堂小结引导学生体会本节学习中用到的思想方法：特殊到一般，归纳，猜想，类比，分类讨论，等价转化.1.知识性内容的总结，可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质.2.运用数学方法，创新素质的小结能让学生更系统，更深刻地理解数学理想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质.3.由学生口头表述，不仅可以提高学生的综合概括能力，还能提高学生的口头表达能力.课后作业教材P91，A组9、10、12题B组3课后思考：分层布置作业，让每个学生都得到发展。课后的思考题让学生通过思考发现三点共线的另一种形式。培养学生的综合能力。板书设计2.2.32.2.3向量数乘的运算及其几何意义1.向量数乘的定义；例2、变式一、变式二2.数乘向量的运算律；例3.3.共线向量定理；例4例题讲解课堂小结例1．教学反思1．向量数乘运算及其几何意义是继向量的加法、减法之后的基本运算，为了正确的认识向量数乘运算及其几何意义，首先复习了向量的加法、减法，然后通过学生比较熟悉的位移例子，引入主题。从实际问题出发引入新课，不但展示了教学的主要内容，而且还激发了学生学习兴趣。2．实数与向量的三个运算律，为了降低难度课本上没有证明，可以结合图形给学生直观解释，程度好的学生可以适当指导给出证明，证明的关键是向量的两要素：方向和大小。3．由于学生已理解平行向量，因此可以让学生观察平行向量间的关系，可以提示从方向和大小两个方面来考虑。然后指出向量平行的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的。给学生说明定理的作用，通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平行，要指出与平面中直线间的平行的区别。4.本节课总共设置三个探究题，目的是通过学生自主探究、合作释疑，参与知识形成的过程。本节课的教学理念是：体现学生的主体地位，培养学生科学的探究能力。设计本节课之后，我想让学生在知识上：掌握向量数乘的定义、运算律及其几何意义，理解两个向量共线的含义并能解决：向量共线、三点共线、直线平行等问题。在能力上：培养学生自主探究知识形成的过程的能力，合作释疑过程中合作交流的能力。通过对例题的分析，使学生掌握解题的思想和方法；对变式训练的操作，使学生巩固知识点的掌握；通过当堂检测，判断学生的收获；通过课后拓展提高，开阔学生视野，拓宽知识面。希望通过本节课，能更好的培养学生的创新能力。平面向量的数乘运算及其几何意义学情分析学生已经学习了向量的概念，向量的加减运算。知道了共线向量的定义，有了一定的作图基础。学生在掌握向量加法、减法的基础上，学习实数与向量的积的运算已无多大困难。因为数乘运算定义及运算律学生易于接受，而且经过高一上学期的学习，学生有了初步的自学能力。学生通过任务单的指引，自主学习，小组交流。通过前面学习两个向量的运算，进一步转化为数与向量的联系，是后面学习平面向量基本定理的基础。但对于向量共线定理的探究和应用还是有一定的难度的。前面学生已经学完向量的加减运算，学生具备一定的独立思考，合作释疑的能力。因此，对向量共线定理采用“探究释疑”的授课方式，既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的。本节课主要学习向量的数乘运算的定义及运算律，向量共线定理。通过师生共同探讨向量数乘运算的定义及其几何意义，学生初步掌握了向量的数乘运算，在此基础上引导学生归纳总结出向量数乘运算的运算律，从学习效果来看较为成功。在学习向量共线定理时，采用了探究、启发，引导学生主动思考，层层深入。充分理解定理内容，并进行应用变式练习。学生积极思考，主动探究。课堂气氛良好，学习效果显著。学生掌握了定理内容并能应用，达到了预期目标。课后测试共设计了五部分题目。测试一和测试四主要测试学生对运算律的掌握。总体说这部分与多项式的运算相似，较易掌握，学生掌握较好，运算准确。测试二和测试三考察数乘运算的定义及几何意义。题目涉及的符号和大小的求法。个别学生对选项B中零向量的数乘结果容易忽视。部分同学对的求法不熟练。测试五主要考察向量共线定理的应用。让学生练习用向量表示线段的方法，先用向量表示对角线上的向量，再用向量共线表示其它向量。学生初次接触明先生疏。向量的数乘运算及其几何意义教材分析这节课是高一必修四第二章第二节的第三课时。主要学习向量的数乘运算的定义、运算律以及向量共线定理。向量的数乘运算是继向量的加减法之后的又一个运算。它同加减法一样，运算的结果仍是一个向量。这与以后要学习的向量的数量积是有区别的。向量的加减和数乘统称为向量的线性运算。有了向量的线性运算，平面中的点、线段（直线）就可以得到向量表示。这就为用向量法解决几何问题奠定了基础。数乘运算的应用主要体现在向量共线定理。而这一定理是是判断三点共线和证明线线平行的基础。因此本节课是向量加减法的延伸，也是后面学习的基础。本节课重点是向量数乘运算的定义和运算律。向量共线的条件。难点是向量数乘运算的定义。向量共线定理的应用。课本通过“探究”，引导学生先作出几个相同向量的和，再讨论它们的几何意义，从而得到向量数乘运算的直观感知，然后过渡到一般的向量数乘运算的定义。引入数乘运算后，考察这种运算的运算律是一个自然的问题。与实数乘法的运算律类似，数乘向量也有“结合律”“分配律”，只是要注意其中的因子。为了降低难度，课本不要求对三个运算律作出证明，只要求学生会用就行。例1引导学生加深对向量数乘运算的定义的理解；例2考查学生数量运用向量的数乘运算的运算律，并了解几何意义，明确向量数乘运算的特点。引入向量的数乘运算后，可以发现数乘向量与原向量是共线，据此可以判断两个向量共线。例3给出了利用向量共线判断三点共线的方法，这是判断三点共线的常用方法。例4的解答要用到平行四边形的性质。另外，用向量表示几何元素（点、线段等）是用向量方法证明几何问题的重要步骤。【当堂检测】1.下列命题中正确的有（）①（—5）（6）=—30；②7(+)+6=7+13；③若=-，=3（-），则与共线；④（-5）+（+5）=2，则∥。（A）1个(B)2个(C)3个(D)4个2.,下面的式子正确的是（）(A)与的方向相同；(B)0=0(C)（+）=+(D)若=，则∣∣=∣∣3.若∣∣=10，∣∣=5，且与的方向相反，则=4.设向量=3+2，=2-，求2-5.在平行四边形ABCD中,两条对角线交于点M，设=,=DABCM用，表示、、和DABCM一创新之处这节课的重点在于向量数乘运算的定义，难点在向量平行定理。充分调动学生的学习积极性，对数乘运算的定义，由具体的向量加法运算引导得出，并在此基础上指导学生归纳总结向量数乘运算的运算律，体现了学生是学习的主人，提高了学习效率。对于向量共线定理的推导，构造了两个思考题，学生通过对这两个问题的思考，理解了向量共线定理的充分性和必要性，从而掌握定理。二课内探究数乘运算的应用主要体现在向量共线定理，这是重点也是难点。为了突破这一难点，我设计了几个关于定理的思考题，层层深入，引导学生主动思考，积极探究。为了加深对定理的理解，也为了熟练向量的数乘运算，下面设计了例题及变式训练，展示了如何应用定理证明三点共线。同时通过对题目的分析，引导学生先做图寻求结论，培