江苏省扬州市2023届高三上学期期末考试数学试卷（含解析）

江苏省扬州市2022-2023学年度上学期期末考试题

-a=-—»w/,、"一

高二数学2023.01

试卷满分：150分，考试时间：120分钟

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有

一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）

I.已知复数Z=i，（i为虚数单位），则±-z2的共轨复数的模是（）

Z

A.1B.GC.亚D.V7

2.已知集合A={x|ln(x+l)<2},8={ywZ|y=3sinx},则AB=()

A.{0,1,2,3}B.{0,3}C.{3}D.0

3.设q,02M3WR,则“4,42，生成等比数列”是“储+明（*+。；）=（的2+%。3）2”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400

名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50

分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的

区间），画出频率分布直方图如图所示，每组数据以组

中值（组中值=（区间上限+区间下限）/2）计算）,下列说

法正确的是（）

A.直方图中x的值为0.035

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为

30人

C.估计全校学生的平均成绩为83分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

.已知KtanJ=3cos2a,则sin2a=(

A.——B.—C.—D

363

6.在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线尤2-y2=4右支上的一个动点，若点M到直线

x—y+2=0的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（）

A.IB.y/2c.2D.2V2_

7.如图是一个由三根细棒E4、PB、PC组成的支架，三根细棒小、

PB、PC两两所成的角都为60。，一个半径为1的小球放在支架上，则।

球心。到点尸的距离是（）

A.|B.2C.GD.72

8.已知函数及其导函数7（x）的定义域均为R,且〃5x+2）是

偶函数，记g（x）=/'（x）,g（x+l）也是偶函数，则广（2022）的值为（）

A.-2B.-1C.0D.2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.(请将所有选择

题答案填到答题卡的指定位置中.)

9.如图，在正方体ABCQ-ABCq中，E为4A的中点，则(

A.平面BEC

B.平面BEC

C.平面44用8,平面3EC

D.直线。。与平面BEC所成角的余弦值为4

10.已知函数/(x)=sin2(x+夕)(0<夕<?的一条对称轴为x=],则()

A.“X)的最小正周期为nB./(0)=1

C.“X)在存与)上单调递增D.

?

11.已知数列｛4｝中，4=2,a„+l=(7^+2+l)-2.则关于数列｛叫的说法正确的是()

A.生=5B.数列｛““｝为递增数列

C.«„=??2+2n-lD.数列■5—二)的前〃项和小于g

U+1J4

12.已知函数/(x)=|sinx|,g(x)=&(家>。),若“X)与g(x)图象的公共点个数为“，且

这些公共点的横坐标从小到大依次为不，演....4,则下列说法正确的有()

21

A.若九=1,则左>1B.若〃=3,则=—=天+一

sm2X3X3

2

C.若〃=4,则%+/<x>+£D.若k=-----,则〃=2024

20234

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(请将所有填空题答案填到答题卡的

指定位置中.)

13.己知(2/+„展开式中的各项系数和为243,则其展开式中含/项的系数为.

14.已知同=0,6=(-1,0),(。-匕)_La,则“与人的夹角为

>>>>

15.已知耳(-c,0),胤(c,0)为椭圆C:「+马=1的两个焦点，P为椭圆C上一点(P不在y

ab~

轴上)，鸟的重心为G,内心为且则椭圆C的离心率为.

16.对于函数/(x)和g(x),设ae｛于〃x)=0｝,尸e｛x|g(x)=0｝,若存在a、夕，使得

\a-p\<\,则称f[x｝与g(x)互为“零点相邻函数”.若函数/(x)=尸+x-2与

g(x)=x2-ar-a+3互为“零点相邻函数”，则实数。的取值范围为.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(请

将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.)

17.已知数列｛a,,｝满足，+2.(-1)".

(I)若q=l,数列｛%“｝的通项公式；

⑵若数列｛%｝为等比数列，求％.

csinA+sinC

18.记锐角一A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanB=----------

cosA4-cosC

⑴求5；

⑵求午1的取值范围.

19.密室逃脱可以因不同的设计思路衍生出不同的主题，从古墓科考到蛮荒探险，从窃取密

电到逃脱监笼，玩家可以选择自己喜好的主题场景在规定时间内完成任务，获取奖励.李华

参加了一次密室逃脱游戏，他选择了其中一种模式，该游戏共有三关，分别记为A,B,C,

他们通过三关的概率依次为：若其中某一关不通过，则游戏停止，游戏不通过.只

有依次通过A,B,C三道关卡才能顺利通关整个游戏，并拿到最终奖励.现已知参加一次

游戏的报名费为150元，最终奖励为400元.为了吸引更多的玩家来挑战该游戏，商家推出

了一项补救活动，可以在闯关前付费购买通关币.游戏中，若某关卡不通过，则自动使用一

枚通关币通过该关卡进入下一关.购买一枚通关币需另付100元，游戏结束后，剩余的未使

用的通关币半价回收.

(1)若李华同学购买了一枚通关币，求他通过该游戏的概率.

(2)若李华同学购买了两枚通关币，求他最终获得的收益期望值.(收益等于所得奖励减去报

名费与购买通关币所需费用).

20.图1是直角梯形4BCD,ABCD,ZD=90,AB=2,DC=3,AD=6CE=2ED，

以BE为折痕将8CE折起，使点C到达a的

位置，且AC；=#，如图2.

(1)求点。到平面BQE的距离；

UUOIUUUT

(2)若=求二面角P-3E-A的大

小.

21.已知点。(1,2)是焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)上一点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点尸是该抛物线上一动点，点M,N是该抛物线准线上两个不同的点，且的内

切圆方程为Y+y2=1,求PMV面积的最小值.

22.已知函数f(x)=lnx-or+a,其中awR.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

⑵若“X)在(0,1］上的最大值为0,

①求a的取值范围；

②若f(x)<fee?_3亦+1恒成立，求正整数k的最小值.

参考答案：

29

一一z2=—+l=2i+l=l+2i

LC【详解】因为Z=i3=—i,所以z-i,

所以二-Z?的共粗复数为l—2i,|1—2i|=6,

所以e-Z2的共貌复数的模是否.

Z

2.A【详解】由】n（x+l）＜2,可得0＜犬+1＜/,则A={x「l＜》＜e--1}

XB={yeZ|y=3sinx}={-3,—2,-1,0,1,2,3},

所以Afi={0,l,2,3}.

3.A【详解】①若4"外成等比数列，则w”「外,

所以侬+d）（裙+嫉）=储+q.%）（%•生+宿）=［a］（q+《）］［（4+%间

=（4+%）201aj=（%+/J*=［（4+%）［］=（《生+a2a3丫；

②若4=a2=a3=0,

满足（a：+嫉）（a；+a；）=（4生+42a3）一，

但是不满足q,七,生成等比数列（因为等比数列中不能含有0）

“4M2g成等比数列”是“储+^）3+d）=（3+。2%）2”的充分不必要条件，

4.D【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1,可得

10x（0.005+0.01+0.015+x+0.040）=1,解得x=0.03,故A错误；

对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为10x0.015x400=60人，

故B错误；

对于C：估计全校学生的平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分;

故C错误.

02

对于D：全校学生成绩的样本数据的8。％分位数约为9。+应><1。=95分.

故D正确.

兀3兀a兀

a+—=P/©丁彳a=p—=3cos2a

5.D【详解】设4,，则4,

即tanP=3cos3sin2/3,=6sin/7cosp,sin6工0,

cosp

故cos2/?=-,sin2a=sin

6

6.B【详解】由点M到直线x—y+2=0的距离大于机恒成立，可得点M到直线

x—），+2=0的最近距离大于九因为双曲线的渐近线为y=x,则y=x与x—y+2=0

的距离1=宏=发即为最近距离，则加即犯而=J5.

7.C【详解】如图所示，连接A8，AC,8C,作-ABC所

在外接圆圆心°|,连接A°,设PA=x，由四、心、

PC两两所成的角都为60。可得A8=AC=8C=x,因

,C=_A”62_后=

z~)4c/AO.AIJ♦—=Al3XAr>4z_j__

为a为,ABC几何中心，所以'2333,易知对△PAQ和POA4,

xPO

PA_=PO互=丁

NP=NP,NPO,A=NPAO=90°,所以△PAQ名△PQA,所以的A。，即可“，解得

PO=>j3

故选：C

8.C【详解】因为〃"+2)是偶函数，所以/(—5x+2)=/(5x+2),

两边求导得-57'(-5x+2)=5f'(5x+2),即一尸(一5'+2)=/'(5;(:+2),

所以g(5x+2)=-g(-5x+2),即g(x)=-g(-x+4),

令x=2可得g(2)=-g(2),即g⑵=0,

因为g(x+l)为偶函数，

所以g(x+l)=g(-x+l),即g(x)=g(-x+2),

所以—g(-x+4)=g(—x+2),即g(x)=-g(x+2),

，g(x+4)=_g(x+2)=g(x),所以4是函数g(x)的一个周期,

所以广(2022)=g(2022)=g(505x4+2)=g(2)=0,

9.ACD

10.ABD【详解】因为函数/(x)=sin2(x+g)=।+=-gcos(2x+2⑼+g,

因为函数/(x)=sin2(x+s)(0<*<j的一条对称轴为x=q,

jrb-rrjr

所以2x§+2^=E,(k£Z),解得：^=~2—F,(kw&,

又因为0<夕<9，所以％=1,9=5，则/(x)=-gcos(2x+m)+1,

2o232

对于A,函数/(x)的最小正周期丁=兀，故选项A正确；

对于B,/(。)=-+g=；，故选项B正确；

对于C,因为所以兀<〃+方<曰，因为函数y=-cosf在(兀，日)上单调递减，故

选项c错误；

对于D,因为/(x-m)=-!cos2x+《，令g(x)=|x|-/(x-F)=|x|+'cos2x-g，

622622

当0时，g(x)=x+gcos2x-g,则g'(x)=l-sin2xN0,所以g(x)在[0,+<»)上单调递增，

则g(x)*g(0)=0,也即艺7T)，

6

当xvO时，g(x)=-x+gcos2x-g,贝ijg'(x)=-l-sin2x<0,所以g(x)在(一》,0)上单调递

减，则gG)Ng(O)=O,也即—台7T)，

O

综上可知：国”口-高恒成立，故选项D正确，

11.BCD【详解】由+2+1)-2,

得〃〃+1+2=(“,+2+1)2,即J〃“+]+2=J%+2+1,又q=2,再+2=2

所以｛而巧｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

所以+2=2+(〃-1)x1=〃+1,即〃〃=〃2+2〃一1,

所以“2=7,故A错误，C正确;

=(“+1)2-2,所以｛%｝为递增数列，故B正确；

1_,1_11]

a“+ln2+2n〃("+2)2(〃n+2J)

所以数列的前〃项和为11-：+卜；+卜:+--+—1-」7+!一一二1

[%+lJ2(32435〃-1〃+1nn+2J

If111131(11)3

=—1+-------------=-----------+----<—,故D正确.

2(2n+1n+2)42(〃+1n+2J4

12.BCD【详解】对于A：当左=1时，令丫=而左一巴则产cosx-140,即函数尸sinx-x

有且仅有一个零点为0,同理易知函数y=finxr有且仅有一个零点为0,即〃x）与g（x）

也恰有一个公共点，故A错误；

易知在x=*3，且即€（万,2I）,/（X）与g（x）图象相切,由当X€（7152Tt）时,f（x）=-sinx,

k=-cosx,

则r(x)=-cosx,g'(x)=&,故-爪=也‘从而『a』所以

11l+ta"cosFO+ta/w)7

故B正确;

—+x3=tanx3+2

tanx3tanx3cosx3tanx3sin2X3

则占=0,乃<七<2万，所以西+王<2万，又f（x）图象关于工=乃对称，结合图象有

xi-7T>7r-x2,即有X3+X2>2]+X4,故c正确；

对于D：当A=—时，由〃等9=g（Ul包]=1，f（x）与g（x）的图象在了轴右侧的

2023%2<27

前1012个周期中，每个周期均有2个公共点，共有2024个公共点，故D正确.

兀

13.8014.4

15.1【详解】设P（M，%）&xO）,由于G是△尸耳鸟的重心，由重心坐标公式可得

6仁,康由于GM//F；鸟，所以”的纵坐标为加=年,

由于“是耳鸟的内心，所以△Pf；丹内切圆的半径为厂=

由椭圆定义得伊可|+忸周=2以后用=2c,

SPF2t\=S“弓可+5,呻,+5用防=；|£工|小。|=；（|耳用+|尸闾+内尸|）苧，

2cly()|=(2a+2c)=a=2c=e=；

16.2<«<3【详解】因为〃1)=0,且函数=为单调递增函数，所以1为函

数〃%)=61+》-2的唯一零点，

设函数8(幻=》2-依-〃+3的零点为方，

又因为函数/(x)=ex-'+x-2与g(x)=d-ar-a+3互为“零点相邻函数”，

所以解得0<%<2,

所以函数8(%)=/-以-"+3在(0,2)上有零点，

0<-<2

-

a2

所以g(0)-g⑵<0或°<5<2或△=/_4(_〃+3)>0,

2

A=a-4(-a+3)=0g⑼>0

g(2)>0

7

即§<a<3或a=2或2<a<3,所以24a<3.

17.【详解】(1)由题意得。e-%=2-(一1)”,

所以生”=(生”一生,1)+(出,1一生”-2)++(%-4)+4

=2-(-1)2"-1+2-(-1)2，，-2++2x(-1)'+!=-2+1=-1.

(2)设数列｛《,｝的公比为。，

因为a“+i=a„+2-(—1)，所以a?=4-2,a3=a2+2,两式相加得见=q=q，所以q=±1,

当4=1时，%=4=4-2不成立，所以“=-1,。2=-4=4-2,解得％=1.

ic・、*八、n-1sinA+sinCsinBsinA+sinC

18.【详解】(1)因为tanB=---即-nn-=---------

cosA+cosCcosBcosA+cosC

所以sinBoosA+sinBcosC=cosBsinA+cosBsinC,

即sinBcosA一cosBsinA=cosBsinC-sinBcosC,所以sin(8-A)=sin(C-B),

因为OVAVTC,0<8<兀，所以一兀vB-Av兀，同理得一兀VC—BVTC,

所以B—A=C—B或(8—A)+(C—3)=±兀(不成立)，

所以2B=A+C,结合A+B+C=TT得8=g.

1xy2,2_r2

(2)由余弦定理COSB=L=区二~匕得，ac=a2+c2-b2,

22ac

^ac-a2=c2-b2,则与以三三T，

b~h2b2\b)

由正弦定理得，-=^=^sinC,

bsinB3

因为8=工，A+C=—,0<A<-,0<C<—,所以二vC<工，—<sinC<1,

3322622

所咛料竽｝写明KJ

19.【详解】(1)由题意可知：这一枚通关币的使用情况有四种：

①在第一关使用；②在第二关使用；③在第三关使用；④没有使用.

.211

而通过三关的概率依次为：

则李华通过该游戏的概率P=：1x；1x；1+2：x1；x1：+2；x1；x252+31x；1x；=：1.

3233233233232

(2)购买两枚通关币的费用为200元，报名费为150元，

则收益可能为：%,=400-(150+200-100)=150(未使用通关币过关)，

x2=400-(150+200-50)=100(使用1枚通关币且过关),

鼻=400-(150+200)=50(使用2枚通关币且过关)，

%="(150+200)=-350(使用2枚通关币且未过关)，

2111117

则p(x.=150)=-x-x-=-p(x,=100)=------=—

3239-2918

,91111122I27,…、1121

p(x,=50)=—x—x—+-x—x—■F—x—x—=一p(x,=-350)=—x—x—=—

・’3233233231843239

1771325

则E(x)=150x—+100x—+50x——350x-=—.

9181899

所以他最终获得的收益期望值是于元.

20【详解】⑴解:如图所示：

连接AC,交BE于F,

因为NO=90,AB=2,DC=3,4£)=6，CE=2ED.

所以AE=2,

又A8CD,

所以四边形ABCE是菱形，

所以ACLBE,

在.AC。中，AC=^AEr+CD2=2^>

所以A尸=b=J5,又AC1=瓜,则=A尸+CF：

所以又AFcBE=F,

所以GFJ•平面ABED,

设点D到平面BC、E的距离为h,

X

因为Sc、BE=~2X>/3=石,SmF=-^X1X6=,且V.DBE=^D-QBE，

所以gx/lXSJBE=；XC/*S“BE，解得/?=弓；

(2)由(1)建立如图所示空间直角坐标系：

则。T,-r°6(0，。，石)，8(0，1，0)以0,-1,0),4(鱼0,0),

\/

uu、uiuiiLni1iiuur

所以BA=(zG,T,0),BE=(0,-2,0),因为,

uuruunuunuimiuuur(J3

所以3尸=3£>+DP=5O+§OG二号,一2,

设平面BEP的一个法向量为m=(x,y,2),

f-2y=0

tn-BE=0)

则八，即白cGZ

mBP=0——x-2y+——z=0

I33

令x=l,得》7=(1,0,-1),易知平面BE4的一个法向量为”=(0,0,1),

U1/-

/1rr\mn\/2/ITr3冗

所以COS(〃?,〃六翱=一3，则(八〃x)=彳，

易知二面角P-3E-A的平面角是锐角，

TT

所以二面角尸-比-A的大小为7

21.【详解】(1)因为点。(1,2)是抛物线C：V=2px(p>0)上一点,

所以4=2p,解得：p=2,

所以丁=4x.

(2)设点一伍，儿)，点M(—La),点N(T〃)，直线PM方程为：>一〃?=%詈(》+1),

化简得(为一加)光一5+l)y+(%-m)+加(为+1)=0.

_PMN的内切圆方程为r+丁=1,.•.圆心(0,0)到直线PM的距离为1,即

|%一〃?+〃?(为+1)[二[

，(%-"?)2+伍+1)2

22

故(y0-"ip+(%+1『=(%-〃?『+2m(y0-m)(x0+l)+m(x0+1).

易知上式化简得，(%—1)加2+2%6—(与+1)=。.

同理有(为-1)〃2+2%〃-(毛+1)=0,

.•.〃?，”是关于f的方程(改)-1)/+2卬-(毛+1)=0的两根.

一2%—(x04-1)

/.m+n=­4-,mn=-LJl_L.

*o-1Xo-1

|MN「=(/n-rt)2=(m+/?)24)'\,+4(.%+1).尤=4方,

.-.\MN\=2、卜。+4x=l,

丫(%0-1)1=v(%-