高中物理解题方法11之6：导数法（原卷版）

高中物理解题方法之6：导数法（原卷版）江苏省特级教师戴儒京在物理解题中用导数法，首先要把物理问题化归为数学问题。在分析物理状态和物理过程的基础上，找到合适的物理规律，即函数，再求函数的导数，从而求解极值问题或其他问题，然后再把数学问题回归到物理问题，明确其物理意义。例1、两等量同种电荷在两点电荷连线的中垂线上电场的分布图1.两等量正点电荷的电场强度在y坐标轴上的点的合成以两点电荷的连线的中点为原点，以两点电荷的连线的中垂线为y轴，则各点的电场强度可表示为：=因为原点的电场强度，往上或往下的无穷远处的电场强度也为0，所以，从O点向上或向下都是先增大后减小，这是定性的分析。那么，在哪儿达到最大呢，需要定量的计算。例2、电源输出功率最大问题的研究例题．如图所示，R为电阻箱，eq\o\ac(○,V)为理想电压表．当电阻箱读数为R1=2Ω时，电压表读数为U1=4V；当电阻箱读数为R2=5Ω时，电压表读数为U2=5V．求：(1)电源的电动势E和内阻r。(2)当电阻箱R读数为多少时，电源的输出功率最大?最大值Pm为多少?图3电路图例3.证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞，图5碰撞碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。例题.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，、两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？例4.电磁感应问题如图，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为R0。以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B。在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用在导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a。（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；（2）经过多长时间拉力F达到最大值，拉力F的最大值为多少？（3）某过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量。例5.交流电如图（a），在同一平面内固定有一长直导线PQ和一导线框R，R在PQ的右侧。导线PQ中通有正弦交流电流i，i的变化如图（b）所示，规定从Q到P为电流的正方向。导线框R中的感应电动势A．在时为零B．在时改变方向C．在时最大，且沿顺时针方向D．在时最大，且沿顺时针方向例6.带电粒子在磁场中的运动粒子速度选择器的原理图如图所示，两水平长金属板间有沿水平方向、磁感应强度为的匀强磁场和方向竖直向下、电场强度为的匀强电场。一束质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度从小孔0处沿中轴线射入此区域。研究人员发现有些粒子能沿中轴线运动并从挡板上小孔P射出此区域，其他还有些带电粒子也能从小孔P射出，射出时的速度与预期选择的速度的最大偏差量为,通过理论分析知道，这些带电粒子的运动可以看作沿中轴线方向以速度为的匀速直线运动和以速率在两板间的匀强磁场中做匀速圆周运动的合运动，、；均为未知量，不计带电粒子重力及粒子间相互作用。(1)若带电粒子能沿中轴线运动，求其从小孔O射入时的速度；(2)增加磁感应强度后，使带电粒子以（1)中速度射入，要让所有带电粒子均不能打到水平金属板，两板间距d应满足什么条件？(3)磁感应强度为时，为了减小从小孔P处射出粒子速度的最大偏差量，从而提高速度选择器的速度分辨本领，水平金属板的长度L应满足什么条件？例1题图例7.振动和波问题图甲为一列简谐横波在t=0．10s时的波形图，P是平衡位置为x=1m处的质点，Q是平衡位置为x=4m处的质点，图