计算机图形学-第三章求交分类

清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.3求交分类

清华大学几何造型中，通常利用集合运算（并、交、差运算）实现复杂形体的构造。集合运算需要大量的求交运算。如何提高求交的实用性、稳定性、速度、精度等，对几何造型系统至关重要。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.3.1 求交分类简介多面体模型这种模型的求交计算主要是线段和平面的求交，求交问题的解决相对简单。多面体模型的缺点是明显的。它只能近似表示形体，同时，复杂形体表面的离散会带来巨大的数据量。CSG模型在这种模型中，形体通过基本体素的组合来实现。二次曲面的求交是这些造型系统中必不可少的。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

当前的几何造型系统，大多采用精确的边界表示模型。在这种表示法中，形体的边界元素和某类几何元素相对应，它们可以是直线、圆（圆弧）、二次曲线、Bezier曲线、B样条曲线等，也可以是平面、球面、二次曲面、Bezier曲面、B样条曲面等，求交情况十分复杂。二次曲面与各种自由曲面并存的混合表示模型的采用，导致了归类求交思想的产生。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.3.2 求交分类策略在几何造型系统中，用到的几何元素主要有点：3D点。线：3D直线段、二次曲线(包括圆弧和整圆、椭圆弧和椭圆、抛物线段、双曲线段)、Bezier曲线(有理和非有理)、B样条曲线、NURBS曲线。面：平面、二次曲面(包括球面、圆柱面、圆锥/台面、双曲面、抛物面、椭球面和椭圆柱面)、Bezier曲面(有理和非有理)、B样条曲面、NURBS曲面。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

将几何元素进行归类，利用同一元素之间的共性来研究求交算法。同时对每一类元素，在具体求交算法中要考虑它们的特性，以提高算法的效率，发挥混合表示方法的优势。求交方法可分为：点点、点线、点面、线线、线面六种。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

3.3.3 基本的求交算法3.3.3.1线与线的求交计算二次曲线与二次曲线的求交。求交策略是将坐标系变换到该圆锥曲线的局部坐标系下，一个圆锥曲线用隐式方程的形式表示，而另一圆锥曲线采用参数方程的形式，代入即可获得有关参数的四次方程，，因而可计算出二者的交点。二次曲线与NURBS曲线求交将NURBS曲线的参数方程代入圆锥曲线的隐式方程，得到参数的一元高次方程，然后，使用一元高次方程的求根方法解出交点参数。或把圆锥曲线也表示为参数形式，转化为两个NURBS曲线的求交问题。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

NURBS曲线与NURBS曲线求交。采用离散法求初始交点，迭代求精确解的办法，步骤如下：（1）初始化。依据离散精度，将NURBS曲线形成对应的二叉树表示，叶子结点是对应于该曲线的某一离散子线段及其包围盒，非叶子结点是对应于该段NURBS曲线的包围盒。（2）求初始交点。遍历两曲线的二叉树，若其叶子结点的包围盒相交，则将两者的数据（曲线段中点的参数值，二者坐标的平均值）存入初始交点队列。（3）将初始交点迭代求精确交点。迭代方程可形象地用图3.3.1表示。清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础

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3.3.3.2线与面的求交计算二次曲线与二次曲面的求交的求交计算，可以把二次曲线的参数形式代入二次曲面的隐式方程，计算出交点的参数。NURBS曲线与二次曲面的求交计算，可以把NURBS曲线的参数形式代入二次曲面的隐式方程，得到关于参数的高次方程，然后求解。NURBS曲线与NURBS曲面的求交计算1．初始化。依据离散精度，将NURBS曲线离散成二叉树的形式清华搁大学刘计算扭机科乔学与怀技术低系搜计衣算机绸图形砌学基匀础2．求岗初始迁交点壁。遍漆历该笛二叉钟树和嫌四叉申树，块如果挖曲线陷二叉卷树叶别子结柳点的妻包围朱盒与结曲面次四叉精树的乓叶子资结点拖的包歪围盒爸有交拢点，灭则将筒子曲私线段译中点京的参狭数值局、子乓曲面俩片的删中心臣点的疼坐标球值与抬参数猛值作却为初觉始交杆点，删记录跃到初渔始交悉点点啄列中隙去。3．对管初始方交点初进行耕迭代吨，形竟成精谱确交至点。收可用趴牛顿匀迭代谦法求朝解精胃确交番点。舟设NU顺RB择S曲线编为C(舌t)，NU午RB轮S曲面杏为S(分u,柄v)，则夫在交映点处姿应满摊足：C(滴t)要-S去(u扁,v贪)=芦0设f(捐u,晋v,蝇t)则=C削(t押)-牧S(舌u,阅v)清华翻大学躲计算快机科砍学与茂技术服系婶计简算机钟图形候学基杨础可得佛到：令,则可匹建立维迭代陡方程萄：设初膛值为夜，一伤般迭患代3~维5次，彻便可恩达到御要求即的精痒度。清华拒大学降计算玻机科都学与物技术绞系船计朝算机季图形袖学基晋础曲面戴与曲就面的匹求交曲面个与曲很面之纸间的胳求交伸是最鬼为复敌杂的秧一种曲面傲与曲励面求爷交的额基本序方法把主要欢有:代数菌方法几何积方法离散乡丰方法跟踪瞒方法清华呢大学小计算待机科雁学与父技术慈系巾计篇算机淋图形哥学基猜础1．代茶数方宣法利用熊代数绍运算脾，特芬别是谱求解掀代数销方程凡的方曲法求任出曲阁面的柿交线然。根据尸参与印求交肝的两宴曲面禽的表玻示形渣式的劲不同斧，可腥以把厨求交育分为王三种黄情况惰。隐式贵表示裙和参芦数表孝示的杆曲面混求交竭，通网过把喝参数康方程英代入切隐式促方程寸的方府法，赶可以产将交狗线表换示为g(雪u,嘉v)撕=0的形盘式。国此时挖得到向的交筑线方驶程是链平面姥代数扔曲线先方程况，可蛾根据萍平面鸭代数鉴曲线鲁理论胁的方绝法求榴解交爱线。清华最大学邀计算尾机科石学与模技术质系搅计淡算机情图形广学基易础两个断曲面卸都是废参数臂表示纪的情券形，友只需货要将小其中挥之一筝隐式参化，择然后趟用前爆面的笋方法书求解尘。而赶参数跪多项印式或钱有理室多项阴式曲驶面的对隐式托化通俗过消趴元来腿实现朱。两个号曲面求都是神隐式锐曲面趋。一时种方克法是至将其凭中一充个曲怪面参困数化集，然温后用代第一依种情尚况来霉求解盼。但魄是，拒一般肃情况集下这淋种参恼数化姐很困针难，飞对于体某些声情况经可以制采用而另外荡的方篮法计善算参乐数化驼的曲头面。代数蜜法的柿弱点拔是对宗误差证很敏伙感这是辨因为遍代数限法经叙常需赚要判弓别某爆些量尸是否郑大于匀零、泻等于蓬零或孩小于旬零，嫌而在宫计算裙机中螺的浮屠点数仪近似屑表示匙的误融差常好常会梁使这队种判丘别出胶现错姨误。清华斩大学扶计算良机科递学与遮技术倡系氧计拦算机辜图形虑学基裙础2．几导何方辛法利用摄几何由的方维法，闻对参说与求藏交的落曲面刑的形昏状大蜡小、些相互不位置叶以及庄方向筛等进龄行计陆算和纳判断拼，识殊别出蹦交线问的形劲状和渔类型乞，从偿而可亡精确裤求出姐交线肤。几何近求交犁适应牛性不雨是很欢广，弄一般捆仅用依于平聪面以体及二昆次曲煮面等洋简单非曲面报的求缓交清华诉大学猾计算婚机科伤学与认技术封系速计背算机迁图形城学基闹础对于增一些舍交线破退化叼或相港切的想情形你，交益线往缘瑞往是乳点、策直线液或圆禾锥曲粒线，境用几找何方萌法求形交可坑以更承加迅假速和兆可靠汽。清华葵大学印计算岩机科露学与四技术享系烂计属算机吊图形刚学基隔础3．离斗散方号法离散给方法予求交录是利滤用分邮割的贞方法蜜，将改曲面俱不断江离散咳成较跟小的妖曲面职片，荷直到括每一倘子曲汗面片栋均可匆用比曾较简惠单的甜面片聋，然钉后用疏这些朱简单挖面片榴求交锁得一手系列迅交线该段，荐连接含这些余交线枕段即好得到禾精确篮交线可的近阳似结春果。离散损求交税一般射包括淘下面像的过罢程：训用包紧围盒喉作分翁离性巧检查枣排除洽无交馅区域航；根刷据平逆坦性好检查柳判断蚀是否摆终止兆离散如过程拜；连陡接求永出的晶交线谅段作算为求庙交结卸果。清华枯大学顽计算鉴机科康学与拍技术站系剖计杠算机启图形砌学基感础由于Be薪zi粱er曲面陕，B样条花曲面爷具有毅离散蓄性质贡，使齿得它虾们最扑适合坑于离费散法暑求交穿。缺点时：离散溪法求曲出的蕉交线昆逼近泄精度罢不高衣。如但果要受求的沾精度毯较高遣，需浊要增画加离趣散层量数。州这将收大大啦增加兄了数届据储悼存量州和计仇算量香。处于某不同素离散主层数回的相叔邻子营曲面挂片，斧由它博们产积生的刘交线抬段可侧能会顶出现橡裂缝亚。清华钞大学绍计算避机科直学与唤技术录系奥计描算机离图形漠学基击础4．跟惕踪方办法通过达先求词出初渡始交融点，缩慧然后篇从已湿知的瓣初始箩交点模出发使，相去继跟完踪计谋算出捷下一务交点使，从宰而求良出整郊条交良线的例方法病。跟踪绵法的悄本质冷是构嗽造交诞线满陪足的幸微分弃方程博组，坟先求组出满避足方做程组蔑的某帖个某喷个初专值解岁，通习过数浸值求省解微垦分方俩程组滋的方晚法来忍计算躺整个鲜交线头。跟踪引方法富在计聋算相裁继交虑点的火时候话，利时用了管曲面竿的局捆部微诱分性斩质，喘一般架采用笨数值沈迭代胡的方币法求愈